Conjuntos

CONJUNTOS
Prof.Alexandre
Mello
DEFINIÇÃO
É toda união ou reunião de elementos, objetos, números, letras, ...
Exemplos:
1. A é o conjuntos das letras da palavra ARARA.
A = {A, R}
2. B é o conjunto dos números naturais.
B = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Quando relacionamos ELEMENTO com CONJUNTO usamos os símbolos
de:  e , (pertence e não pertence).
Exemplos :
1. 3  1, 2, 3, 4, ...
( V )
2. 0  x / x é número natural ímpar
3. 2  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
4. 5  1, 3, 5, 7
( F )
( F )
( V )
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, TODOS os elementos
de A pertencem ao conjunto B e vice versa.
Exemplos:
1. Dado o conjunto A = {x / x é número inteiro maior do que zero} e o
conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, ....}, então podemos afirmar que A = B?
FALSO
2. Dado o conjunto X = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5} e o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}
então podemos afirmar que X = B?
VERDADEIRO
CONJUNTO VAZIO
Um conjunto A é chamado de vazio quando não tem NENHUM elemento.
Então A  0 ou A  

CONJUNTO UNITÁRIO
Um conjunto A é unitário se, e somente se, A tem UM e SOMENTE UM
elemento.
CONJUNTO UNIVERSO
Um conjunto A é chamado de conjunto universo quando ele tem todos os
elementos que são soluções de uma determinada situação problema.
Exemplo:
1. A altura de uma pessoa é dada por um número real positivo. Qual o
conjunto UNIVERSO dessa situação?
O conjunto do números reais ou U = R
SUBCONJUNTOS
• Um conjunto A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, TODOS
os elementos de A pertencem ao conjunto B.
• Representamos por:
AB
• Dizemos também que A é parte de B.
OBS.: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Exemplos:
1. Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do
conjunto:
a) X = {2, 4}
P(X)   0 , 2, 4, 2, 4
b) Y = {1, 3, 5}
P(Y)   0 , 1, 3, 5,1, 3, 1, 5, 3, 5, 1, 3, 5
c) W = {3}
P(W)   0 , 1
c) S = { }
P(W)   0 
Conclui-se que:
• Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1.
• Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2.
• Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4.
• Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8.
• ...
• Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a
2. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3) elementos.
Determine o valor de x. X = 5
Se 2n(x)  n(P(x ))  2(x 3)  256  2 (x 3)  2 8
x38  x 5
3. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto A é
1024, calcule o número de elementos de A. 10 elementos
2n(x)  1024  2n(x)  210  n(x)  10
Dados dois conjuntos, não vazios, A e B, tais que B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e A = {1, 3, 4, 6, 7}, temos que:
3.1. COMPLEMENTAR:
O símbolo usado no COMPLEMENTAR é CBA , ou seja, se A  B,
CBA é o complement ar de A em relação a B, isto é :
B - A   x / x  B e x  A
Ex. : CBA  B  A  {0, 2, 5, 8}
No diagrama vamos HACHURAR (pintar) o COMPLEMENTAR de A em
relação a B.
OBS. :
A é o que falta em A para ser igual a B.
CB
I
A
B
II.
A
B
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Revisaremos os conjuntos numéricos que são subconjuntos do conjunto dos
números REAIS o qual será o nosso UNIVERSO para o estudo de funções.
1. Conjunto dos
números naturais:
2. Conjunto dos números
inteiros:
Z = {..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
3. Conjunto dos números racionais:
a

*
x / x  , com a  Z e b  Z 
b


 4 10  2


Ex.:  2  Q, pois  2 
2
5
1
Q=
0 0 0
0  Q, pois 0   
6 7 29
Vamos considerar também
como números racionais:
Os números
decimais exatos
ou finitos.
Ex.: 0,5; -1,25; 5,87
Os números decimais
periódicos ou infinitos.
Ex.: 0,777...; -5,1666...;
4. Conjunto dos números
irracionais.
É o conjunto dos números
decimais infinitos não
periódicos que não podem
ser escritos na forma a/b,
com a e b inteiros.
Ex.:
2, 
3
5.Conjuntodosnúmerosreais.
R – Q’
(irracionais)
Z
N
5 10
,
7
9
Um número
irracional muito
importante é o
número   3,1415926535...
R  Q   irracionais 
R   x / x é racional ou x é irracional 
Q
R
Subconjuntos importantes de R:
R  conjunto dos números reais não negativos
R  conjunto dos números reais não positivos
R*  conjunto dos números reais não nulos
EXERCÍCIOS
1. Verifique se as sentenças
abaixo são verdadeiras ou
falsas.
2
a)  Q
3
2. Determine a fração que
gerou a dízima:
a) 0,333...
1/3
b) 1,666...
5/3
c) 0,2555...
23/90
F
b)  2,1313...  Q
4
c )  Q* V
3
d)  8 R
*

e) N *  Q
f ) N  Q
g ) Q  R*
V
F
F
22/9
e) 0,222...
2/9
f) 1,3222...
V
F
h) N  Z  Q  R
d) 2,444...
V
119/90
Resolução do exercício 2.
a ) x  0,333... ( x10)
c) x  0,2555... ( x10)
 10 x  3,333...
 10 x  2,555... ( x10)
________________
100 x  25,555...
3 1
9x  3  x  
9 3
b) x  1,666... ( x10)
 10 x  16,666
________________
15 5
9 x  15  x 

9 3
_________________
90 x  23 
23
x
90
INTERVALOS REAIS
Os intervalos reais são
subconjuntos de R.
Dados dois números reais
a e b com a < b, temos os
seguintes intervalos:
I.Intervalos limitados
1. Intervalo fechado
3. Intervalo fechado à esquerda
a
b
Intervalo: [a, b[
Conjunto:
x  R / a  x  b
x  R / a  x  b
a
b
4. Intervalo fechado à direita
Intervalo: [a, b]
Conjunto:
a
2. Intervalo aberto
x  R / a  x  b
a
Intervalo: ]a, b[
Conjunto:
b
 R / a  x  b
Intervalo: ]a,xb]
Conjunto:
b
II. Intervalos ilimitados
1. Conjunto:
x  R / x  a
Intervalo: ]- ∞, a]
4. Conjunto:
Intervalo: ]a, + ∞[
a

x  R / x  a
Intervalo: ]- ∞, a[
2. Conjunto:
a
3. Conjunto:
x  R / x  a
Intervalo: [a, + ∞[
a
x  R / x  a
a
5. Reta real
Conjunto: R
Intervalo: ]- ∞, +
∞[
0
EXERCÍCIOS
1. Represente na reta real os
intervalos:
a) [3, 6[
b) ]-∞, -1/2[
2. Escreva os subconjuntos
de R na notação de
intervalos:
a ) x  R / x  3
b) x  R / 1  x  7
3. Escreva os intervalos na
forma de conjuntos:
a) ]0, 3]
b) ]8, +∞[