Apostila de Matemática Aplicada

Professor William Kfouri
Exercícios de Matrizes
1) Escreva a matriz A = (aij) de ordem 3, em que aij  i 2  j 2
Resp.:
 2 5 10
 5 8 13


10 13 18
 1i  j , se i  j
2) Escreva a matriz A = (aij) de ordem 3, definida por aij  
0, se i  j
Resp:
 0 1 1 
 1 0  1


 1  1 0 
i  j , se i  j
3) Escreva a matriz A = (aij)4x2 , definida por aij  
i  j , se i  j
Resp:
 2x  3 y   7 
   
4) Determine x e y, sabendo que 
 3x  y  16 
2
1

2

3
3
4 
1

2
Resp: x = 5 e y = –1
 x  y 2a  b   3  1
  

5) Determine a, b, x e y, sabendo que 
 2x  y a  b   0 7 
Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = –5
 0

6) Dada as matrizes A    6

 5
2
3
1
4
 0  6 5



y e B   x 3 1  , calcule x, y e z para que

4 8 z
2 


Resp: x =
 1

a2 

 2b
 e B 3
7) Sejam A   16
a
  27 log 1 

3
81 

B = A t.
2 ,y=8 ez=2
9
 calcule a, b e c para que A=B.
c 
Resp: a = – 3 , b = c = – 4
 2 1
0  1
 3 0
8) Dadas as matrizes A  
,B
eC


 , calcule:
  3 4
2 5 
6 1
a) A+B
b) A – Bt – C
 2 0

 1 9
Resp: a) A  B  
  1  1

  8  2
b) A  B t  C  
3
  1


9) Dadas as matrizes A   2 e B   4 ,determinar a matriz X tal que X  A  B  0
 5 
 2 
 3    1   4
Resp: X  A  B   2   4  2
 5   2  3
1
Professor William Kfouri
1  1 0 
10) Dada a matriz A  2 3
4  , obtenha a matriz X tal que X  A  At

0 1  2
2 1 0 
Resp: A  1 6 5 
0 5  4 
11) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij  2i  j e B = (bij)1x3 tal que bij  i  j  1 , calcule A+B.
Resp: 2 2 2
m 2m n  n  7 8
12) Ache m, n, p e q, de modo que: 



 p p  q  3q  1 5
Resp: m  5, n  2, p  2 e q  1
2
1
1 3
5
T

13) Calcule a matriz X, sabendo que A   1 0, B  
e  X  A  B



  2 0 2
4 3 
4  4 
Resp: 2 0 
 1  1 
3
2
14) Dados A  
0  5
 1
 4 2 0 
B

 Determinar X, tal que
4
 3 1  1
2/3
a) 3X  2 A  B  0
Resp: X  
 1
b) X  2 A  B  0
Resp: 
c)
X
 2A  B
3
2
 2/3
 11/3
3 
 2  6 2 

  3 11  9
 6  18
6 
Resp: 

 9  33  27 
3
 1
X  Y  A  B
14) Resolva o sistema 
, sendo A    e B    .
  2
5
X Y  2A  B
9 
 5 
2
 6 
Resp: X   2  e Y  
 3
15) Efetue as multiplicações das matrizes
 5  3  3 
a) 
 
  1 4    2
 21 
Resp: 

11
 2
b) 1 3 5 0
3
Resp: [17]
 5 2 2  1
c) 


  1 4 0 3 
 10 1 
Resp: 

 2 13
2
Professor William Kfouri
 2  1 0
16) Dada a matriz A  1 0 0 , calcule A2.


0 0 1
Resp: 2  1 0
1 2
 2 0
17) Sabendo que M  
e N 

 , calcule MN–NM.
0 1
1 1
 2  2
Resp: 

0  2
1 2
18) Sendo A = 
eB=
3 4
3  2 0
0
1
0
2 0
t
t
t
1 2 , mostre que  A.B   B . A .


19) Determine a inversa das matrizes:
0
1 
3 4
a) A  

1 0
Resp:  1  3 
 4
4 
1 0 0
b) B  1 3 1


1 2 0
Resp:
 1
0
0 


 1 0 1 
2
 2
 12 1  3 2
 1 0
2 5 
20) Sabendo que A  
e B

 , determine X tal que AX = B
  1 0
3  1
2 5 
Resp: X  

5 4 
Exercícios para AV1 – Sem Respostas
Resolver os exercícios abaixo e conferir as respostas com seus colegas de grupo.
1– Escreva a matriz C =( ci j)4x1 de modo que ci j = i2 + j
2–Escreva a matriz C= B+A onde, a matriz B =( bi j)4x3 de modo que Bi j = i + j e a matriz
A =( ai j)4x3 de modo que ai j = i – 2j
3– Escreva a matriz E = (ei j ) 3x3 de modo que
ei j =
4) Escreva as matrizes A = ( aij )3x2 , tal que aij =3i–2j
2
0
se i  j
se i  j
e B = ( bij )3x2 , tal que bij =2i+2j
e calcule X, Y e Z, tal que:
a)
X=A+B
b)
5) Dada as matrizes
Calcule:
a) 4. (C – D)
Y = 3 A – 5B
A   1  2 1
b) 3. (A .C)
c) Z +2B = X – 2Y
1
 
C   0
1
 
B   1 1 0
c) (3.D). (2.B)
d) (A + B). (C – 2.D)
xy
 3x  t
6) Seja matriz A = ( aij )2x2, é tal que aij = i + j e a matriz B = 
Calcule x, y. z e t sabendo que A = B
  1
 
D    1
  1
 
x  z

t  z 
3
Professor William Kfouri
7)Tomando as matrizes A e B do exercício anterior (2) calcule:
a) D = BA
b) E = AB – BA
c) F = A2 – B2
8) Determine a, b, c e d na equação matricial:
 1

1 
a

2

 2

 5
b

3 

4

c
3

d 
9) Obtenha a matriz X, que satisfaça a equação 2X– (A + B) = 3B + A.
3
A  
 2
5

6 
0
B  
1
4

5 
10) Resolva a equação Matricial, ou seja, determine a matriz X:
1 2 4

 
4 2 1
 6 1 0
  X
 
 2  1 3
X
11) Efetue os produtos das Matrizes
1
A  
3
0 
 2

2 0 
   1  3 
1 2 

 1 2 
 3
 
B    2   2 4 1
 4
 
 3  1  0 6 5 
  

C  
 2 5   1 3 4
12) Calcule x e y nas equações matriciais abaixo:
a)
2 x   4   1 

      
 y  3   5    3
13) Dada as matrizes
x
1
b) 
 2 3
 5 3
 e B  

A  
  3 6
  4 13 
1 x

y   1
1  5 1


y   1 2 
Calcule X tal que
A. X  B
14) Resolva as equações matriciais abaixo:
a)
c)
1 2 

  X
1 3 
 1 0 0


 2 1 0  X
 2 3 1


15) Se
 2
A  
 3

13 
 
18 
 5
 
 7
 2
 
 1

3 
b)
3
X 
2

4

3


7

5

 
 2 2  1 2 
1 7
  
  X  

5
5
1
3
2
7

 



d) 
determine X = A2 – At + A
16) Dadas as matrizes A =( ai j)6x4 tal que ai j = i – j,
C = AB, determine o elemento c42.
e B =( bi j)4x5 tal que bi j = j – i e a matriz
17) Dadas as matrizes A e B quadradas de ordem 2, onde A =( ai j) e B =( bi j), tal que
ai j = 3i + 4j e bi j = j – i e a matriz C = A + B, determine a matriz C2.
4
Professor William Kfouri
sen a  cos a 
1 1 
18) Determine a inversa da matriz de A e B,sendo A= 
e B= 


 cos a sen a 
2  3
2 0 4 
1 3 

 e B= 
19) Dadas as matrizes A= 
 3  2 6
 2  1
a) A.B
b) B.A
c) A.At
d) A.B t
1
x
20) Determine o valor de x e y para que A= 
 13  3
2 
21) Dadas as matrizes: A  
 9
–1
t
que: X . B . C = A
determine, se existir:
y
 eB=
0 
2  1
,B  

3 0 
e) A–1
f) (A–1) t
2 1 

 sejam inversas.
 0  1
4 3
e C

7 5
, encontre a matriz X, tal
22) Dizer se é Verdadeiro ou Falso: Justifique suas respostas.
1. Uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero é denominada matriz
nula (
).
( )
2. Uma matriz de tamanho 1 x m é dita uma matriz coluna ou um vetor coluna
( )
3. Uma matriz quadrada é uma matriz em que os elementos da linha subseqüente
são o quadrado dos elementos da linha anterior, i.e.
.
( )
4. Uma matriz quadrada é dita diagonal se todos os elementos fora da diagonal
principal forem nulos, i.e.
.
( )
5. Uma matriz identidade é uma matriz com todos os elementos iguais a 1, o u
seja,
( )
6. Uma matriz triangular inferior é uma matriz com todos os elementos abaixo da
diagonal principal iguais a zero, isto é
( )
7. Uma matriz é densa quando os elementos não nulos forem aqueles mais
próximos da diagonal principal.
( )
8. Uma matriz é esparsa quando a maior parte de seus elementos for igual a zero.
( )
9. Uma matriz é dita simétrica se houver uma simetria dos elementos em relação
à diagonal principal, isto é,
.
( )
10. A matriz transposta de uma matriz simétrica é igual a ela mesma.
( )
11. Apenas matrizes de mesmo tamanho podem ser somadas ou subtraídas
12. Para que duas matrizes possam ser multiplicadas uma pela outra, é preciso
que o número de colunas da primeira coincida com o número de linhas da
segunda.
( )
( )
5