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Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória associa um número
real a cada resultado de um experimento
aleatório.
• Mais precisamente…
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória é uma função
X: W  R que associa um número real a
cada resultado de um experimento aleatório.
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
Quando se observa cck:
X=2
Y=1
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x
P(X=x)
0
1
2
3
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x
P(X=x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
função de massa de probabilidade (fmp) de X
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y
P(Y=y)
0
1
2
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y
P(Y=y)
0
1/4
1
2/4
2
1/4
Função de Distribuição Acumulada
• A função de distribuição acumulada de uma
variável aleatória X é a função FX: RR
definida por
FX(x) = P(X ≤ x)
Função de Distribuição Acumulada
• Exemplo:
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
7/8
1/2
1/8
1
2
3
Se x < 0: P(X≤x) = 0
Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8
Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2
Função de Distribuição Acumulada
• Roleta numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
P(X ≤ x) =
1
10
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
P(X ≤ x) =
1
10
Tipos de Variáveis Aleatórias
• Discretas
FX(x) = xi  x P(X = xi)
• (Absolutamente) Contínuas
FX(x) = xi  x fX(x) dx
(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X)
• Mistas
FX(x) = xi  x P(X = xi) + xi  x fX(x) dx
(Há outras, mais patológicas …)
Exemplo
1
10
P(X = 0) = ½
fX(x) =
0, se x < 0
1/20, se 0  x  10
0, se x > 10
Função de Distribuição Acumulada
• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição
de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a.
podemos obter a probabilidade de qualquer evento
envolvendo a v.a.)
P(X = 2) =
FX(x)
P(X = 3) =
1
0,65
P(X < 3) =
0,4
1
3
x
P(1  X  3) =
Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) = - f(t) dt
x
•
•
•
•
f  0 é a densidade de X
b
P(a < X < b) = a f(t) dt
+
- f(t) dt = 1
f(x) = F’ (x)
• P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)

x
Exemplo
• Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao
acaso no triângulo da figura. Qual é a
densidade de X?
1
1
Solução
1
x.x / 2
F ( x)  P( X  x) 
 x2
1.1 / 2
x
d
d 2
f ( x) 
F ( x) 
x  2 x (0  x  1)
dx
dx
1
Outra solução
1
f ( x)  kx
1
1
2
kx 
k
 kx  2   2  1  k  2

0
0
f ( x)  2 x (0  x  1)
x
1
Principais Distribuições Discretas
•
•
•
•
•
Bernoulli
Binomial
Geométrica
Hipergeométrica
Poisson
Principais Distribuições Contínuas
•
•
•
•
Uniforme
Exponencial
Gama
Normal (e associadas: c2, t, F)
Bernoulli
• Espaço amostral binário (sucesso-fracasso,
sim-não, 1-0)
1, com probabilidade p
• X=
0, com probabilidade 1–p
Notação: X  be(p)
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e
com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessos
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e
com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessos
Cada uma das  n  seqüências com k sucessos e n–k fracassos
k 
tem probabilidade pk (1–p)n-k .
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e
com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessos
Cada uma das  n  seqüências com k sucessos e n–k fracassos
k 
tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo:
n k
P( X  k )    p (1  p) n  k , k  0,1,..., n
k 
Notação: X  B(n, p)
Distribuição de Poisson
• Em média, um site de internet tem l = 0,5
acessos por segundo. Qual é o modelo
apropriado para a distribuição do número de
acessos efetuados em um minuto?
Distribuição de Poisson
• Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração
1/n
• Como o número de usuários é grande, é razoável
considerar a existência de acessos neste intervalos
como eventos independentes, cada um com
probabilidade p.
• Para que o número médio de acessos por minuto
seja igual a l, deve-se ter np = l.
Distribuição de Poisson
l
P ( X  k )  lim P (Y  k ), onde Y ~ B(n, p  )
n
n 
k
n!
l  l
P ( X  k )  lim
  1  
n
n k!(n  k )!  n  
n
nk

lk
n(n  1)...( n  k  1)  l   l 

lim
1   1  
k ! n 
 n  n
nk
lk l

e , k  0,1,2,...
k!
k
Distribuição de Poisson
• Caso limite da distribuição binomial,
quando n e np se mantém constante
–
–
–
–
Acessos a sites
Chegadas de consumidores a um banco
Número de erros tipográficos em um texto
Número de partículas radioativas emitidas
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a
probabilidade de que haja pelo menos um
acesso em um dado segundo?
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a
probabilidade de que haja pelo menos um
acesso em um dado segundo?
P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e-0.5 = 0,395
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de acessos
em um minuto?
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de acessos
em um minuto?
Poisson (30)
Em geral, o número de acessos em um
intervalo de duração t tem distribuição
Poisson (lt)
Distribuição Uniforme
fX
FX
1/(b-a)
a
b
a
b
1
Distribuição Exponencial
• De volta ao exemplo do site na Internet.
Qual é a distribuição do tempo de espera X
até a ocorrência do primeiro acesso?
Distribuição Exponencial
• De volta ao exemplo do site na Internet.
Qual é a distribuição do tempo de espera X
até a ocorrência do primeiro acesso?
• X > t se e só se o número de acessos em
[0, t] é igual a 0
• Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde
N~Poisson(lt)
• Portanto, P(X>t) = e-lt
Distribuição Exponencial
• X tem distribuição exponencial com
parâmetro l quando
FX (x) = 1–e – lx, para x >0
• Ou seja,
fX(x) = le – lx , para x > 0
Exemplo
•
O tempo de vida, em meses, de um
componente tem distribuição exponencial
de parâmetro l = 0,5.
a) Qual é a probabilidade de que um
componente novo dure pelo menos 2 meses?
b) Dado que um componente usado já tem 1 mês
de vida, qual é a probabilidade de que ele
dure pelo menos mais dois meses?
Processo de Poisson
• Tempo entre chegadas consecutivas
independentes, com distribuição
exponencial (l)
• Número de chegadas em intervalos
disjuntos independentes e com distribuição
Poisson (lt), onde t é o comprimento do
intervalo
Exemplo
• Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo
com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes
por dia
–
–
–
–
–
Número médio de acidentes por semana?
Número médio de dias sem acidentes por semana?
Intervalo médio entre acidentes?
Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a?
Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo
dia só ocorra depois das 12 horas?