COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
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Equações Algébricas – 2013 - GABARITO
1. (PUC) A multiplicidade da raiz x = 1 da equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução. Verificamos através do dispositivo de Briot-Ruffini quantas vezes o resto é nulo na
divisão por (x – 1).
Logo a multiplicidade da raiz x = 1 é três.
OBS: A última divisão com resto zero apresentou um quociente
da forma Q(x) = x + 2. A outra raiz, portanto, é x = – 2.
2. (UNIRIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 18 = 0, os valores de a e b
são respectivamente:
a) 1/3 e – 9
b) 1/3 e 9
c) – 1/3 e – 9
d) – 1/3 e – 9
e) 1 e – 3
Solução. Há três raízes. Como o termo de grau 2 é zero, então a soma das raízes é nula. Se 3 é raiz
dupla e r a outra raiz, temos que 3 + 3 + r = 0 => r = – 6 é a outra raiz. Substituindo na equação
temos:
a(3) 3 b(3) 18 0
27a 3b 18
9a b 6
9
1
27a 9 a
3
27 3 .
a( 6) b( 6) 18 0 216a 6b 18 36a b 3
1
Logo, b 6 9. 6 3 9
3
3. (PUC) Qual o grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo que são zeros
desse polinômio z1 = 1 + i e z2 = – 1 + i?
Solução. Se os coeficientes são reais, caso haja uma raiz complexa, seu conjugado também será
raiz. Logo, se z1 1 i é raiz, z1 1 i também é raiz. O mesmo acontecerá com z 2 1 i e
z 2 1 i . Logo, no mínimo, o polinômio terá quatro raízes e será de grau 4.
4. (UFF) Considere as seguintes afirmações sobre polinômios de coeficientes reais:
(I) Todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos um zero real
(II) Um polinômio de grau par pode ter todos os zeros complexos
(III) 2 + i e 3 - i podem ser zeros de um mesmo polinômio do 3º grau
São verdadeiras:
a) I e II
b) I e III
c) II e III
d) Todas
e) Nenhuma
Solução. Analisando as afirmações, temos:
(I) Verdadeiro. Pois se os coeficientes são reais, as raízes complexas estão com seus conjugados.
(II) Verdadeiro. Seus zeros estarão acompanhados dos respectivos conjugados.
(III) Falso. Pois seus conjugados também seriam zeros e assim o polinômio seria do 4º grau, no
mínimo.
5. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n, em que m e n são números reais, admite 1 + i (sendo i é a
unidade imaginária) como raiz. Então m e n valem respectivamente:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) 0 e 2
d) 2 e – 2
e) – 2 e 0
Solução. Como os coeficientes são reais, 1 + i e 1 – i são raízes da equação.
(1 i)3 m(1 i)2 2(1 i) n 0 2i 2 2mi 2 2i n 0
4i 2mi n 0
2n 0 n 0
3
2
2i 2 2mi 2 2i n 0 4i 2mi n 0
(1 i) m(1 i) 2(1 i) n 0
2n 4 2n 4 n 2
Logo, 4i 2mi (0) 0 i( 4 2m) 0 4 2m 0 2m 4 m
4
2
2
.
6. (UNIFICADO) Sabendo-se que a equação x3 – 2x2 + 7x – 4 = 0 tem raízes a, b e c, escreva com
coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes a + 1, b + 1 e c + 1.
Solução. Utilizando as relações de Girard, temos:
a) Na equação x3 – 2x2 + 7x – 4 = 0, temos:
i) Soma das raízes: a + b + c = – (– 2)/1 = 2;
ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas: ab + ac + bc = 7/1 = 7;
iii) Produto das raízes: abc = – (– 4)/1 = 4
b) Na nova equação de raízes a + 1, b + 1 e c + 1, temos:
i) Soma das raízes: (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = (a + b + c) + 3 = 2 + 3 = 5.
ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas: (a + 1).(b + 1) + (a + 1). (c + 1) + (b + 1). (c + 1) =
= ab + a + b + 1 + ac + a + c + 1 + bc + b + c + 1 = (ab + ac + bc) + 2(a + b + c) + 3 = 7 + 4 + 3 =14.
iii) Produto das raízes: (a + 1)(b + 1)(c + 1) = (ab + a + b + 1)(c + 1) = abc + ab + ac + a + bc + b + c + 1
= (abc) + (ab + ac + bc) + (a + b + c) + 1 = 4 + 7 + 2 + 1 = 14.
Logo a equação é: x3 – 5x2 + 14 x – 14 = 0.
7. (FUVEST) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação polinomial 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a
1. Determine o valor de k.
Solução. Há três raízes. Considerando essas raízes como r, s e t, sendo (r.s) = 1. Temos:
Pr oduto rst
rst 2 (rs).t 2 1.t 2 t 2 .
4
Pr
oduto
2
2
Se t = – 2 é raiz, então substituindo na equação o resultado será nulo.
2.( 2)3 (2)2 k(2) 4 0 16 4 2k 4 0 2k 16 k
16
8 .
2
8. (PUC) O número z = 1 + i é uma das raízes da equação 4z4 – 8z3 + 7z2 + 2z – 2 = 0, que tem:
a) 2 raízes reais distintas e 2 complexas não reais. b) uma única raiz real e 3 complexas não reais.
c) somente raízes complexas não reais.
d) 3 raízes reais e uma complexa não real.
Solução. Como os coeficientes são reais, se 1 + i é raiz, 1 – i também é raiz. Aplicando o dispositivo
de Briot-Ruffini, temos:
O quociente de grau 2 é: Q(x) = 4x2 – 1. Encontrando os zeros, temos:
1 1
x1
.
1
4 2
4x 2 1 0 x 2
4
x 1 1
2
4
2
9. Uma raiz da equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0 é igual à soma das outras duas. Determine todas essas
raízes.
Solução. Há três raízes. Considerando essas raízes como r, s e t, sendo (r + s = t) .
Soma r s t
r s t 4 (r s) t 4 t t 4 2t 4 t 2 . Se t = 2 é raiz, temos:
4
Soma
4
1
O quociente de grau 2 é: Q(x) = x2 – 2x – 3. Encontrando os zeros, temos:
x 2 2x 3 0 x
S = {– 1, 2 , 3}.
x 3
2 4 4(1)( 3) 2 16 2 4
.
1
2
2
2
x2 1
10. (UNEB) As raízes da equação x3 – 6x2 + 3x + m = 0 formam uma PA. O valor de m é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
Solução. Considerando (x – r, x, x + r) as três raízes em PA de razão r, temos:
e) 10
Soma ( x r ) x ( x r ) 3 x
6
3 x 6 x 2 . Substituindo x = 2 na equação, vem:
6
3
Soma 1 6
(2)3 – 6(2)2 + 3(2) + m = 0 => 8 – 24 + 6 + m = 0 => – 10 + m = 0 => m = 10.
11. As raízes da equação x3 – 6x2 + kx + 64 = 0 estão em PG. Determine k.
Solução. Escrevendo três termos de uma PG de razão q, temos:
x
PG : , x, xq
q
. Substituindo x = – 4 na equação, vem:
x
. xq x3
Pr oduto .x
q
x 3 64 x 3 64 4
64
Soma 1 64
(– 4)3 – 6(– 4)2 + k(– 4) + 64 = 0 => – 64 – 96 – 4k + 64 = 0 =>– 4k = 96 => k = – 24.
12. (FUVEST) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, q e 2 . O valor de p2 + q2 é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9
Solução. Como 2 é raiz, encontramos as demais utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
O quociente de grau 2 é: Q(x) = 9x2 + 18x + 5. Encontrando os zeros, temos:
9x 2 18x 5 0 x
18 324 4(9)(5) 18 144 18 12
2(9)
18
18
.
30
5
2
2
x1 18 3
25 1 26
5 1
p2 q2
9 9 9
3 3
x 6 1
2
18
3
13. (UFF) Considere 3 números reais m, n e p, tais que m n p
3 . Pode-se afirmar que m, n e p são zeros do polinômio:
5
a) Q(x) = 10x3 + 8x2 + 3x + 15
b) Q(x) = 8x3 + 10x2 + 15x + 3
1,
2 e
mn mp np
5
3
mnp
c) Q(x) = 3x3 + 15x2 + 10x + 8
d) Q(x) = 8x3 + 15x2 + 3x + 10
e) Q(x) = 15x3 + 3x2 + 10x + 9
Solução. Escrevendo as frações com o mesmo denominador, temos:
Q( x ) ax 3 bx 2 cx d
1
3
b
3
m n p 5 15 a 15
a 15
.
b 3
2 10
c 10
3
2
mn
mp
np
Q
(
x
)
15
x
3
x
10
x
9
3 15
a 15
c 10
3
9
d
9
d 9
mnp 5 15 a 15
14. (UFMG) Os números - 1 e 1 são zeros do polinômio P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c. Calcule o terceiro zero
de P(x).
Solução. O produto das três raízes será P = – 2c/c = – 2. Logo, (– 1).(1).(r) = – 2 => – r = – 2 => r = 2.
Logo o terceiro zero será 2.
