Adição e Subtração de Matrizes

Universidade Federal de Juiz de Fora – UFJF
Faculdade de Engenharia
PET – Engenharia Civil
Curso de Matemática Básica
Aula 9 – Fundamentos de Álgebra Linear
Matriz
Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos
de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo
que m é o número de linhas e n o número de colunas.
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas
barras duplas, veja alguns exemplos:
Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de
colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três.
E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento.
Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la?
Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2:
O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna.
O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos,
representamos da seguinte forma:
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
Exemplo:
Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3 tal que ai j = 2i + j.
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada
no enunciado: ai j = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento sabendo que:
i é a linha que o elemento pertence.
j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1
a11 = 3
a21 = 2 . 2 + 1
a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2
a12 = 4
a22 = 2 . 2 + 2
a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3
a13= 5
a23 = 2 . 2 + 3
a23 = 7
Então os elementos que pertencem a matriz A são:
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas
ou apenas por características específicas.
►Matriz
linhas
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é
independente. Por exemplo:
1x3
►Matriz coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é
independente. Por exemplo:
5x1
►Matriz nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos
os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:
Podendo ser representada por 03 x 2.
►Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma
diagonal principal.
►Matriz diagonal
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal
principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou
não. Por exemplo:
►Matriz identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à
diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:
►Matriz oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:
A matriz oposta a ela é:
Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos
elementos.
►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos
correspondentes forem iguais.
►Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At de ordem
“invertida” n x m.
Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz transposta, basta trocar os
elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa.
Veja o exemplo:
Dada a matriz A =
At =
3 x 2, a matriz transposta representada por At, será:
2 x 3.
Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi invertida, o que era linha virou coluna
e o que era coluna virou linha.
Veja mais um exemplo:
Dada a matriz B =
3 x 3, a matriz transposta representada por
Bt, será:
Bt =
3x3
Observamos que quando temos uma matriz quadrada a sua matriz transposta terá a mesma ordem o que
irá diferenciar uma da outra é a disposição das linhas e colunas.
►Matriz simétrica
É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos da diagonal principal de A e
At são iguais.
Dada a matriz A =
2 x 2, a sua transposta é At =
.
Adição e Subtração de Matrizes
A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação
utilizada.
Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada:
toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.
A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a
linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra
na 1º linha e 2° coluna será representado por b12.
►Adição
As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também
outra matriz com a mesma ordem.
Assim podemos concluir que:
Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra
matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de
A e B, assim:
a11 + b11 = c11.
Exemplos:
Dada a matriz A=
+ B, teremos:
3 x 3 e matriz B=
+
=
3 x 3, se somarmos a A
3x3
Observe os elementos em destaques:
a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois
-1 + (-5) = -1 – 5 = - 6
O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 +
b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2
Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.
►Subtração
As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar
como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.
Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma
ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos
correspondentes de B, assim:
a21 – b21 = c21.
Exemplos:
Dada a matriz A =
teremos:
3x3eB=
3 x 3, se subtrairmos A – B,
-
=
3x3
Observe os elementos destacados:
Quando subtraímos a13 – b13 = c13,
-1 – (-5) = -1 + 5 = 4
Quando subtraímos a31 – b31 = c31,
- 4 – (-1) = -4 + 1 = -3
Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero
real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da
multiplicação de numero real por matriz:
-
1.A = A
(-1).A = -A
p.O = O
0.A = 0
p.(A + B) = p.A + p.B
- (p + q).B = p.B + q.B
- p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A
pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e ,
a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da
matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).
Existência de uma matriz inversa
Sabemos que uma matriz irá admitir inversa se, somente se, ela for quadrada e o produto dela com a
inversa forem iguais a uma matriz identidade de mesma ordem, mas será que podemos concluir que
qualquer matriz quadrada tem uma matriz inversa correspondente? Veja o exemplo abaixo:
Dado a matriz A =
, para verificar se ela é invisível temos que verificar se existe sua matriz
inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz A-1 iremos defini-la como sendo uma matriz
qualquer de ordem 2: A-1 =
igual a
. Para que A-1 seja a matriz inversa de A o produto delas deverá ser
.
Agora, formamos dois sistemas com a igualdade de matrizes abaixo:
Ao resolvermos o primeiro sistema chegaremos à seguinte conclusão:
4a + 2b = 1
2a + b = 0 (-2)
4a + 2b = 1
-4a – 2b = -2
0a + 0b = -1
Assim, podemos concluir que esse sistema é impossível, então não terá solução. Portanto, A matriz A não
é invisível.
Veja esse outro exemplo, onde a matriz terá sua inversa.
Dada a matriz B =
, para verificar se ela é invisível temos que verificar se existe sua matriz
inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz B-1 iremos defini-la como sendo uma matriz
qualquer de ordem 2: B-1 = . Para que B-1 seja a matriz inversa de B, o produto delas deverá ser igual a
.
Formando dois sistemas com a igualdade das matrizes, teremos:
Resolvendo o primeiro sistema, encontraremos os valores de a e c:
a + 4c = 1
0a + 2c = 0
2c = 0
c=0
a+4.0=1
a=1
Resolvendo o segundo sistema, encontraremos os valores de b e d:
b + 4d = 0
0b + 2d = 1
2d = 1
d=1/2
b + 4 . 1/2 = 0
b = -2
Portanto, concluímos que a inversa de B será B-1 =
.
Determinante
Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de
colunas).
•
Determinantes de matrizes de ordem 1
Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.
Por exemplo:
A = (1)
B = [-5]
O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim podemos
concluir que o determinante das matrizes A e B serão:
det A = | 1 | = 1
det B = | -5 | = -5
OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados
módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes.
•
Determinantes de matrizes de ordem 2
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da
diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária.
Dada uma matriz de ordem 2:
O seu determinante será
= a11 . a22 – a21 . a12.
Exemplo:
Dada a matriz B de ordem 2x2
. Calcule o seu determinante:
= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2
• Determinantes de matrizes de ordem 3
O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo diferente. Veja como é
feito.
Dada a matriz A de ordem 3x3
seguinte forma:
, o seu determinante será calculado da
Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A:
Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo que os produtos
da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais, veja:
Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.
det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, portanto det A = -59
Esse processo é chamado de regra de Sarrus.