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Lista 1
1) Escrever em coordenadas polares a equação da curva dada em coordenadas cartesianas.
a) Y = 5X
x  r cos
x  r cos
y  rsen
5 x  rsen
x
r cos

5 x rsen
1
1

5 tan 
tan  5    arctan 5
b) Y = X2
x  r cos
x  r cos
y  rsen
x  rsen
1 cos

x sen
2
1
cos

r cos sen
tan sec  r
d) (x2 + y2) 2 = x3 – 3xy2
x  r cos y  rsen
r cos 
2
r
4
cos 
2
 rsen 

2 2
 sen 

2 2
 r cos   3 cossen 
3
2
 r cos   3r cos sen 
3
3

3
2
4
3
x
r  rx cos   3cos sen 
r  cos   3cos sen 
3
2
3
2

d) (x2 + y2) 2 = x3 – 3xy2
r  cos   3cos sen 
3
2
r  cos   2 cossen sen  cossen 
3
2
sen2
r  cos (cos 2   sen 2 )  sen2sen
cos 2
r  cos cos 2  sen2sen
r  cos 3
2)
3)
T=1
r  5  0,3



3  2t 
6




a  r  r
1 d  2 d  2
aˆ 
r

r dt 
dt 
rˆ
2

4) Prove que:
1 d  2 d 
aˆ 
r

r dt  dt 
1 d  2 d  1 
d
2 d  d 
aˆ 
r
r
  2rr


r dt  dt  r 
dt
dt  dt 
2



1
d
d
d

2
r
r
d

r
d  d 


2
aˆ  2rr
r


  


r
dt
dt  dt   r dt
r dt  dt 
1 d  2 d 
aˆ 
r
  2r  r
r dt  dt 
5. Um ponto move-se sobre a curva r  (2 )1/ 2 ,  1
Sua aceleração transversal vale 2r 1ˆ.
No instante inicial t=0 tem-se que =1, d/dt=1/2.
Achar r(t) e (t).
Solução:
1 d  2 d 
1
Lembre-se da questão 4! aˆ 
r
  2r ˆ
r dt 
dt 
Integrando uma vez:
  2 d2d 
vvˆ2
 AA
 2 2dttAdt
 d(2r )2dttdt
ˆ
dt
 
 


rImpondo
(t )  (a2condições
(t  t de1contorno:
) )
2

1/ 2 1/ 2

2
2
2t 2
2  t  t  1 1
2
(t )
2
2B

At

 t t
2
6)
    10 rad / s
y
  60 0
y  1 x2
x
y  1  x 2  x  r cos( ) y  rsen( )
rsen(60 )  1  (r cos(60 ))
0
0
2

0 ˆ
V  rrˆ  r (60 )
  10 rad / s
6)
    10 rad / s
y
  60 0
y  1 x2
x




d
d
22
r
(
t
)
sen
(

t
)

1

(
r
(
t
)
cos(

t
))
rdt600 60(t0) sen(t )  1dt (r60060(0t ) cos(t ))

0 ˆ
V  rrˆ  r (60 )
  10 rad / s
r
7)

x
2
 y2  z2
 

z  2  sen(t )

r  r  r 2 rˆ  2r  r ˆ  zzˆ
0
2



  30   8rad / s   1rad / s
Em um referencial inercial uma partícula possui coordenadas dadas por:
3
v0t
2
x(t) 
y(t) 
1
v0t
2
z(t)  0
onde v0 é constante e t ≥ 0.
a) Escreva r(t) e (t) em coordenadas polares;
b) Escreva as coordenadas da partícula em um sistema de referência que gira
com velocidade angular  em torno do eixo z , no sentido horário.
c) No referencial em rotação, obtenha as componentes da velocidade da
partícula nas direções transversal e radial.
Resposta:
a) Temos que obter uma expressão para
r
x
2
y
2

r
3 2 2 1 2 2
v0 t  v0 t  v0 t
4
4
e outra para 


 y
  arctan   arctan

x



1
v0 t 
2

 6
3
v0 t 
2

b) Escreva as coordenadas da partícula em um sistema de referência que gira
com velocidade angular  em torno do eixo z , no sentido horário.


6
y´(t )  rsent     v tsent   
6
x´(t )  r cost     v0t cos t  
0
Y´
Y
r  v0t
 
X´
t   6 
X

6
c) No referencial em rotação, obtenha as componentes da velocidade da
partícula nas direções transversal e radial.
r  v0t
  t 


ˆ

ˆ
V  rr  r

ˆ
ˆ
V  v0 r  v0t  

6
Exercício extra:
Uma massa é abandonada com velocidade inicial igual a zero de modo que atinge o solo
10 segundos depois de solta. Desprezando a resistência do ar, e tendo a frequencia angular
de rotação da Terra = 7,5 x 10-5 rad/s e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 , obtenha;
a) A expressão que descreve a deflexão horizontal devido à rotação da Terra para uma
latitude qualquer .
b) O valor da deflexão quando a partícula é solta no equador.
c) O valor da deflexão quando a partícula é solta no pólo norte
a)

 
FCoriolis  2m  v´
FCoriolis
m
d 2 x´
 
 2m  v´
dt 2
 2mv´sen( )  2mv´cos( )
d 2 x´
dt
2
 2v´cos( )
d 2 x´
dt
2
 2v´cos( )
Integrando-se duas vezes e impondo que a velocidade inicial igua a zero temos:
x´
1
gt 3 cos( )
3
O valor da deflexão quando a
partícula é no equador:  = 0
x´ = 0,25m
E o valor da deflexão quando a
partícula é no polo norte: =90 
x´ = 0 m
22)


 
Fcentrifuga  m  (  r´)

 
FCoriolis  2m  v´
ˆ r   cos( )   cos(   / 2)  sen( )
ˆ  sen( )  sen(   / 2)   cos( )
22)

 
Fcentrifuga  m  (  r´)

 
Fcentrifuga  m  (  r´)
rˆ
 
  r ´ sen
R
ˆ
 cos 
0
rˆ

 
  (  r ´)  sen
0
kˆ
0   cos Rkˆ
0
 cos 
kˆ
0
0
 R cos 
ˆ

 
  (  r ´)   R( cos  ) 2 rˆ  R 2 sen cos ˆ
Fcentrifugar  mR( cos )
2
Fcentrifuga  mR cossen
2

 
Fcentrifuga  m  (  r´)

 
FCoriolis  2m  v´

Fim
Dr. Sebastião Simionatto
[email protected] - 2009