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Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) = - f(t) dt
x
•
•
•
•
f  0 é a densidade de X
b
P(a < X < b) = a f(t) dt
+
- f(t) dt = 1
f(x) = F’ (x)
• P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)

x
Exemplo
• Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao
acaso no triângulo da figura. Qual é a
densidade de X?
1
1
Solução
1
x.x / 2
F ( x)  P( X  x) 
 x2
1.1 / 2
x
d
d 2
f ( x) 
F ( x) 
x  2 x (0  x  1)
dx
dx
1
Outra solução
1
f ( x)  kx
1
1
2
kx 
k
 kx  2   2  1  k  2

0
0
f ( x)  2 x (0  x  1)
x
1
Esperança
– discreta:
EX   xi P( X  xi )
i
– contínua:
EX 

 x f X ( x)dx

– mista:
EX   xi P( X  xi ) 
i

 x f X ( x)dx

Exemplo
• Qual é o valor esperado da variável
aleatória do exemplo anterior?
Principais Distribuições Contínuas
•
•
•
•
Uniforme
Exponencial
Gama
Normal (e associadas: c2, t, F)
Distribuição Uniforme
fX
FX
1/(b-a)
a
b
a
b
1
Distribuição Exponencial
• De volta ao exemplo do site na Internet.
Qual é a distribuição do tempo de espera X
até a ocorrência do primeiro acesso?
• X > t se e só se o número de acessos em
[0, t] é igual a 0
• Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde
N~Poisson(lt)
• Portanto, P(X>t) = e-lt
Distribuição Exponencial
• X tem distribuição exponencial com
parâmetro l quando
FX (x) = 1–e – lx, para x >0
• Ou seja,
fX(x) = le – lx , para x > 0
Exemplo
•
O tempo de vida, em meses, de um
componente tem distribuição exponencial
de parâmetro l = 0,5.
a) Qual é a probabilidade de que um
componente novo dure pelo menos 2 meses?
b) Dado que um componente usado já tem 1 mês
de vida, qual é a probabilidade de que ele
dure pelo menos mais dois meses?
Processo de Poisson
• Tempo entre chegadas consecutivas
independentes, com distribuição
exponencial (l)
• Número de chegadas em intervalos
disjuntos independentes e com distribuição
Poisson (lt), onde t é o comprimento do
intervalo
Exemplo
• Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo
com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes
por dia
–
–
–
–
–
Número médio de acidentes por semana?
Número médio de dias sem acidentes por semana?
Intervalo médio entre acidentes?
Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a?
Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo
dia só ocorra depois das 12 horas?