COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br Equações Algébricas – 2013 - GABARITO 1. (PUC) A multiplicidade da raiz x = 1 da equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solução. Verificamos através do dispositivo de Briot-Ruffini quantas vezes o resto é nulo na divisão por (x – 1). Logo a multiplicidade da raiz x = 1 é três. OBS: A última divisão com resto zero apresentou um quociente da forma Q(x) = x + 2. A outra raiz, portanto, é x = – 2. 2. (UNIRIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 18 = 0, os valores de a e b são respectivamente: a) 1/3 e – 9 b) 1/3 e 9 c) – 1/3 e – 9 d) – 1/3 e – 9 e) 1 e – 3 Solução. Há três raízes. Como o termo de grau 2 é zero, então a soma das raízes é nula. Se 3 é raiz dupla e r a outra raiz, temos que 3 + 3 + r = 0 => r = – 6 é a outra raiz. Substituindo na equação temos: a(3) 3 b(3) 18 0 27a 3b 18 9a b 6 9 1 27a 9 a 3 27 3 . a( 6) b( 6) 18 0 216a 6b 18 36a b 3 1 Logo, b 6 9. 6 3 9 3 3. (PUC) Qual o grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo que são zeros desse polinômio z1 = 1 + i e z2 = – 1 + i? Solução. Se os coeficientes são reais, caso haja uma raiz complexa, seu conjugado também será raiz. Logo, se z1 1 i é raiz, z1 1 i também é raiz. O mesmo acontecerá com z 2 1 i e z 2 1 i . Logo, no mínimo, o polinômio terá quatro raízes e será de grau 4. 4. (UFF) Considere as seguintes afirmações sobre polinômios de coeficientes reais: (I) Todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos um zero real (II) Um polinômio de grau par pode ter todos os zeros complexos (III) 2 + i e 3 - i podem ser zeros de um mesmo polinômio do 3º grau São verdadeiras: a) I e II b) I e III c) II e III d) Todas e) Nenhuma Solução. Analisando as afirmações, temos: (I) Verdadeiro. Pois se os coeficientes são reais, as raízes complexas estão com seus conjugados. (II) Verdadeiro. Seus zeros estarão acompanhados dos respectivos conjugados. (III) Falso. Pois seus conjugados também seriam zeros e assim o polinômio seria do 4º grau, no mínimo. 5. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n, em que m e n são números reais, admite 1 + i (sendo i é a unidade imaginária) como raiz. Então m e n valem respectivamente: a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 0 e 2 d) 2 e – 2 e) – 2 e 0 Solução. Como os coeficientes são reais, 1 + i e 1 – i são raízes da equação. (1 i)3 m(1 i)2 2(1 i) n 0 2i 2 2mi 2 2i n 0 4i 2mi n 0 2n 0 n 0 3 2 2i 2 2mi 2 2i n 0 4i 2mi n 0 (1 i) m(1 i) 2(1 i) n 0 2n 4 2n 4 n 2 Logo, 4i 2mi (0) 0 i( 4 2m) 0 4 2m 0 2m 4 m 4 2 2 . 6. (UNIFICADO) Sabendo-se que a equação x3 – 2x2 + 7x – 4 = 0 tem raízes a, b e c, escreva com coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes a + 1, b + 1 e c + 1. Solução. Utilizando as relações de Girard, temos: a) Na equação x3 – 2x2 + 7x – 4 = 0, temos: i) Soma das raízes: a + b + c = – (– 2)/1 = 2; ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas: ab + ac + bc = 7/1 = 7; iii) Produto das raízes: abc = – (– 4)/1 = 4 b) Na nova equação de raízes a + 1, b + 1 e c + 1, temos: i) Soma das raízes: (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = (a + b + c) + 3 = 2 + 3 = 5. ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas: (a + 1).(b + 1) + (a + 1). (c + 1) + (b + 1). (c + 1) = = ab + a + b + 1 + ac + a + c + 1 + bc + b + c + 1 = (ab + ac + bc) + 2(a + b + c) + 3 = 7 + 4 + 3 =14. iii) Produto das raízes: (a + 1)(b + 1)(c + 1) = (ab + a + b + 1)(c + 1) = abc + ab + ac + a + bc + b + c + 1 = (abc) + (ab + ac + bc) + (a + b + c) + 1 = 4 + 7 + 2 + 1 = 14. Logo a equação é: x3 – 5x2 + 14 x – 14 = 0. 7. (FUVEST) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação polinomial 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Determine o valor de k. Solução. Há três raízes. Considerando essas raízes como r, s e t, sendo (r.s) = 1. Temos: Pr oduto rst rst 2 (rs).t 2 1.t 2 t 2 . 4 Pr oduto 2 2 Se t = – 2 é raiz, então substituindo na equação o resultado será nulo. 2.( 2)3 (2)2 k(2) 4 0 16 4 2k 4 0 2k 16 k 16 8 . 2 8. (PUC) O número z = 1 + i é uma das raízes da equação 4z4 – 8z3 + 7z2 + 2z – 2 = 0, que tem: a) 2 raízes reais distintas e 2 complexas não reais. b) uma única raiz real e 3 complexas não reais. c) somente raízes complexas não reais. d) 3 raízes reais e uma complexa não real. Solução. Como os coeficientes são reais, se 1 + i é raiz, 1 – i também é raiz. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: O quociente de grau 2 é: Q(x) = 4x2 – 1. Encontrando os zeros, temos: 1 1 x1 . 1 4 2 4x 2 1 0 x 2 4 x 1 1 2 4 2 9. Uma raiz da equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0 é igual à soma das outras duas. Determine todas essas raízes. Solução. Há três raízes. Considerando essas raízes como r, s e t, sendo (r + s = t) . Soma r s t r s t 4 (r s) t 4 t t 4 2t 4 t 2 . Se t = 2 é raiz, temos: 4 Soma 4 1 O quociente de grau 2 é: Q(x) = x2 – 2x – 3. Encontrando os zeros, temos: x 2 2x 3 0 x S = {– 1, 2 , 3}. x 3 2 4 4(1)( 3) 2 16 2 4 . 1 2 2 2 x2 1 10. (UNEB) As raízes da equação x3 – 6x2 + 3x + m = 0 formam uma PA. O valor de m é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 Solução. Considerando (x – r, x, x + r) as três raízes em PA de razão r, temos: e) 10 Soma ( x r ) x ( x r ) 3 x 6 3 x 6 x 2 . Substituindo x = 2 na equação, vem: 6 3 Soma 1 6 (2)3 – 6(2)2 + 3(2) + m = 0 => 8 – 24 + 6 + m = 0 => – 10 + m = 0 => m = 10. 11. As raízes da equação x3 – 6x2 + kx + 64 = 0 estão em PG. Determine k. Solução. Escrevendo três termos de uma PG de razão q, temos: x PG : , x, xq q . Substituindo x = – 4 na equação, vem: x . xq x3 Pr oduto .x q x 3 64 x 3 64 4 64 Soma 1 64 (– 4)3 – 6(– 4)2 + k(– 4) + 64 = 0 => – 64 – 96 – 4k + 64 = 0 =>– 4k = 96 => k = – 24. 12. (FUVEST) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, q e 2 . O valor de p2 + q2 é: a) 5/9 b) 10/9 c) 20/9 d) 26/9 e) 31/9 Solução. Como 2 é raiz, encontramos as demais utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. O quociente de grau 2 é: Q(x) = 9x2 + 18x + 5. Encontrando os zeros, temos: 9x 2 18x 5 0 x 18 324 4(9)(5) 18 144 18 12 2(9) 18 18 . 30 5 2 2 x1 18 3 25 1 26 5 1 p2 q2 9 9 9 3 3 x 6 1 2 18 3 13. (UFF) Considere 3 números reais m, n e p, tais que m n p 3 . Pode-se afirmar que m, n e p são zeros do polinômio: 5 a) Q(x) = 10x3 + 8x2 + 3x + 15 b) Q(x) = 8x3 + 10x2 + 15x + 3 1, 2 e mn mp np 5 3 mnp c) Q(x) = 3x3 + 15x2 + 10x + 8 d) Q(x) = 8x3 + 15x2 + 3x + 10 e) Q(x) = 15x3 + 3x2 + 10x + 9 Solução. Escrevendo as frações com o mesmo denominador, temos: Q( x ) ax 3 bx 2 cx d 1 3 b 3 m n p 5 15 a 15 a 15 . b 3 2 10 c 10 3 2 mn mp np Q ( x ) 15 x 3 x 10 x 9 3 15 a 15 c 10 3 9 d 9 d 9 mnp 5 15 a 15 14. (UFMG) Os números - 1 e 1 são zeros do polinômio P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c. Calcule o terceiro zero de P(x). Solução. O produto das três raízes será P = – 2c/c = – 2. Logo, (– 1).(1).(r) = – 2 => – r = – 2 => r = 2. Logo o terceiro zero será 2.