Integral Dupla
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Ensino Superior
Cálculo 2
7. Integrais Duplas
Conceitos e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Integrais Duplas
•
Integral dupla é uma extensão natural do conceito
de integral definida para as funções de duas
variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas
situações envolvendo cálculo de áreas e volumes,
determinação de grandezas físicas e outros.
Integrais Duplas
f :IR2IR contínua no
retângulo R = [a,b] x [c,d]
y
d
R
c
a
b
x
Integrais Duplas
z
Q
f 0 em R
Q = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z f(x,y)}
Volume de Q = V = ?
y
R
x
Integrais Duplas
y
R
d
yj
y yj-1
y2
y1
Partição de R
Rij
(xij , yij)
c
a x1
x2
xi-1 xi
x
b
x
Integrais Duplas
z
f (xij , yij)
V=
Q
n
m
i 1
j1
f ( x ij , yij )A
m,n
lim
Vij
y
R
(xij , yij )
x
Integrais Duplas
Integral Dupla de f sobre o retângulo R
n
m
i 1
j1
f ( x ij , yij )A
m,n
lim
f
(
x
,
y
)
dA
R
V f ( x, y)dA
R
Integrais Duplas
Integrais Iteradas
R
f ( x, y )dA f ( x, y )dy dx
a c
b
d
f ( x, y )dx dy
c a
d
b
Integrais Duplas
y
Integrais Duplas em Regiões Genéricas
1) Regiões inscritas em
faixas verticais
y = g2(x)
D
0
a
y = g1(x)
b
x
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
Integrais Duplas
d
y
Integrais Duplas em Regiões Genéricas
D
1) Regiões inscritas em faixas
horizontais
x = h2(y)
c
0
x = h1(y)
x
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
Integrais Duplas
Propriedades das Integrais Duplas
[ f ( x, y) g ( x, y)] dA f ( x, y) dA g ( x, y) dA
D
D
D
c f ( x, y) dA c f ( x, y) dA
D
D
f ( x, y) dA f ( x, y) dA f ( x, y) dA
D
D1
D2
Integrais Duplas
Massa e Centro de Massa de uma Lâmina
(x,y) : densidade no ponto (x,y)
D : local ocupado pela lâmina
m : massa da lâmina
m ( x, y)dA
D
Integrais Duplas
Centro de Massa : (X,Y)
onde X = My/m e Y = Mx/m
para:
M x y( x, y)dA
D
e
M y x( x, y)dA
D
Exemplo 1
Exemplo 2
dx
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
1 r 2 . r dr
1 r 2 u
2r dr du
1
r dr - du
2
1
u 3/2
u du 2
3
1
2 3/ 2
1 r
3
Exemplo 6
Exemplo 7
Calcule
y sen( xy) dA, onde R = [1, 2] x [0, ].
R
y sin( xy)dA y sin( xy)dydx
2
1
R
0
yd (cos( xy))dx
2
1
0
1
x
1
1 [ x
2
y cos( xy) |
0
[ 1x cos(x) x1 sin( xy) | ]dx [
2
2
2
1
0
1
sin( x )
x2
1
x 0 cos( xy)dy ]dx
cos(x )
x
2 cos(x )
2 sin( x )
2 d sin( x )
sin( x )
1 x 2 dx 1 x dx 1 x 2 dx 1 x
2
2
2 sin( x )
2 sin( x )
sin( x )
sin( x )
1 x 2 dx x 1 1 x 2 dx x 1 0
2
]dx
Exemplo 8
1 1
Calcule a integral Iterada
0 x
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}
sin y 2 dy dx
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
Exemplo 8
sin y dy dx sin y dA
1
1
0
x
2
2
D
1
0
y
0
sin y 2 dx dy
x sin y x 0 dy
0
1
x y
2
y sin y 2 dy
1
0
cos y 0
12 (1 cos1)
1
2
2
1
Exercícios
1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy
limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1.
sen x
R x dA
2 2x
2) Resolver a integral dupla
. (4 x 2)dydx
.
0 x2
3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido
pelas retas x = 0, y = 0 e y = x.
.
Propriedades das Integrais Duplas
Integrais Dupla para
Domínios Não Retangulares
Múltiplo constante:
k. f ( x, y)dxdy k
R
R
Soma e diferença:
[ f ( x, y) g ( x, y)]dxdy
R
f ( x, y)dxdy
R
f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy
R
Aditividade: (R = R1 + R2)
R
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy
R1
R2
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral
dupla é igual a integral iterada.
d b
b d
c a
a c
f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy f ( x, y)dydx
y
R
d
y
fixo
c
x
a
x
b
fixo
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x) y g(x)},
a integral dupla é igual a integral iterada.
y
b g ( x)
g(x)
f ( x, y)dA f ( x, y)dydx
A
A
h(x)
a
x
x
b
a h( x)
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y) x g(y)},
a integral dupla é igual a integral iterada.
y
d
d g ( y)
f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy
A
y
h(y)
R
c h( y )
g(y)
c
x
Cálculo de Integrais Duplas
b
b
g 2( x )
a
a
g 1( x )
V A( x)dx .[
f ( x, y)dy]dx
b
d
h 2( y )
a
c
h1( y )
V A( y )dy .[
f ( x, y)dx]dy
Integrais Duplas para
Domínios Não Retangulares
b
b
g 2( x )
a
a
g 1( x )
V A( x)dx .[
f ( x, y)dy]dx
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Dupla para
Domínios Não Retangulares
b
d
h 2( y )
a
c
h1( y )
V A( y )dy .[
f ( x, y)dx]dy
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Iteradas – Definição
b d
f (x, y)dA f (x, y)dydx
R
a c
b
f ( x , y)dx dy
c
a
d
Exercícios
Calcule
(x 2y)dA , onde D é a região limitada pelas parábolas
D
y = 2x2 e y = 1 + x2.
1 2 x2 ( x 2 y)dy dx
1 x 2
1
1
xy y 2
1
1
1
x(1 x
1
2
y 1 x 2
y 2 x
2
dx
) (1 x 2 ) 2 2 x 3 4 x 4 dx
3x 4 x3 2 x 2 x 1 dx
1
1
x
x
x
x
32
3 2 x
5 4
3 2
1 15
5
4
3
Exercícios
Calcule
xydA, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e
D
pela parábola y2 = 2x + 6.
Resposta: 36
Exercícios
xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
Calcule
D
e pela parábola y2 = 2x + 6.
4
xydA
2
y 1
1
2
D
y 3
2
x y 1
x2
2
2
y
dy
x 12 y 2 3
4
1
2
4
2
xy dx dy
y ( y 1) 2 ( 12 y 2 3) 2 dy
5
y
12 4 y 3 2 y 2 8 y dy
2
4
4
4
y
y
12 y 4 2 4 y 2 36
3
24
2
6
3
Exercícios
Calcule
xydA, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
D
e pela parábola y2 = 2x + 6.
1
2 x 6
3
2 x 6
xydA
D
xy dy dx
5
2 x 6
1 x 1
xy dy dx
Exercícios
Exercícios
2
2 2x
2
4
y
) 2x 2x dx
( x 3 4 y )dydx ( x 3 y
2
2
0
0x
x 2 x 2(2 x)
2
3
2
x 3 .x 2 2( x) 2 dx
0
2
3
6
8
x
x
(8 x -x )dx
3
6
0
2
5
64 64
64
32
3 6
6
3
2
0
Exercícios
y
4
x4
( x 4 y )dxdy 4 xy
4
y
0
0
4
3
2
0
4
y
4
4
y
y
2
4 y . y 4 . y dy
4
2
3
y2
y
2
4 y 2 2 y dy
8
64
0
4
5
4y 2
y3
y 2 2 y3
5
3.64
2.8
3
2
4
0
y
y
2
dy
Exercícios
5
4y 2
y3
y 2 2 y3
5
3.64
2.8
3
2
5
8y 2
y3
y 2 2 y3
192
5
16
3
4
0
4
0
5
8.4 2
43
4 2 2.43
192
5
16
3
5
8.4 2
43
4 2 2.43
192
5
16
3
1 128 . 4
128 32
1
3
5
3
3
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
1
VM
R f ( x, y ) dxdy
àrea.de.R
b
d
a
c
f ( x, y)dydx
b
d
a
c
dydx
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
Exemplo:
Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no
retângulo 0 x e 0 x /2.
