Conjunto dos números racionais

Conjunto dos números
racionais - Q
NϹZϹQ
Q= { x / x= a/b a ϵ Z e b ϵ Z ⃰ }
- Representação decimal dos números racionais
Ex: 3/10= 0,3 ; 752/1000 = 0,752
- Dízima periódica
Simples – A geratriz é igual a uma fração, cujo numerador é o período e cujo
denominador é constituído de tantos noves quantos são os algarismos do
período.
Ex: 0,535353... = 0,53 = 53/99 →geratriz
↓
período
Conjunto dos números
racionais - Q
Composta- A geratriz é igual a uma fração cujo numerador
é um número formado pelo ante período seguido de um
período menos o ante período e cujo denominador é
constituído de tantos noves quantos os algarismos do
período seguido de tantos zeros quantos os algarismos do
ante período
Conjunto dos números
reais - IR
IN Ϲ Z Ϲ Q Ϲ IR
Q U I = IR
↓
irracional
R
ININ
Conjuntos
-
Os conjuntos são, geralmente, indicados por letras maiúsculas A, B, C, D,
... E seus elementos por letras minúsculas a,b,c,d,...
- Representação
1 – Analítica – EX: A={1, 2, 3, 4 ,5 }
2- Sintética – ex: B={ segunda-feira, sexta-feira, sábado} → conjunto dos dias
da semana cujos nomes começam pela letra s.
3- Diagrama – Consiste em representar os elementos desse conjunto por
pontos situados no interior de uma linha fechada que não se entrelaça.
A
.2
.1
.3
.4
Conjuntos
Conjunto Universo – É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos
cogitados em um determinado estudo
- Subconjunto – Se dois conjuntos A e B são tais que todos os elementos de
B são também elementos de A, dizemos que B é subconjunto de A, ou B
está contido em A → B Ϲ A
Generalizando: se A tem n elementos, então o número de subconjuntos de A é
2n ou A tem 2n subconjuntos.
Ex: os subconjuntos do conjunto A={1,2,3} são: Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3} e
{1,2,3} ou seja, o conjunto A tem 2n = 23 = 8 subconjuntos.
-
Operações com conjuntos
-
União de conjuntos – A U B ={x / x ϵ A ou x ϵ B}
A
B
A
A
B
B
Propriedades: B Ϲ A < > A ∩ B = A
Ø Ϲ A, então Ø U A= A e como A Ϲ A, então A U A=A
AUB=BUA
(A U B ) U C= A U (B U C)
Operações com conjuntos
- Intersecção de conjuntos – A ∩ B={x / x ϵ A e x ϵ B}
A
B
A
B
Propriedades: B Ϲ A < > A ∩ B
Ø Ϲ A, então Ø ∩ A= A e como A Ϲ A, então A ∩ A=A
A∩B=B∩A
(A ∩ B ) ∩ C= A ∩ (B ∩ C)
Operações com conjuntos
-
Diferença de conjuntos – A – B ={x / x ϵ A e x Ɇ B}
A
B
Propriedades: A Ϲ B < > A – B = Ø
Ø – A= Ø e Ø – Ø = Ø
A ∩ B = Ø < > A – B =A
A-Ø=A
A
B
A
B
Operações com conjuntos
-
Conjunto complementar de um conjunto – A Ϲ B <
CAB = B – A → complementar de A em relação a B
Propriedades: CAA = A – A = Ø
CØA = A – Ø = A
CØØ = Ø – Ø = Ø
B
A
> CAB = {x / x ϵ B e x = A
Intervalos Reais
São os subconjuntos de IR determinados por desigualdades
Representação
geométrica
Nome
Notação
a
b
Intervalo fechado
de extremos a e b
{x ϵ IR/a≤x≤b} ou
[a,b]
a
b
Intervalo aberto de
extremos a e b
{x ϵ IR/a <x<b} ou
[a,b[
Intervalo fechado à
esquerda e aberto
à direita de
extremos a e b
{x ϵ IR/a≤x<b} ou
[a,b[
a
a
b
b
Intervalo aberto à
{x ϵ IR/a<x≤b} ou
esquerda e fechado [a,b[
à direita de
extremos a e b
Intervalos Reais
Representação geométrica
a
a
a
a
Nome
Notação
Intervalo fechado à
esquerda em a
{x ϵ IR/x ≥ a} ou [a, +∞ )
Intervalo aberto à
esquerda em a
{x ϵ IR/x>a} ou ]a, +∞ )
Intervalo fechado à direita
em a
{x ϵ IR/x≤a} ou (-∞,a]
Intervalo aberto à direita
em a
{x ϵ IR/x<a} ou (-∞,a[
Intervalo de - ∞ a + ∞
X= IR ou (-∞, +∞)
Intervalos Reais
→ Bolinha aberta indica que o extremo não pertence ao intervalo
→ Bolinha cheia indica que o extremo pertence ao intervalo
Operações com intervalos
- Reunião de intervalos
Ex: Dados os intervalos A={xϵ IR/ x≥0}, determine A U B
-4
0
2
____________________
A ____________________
A U B= {x ϵ IR/ x > -3}
B ____________________
A U B ____________________
Intervalos Reais
- Interseção de intervalos
Ex: Dados os intervalos A= ] -3, 2[ e B[0, ∞), determinar A ∩ B
-3
0
2
____________________
A ____________________
B ____________________
A ∩ B ____________________
A ∩ B= {x ϵ IR/ 0 ≤x < 2}
Intervalos Reais
- Diferença de intervalos
Ex: Dados os intervalos A=[-2,3[ e B= (- ∞, 2[ , determine A – B
-2
2
3
____________________
A ____________________
B ____________________
A - B ____________________
A - B= {x ϵ IR/ 2 ≤x < 3}