ED_3 - FTP da PUC

Problemas sobre a modelagem com ED (Anton, Bivens, Davis, 2008)
1. Uma quantidade y = y(t) cresce a uma taxa proporcional ao quadrado da quantidade presente. Se
em t = 0 a quantidade presente é y0 determinar um problema de valor inicial cuja solução seja
y(t). Resolver a equação e encontrar a quantidade em função do tempo.
2. Suponha que a população inicial de 10.000 bactérias cresça exponencialmente a uma taxa de 2%
por hora e que y = y(t) é o no de bactérias presentes t horas mais tarde. a) Formular um problema
inicial cuja solução seja y(t) e encontrar uma fórmula para y(t). b) Quanto tempo leva para a
população de bactérias dobrar? C) Quanto tempo leva para a população de bactérias atingir
45.000? (Resp. a) y’(t) = y(t)/50 e y(0) = 10.000; 𝑏) 𝑦(𝑡) = 10.000𝑒 𝑡/50
3. O rádon-222 é um gás radioativo com uma meia-vida de 3 dias. Esse gás é prejudicial à saúde
porque tende a ficar preso nos porões das casas e o Ministério da Saúde sugere que se fechem os
porões para evitar a entrada do gás. Suponha que 5x107 átomos de rádon fiquem presos em um
porão no momento em que ele é selado e que y(t|) seja o no de átomos presente t dias mais tarde.
a) Encontre um problema de valor inicial cuja solução seja y(t) e encontre uma fórmula para
y(t); b) Quantos átomos estão presentes 30 dias depois?; c) Quanto tempo levará para decair
90% da quantidade original de gás? Resp (a) y’(t) = -kt e k ~ 0,1810; b) y = 5x107e-0,181t
4. Suponha que 100 moscas das frutas sejam colocadas em um recipiente de acasalamento que
possa suportar, no máximo, 5000 moscas. Supondo que a população cresça exponencialmente a
uma taxa de 2% por dia, quanto tempo levará para atingir a sua capacidade? (Resp ~ 230,26
5. Uma cidade tinha, em 1998, uma população de 10.000 habitantes. Em 2003, depois de 6 anos, a
população teve um aumento de 20%, passando para 12.000 moradores. Se a taxa de crescimento
populacional é exponencial, em que ano a população será de 20.000 habitantes?
6. Um cientista deseja determinar a meia-vida de certa substância radioativa. Ele verifica que em
exatamente 5 dias uma amostra de 10 miligramas de substância decai para 3,5 miligramas.
Baseado nesses dados qual será a meia-vida? (Resp. 3,30 dias
7. Determine um modelo de crescimento exponencial y = yoekt que satisfaça as condições dadas: a)
yo = 3 e tempo de duplicação T = 6; b) y(0) = 4 e taxa de crescimento = 2%; c) y(1) = 1 e y(20) = 200;
y(1) = 2 e tempo de duplicação T = 6.
8. Suponha que uma quantidade y tenha um modelo de crescimento exponencial y = y0ekt ou decaimento
exponencial y = y0e-kt. Em cada caso, determine uma fórmula para k em termos de y0, y1 e t1, supondo
que t1 seja diferente de zero.
9. a) Mostre que se uma quantidade y = y(t) tiver um modelo exponencial e se y(t1) = y1 e y(t2) = y2, então o
tempo de duplicação ou a meia vida T é 𝑇 = |
(𝑡2 −𝑡1 ) ln 2
|;
𝑦
ln( 2⁄𝑦1 )
b) durante um certo período de 1 hora o
número de bactérias em uma colônia cresce 25%. Supondo um modelo de crescimento exponencial, qual
é o tempo de duplicação para a colônia? (Resp. ~ 3,106 ℎ
10. Em modelos populacionais, muitas vezes é importante que o tamanho da população tenda a uma
constante positiva L, que é chamada capacidade de tolerância do sistema. Um modelo com essa
𝑑𝑦
𝑦
propriedade é fornecido pela equação diferencial logística dada por 𝑑𝑡 = 𝑘(1 − 𝐿 )y, k > 0. As soluções
da equação logística têm aplicações na modelagem do crescimento populacional, na disseminação de
uma doença e na Ecologia. a) Mostrar que as funções constantes y = 0 e y = L são soluções da equação
logística; b) Por que y cresce quando y < L e decresce quando y > L?; c) para quais valores de y é
máxima a taxa de crescimento de y em relação a t? Resp d) L/2
11. Se y = y(t) é solução da equação diferencial logística do exercício anterior com valor inicial yo = y(0) de
𝑦0𝐿
y, usar separação de variáveis para mostrar que 𝑦 =
−𝑘𝑡 ; Mostrar que lim 𝑦(𝑡) = 𝐿
𝑦0 +(𝐿−𝑦0 )𝑒
𝑡→∞
12. Suponha que o crescimento de uma população y = y(t) seja dado pela equação logística
𝑦=
; a) qual é a população no instante t = 0?; b) qual é a população de tolerância L/; c) qual é a
constante k? d) quando a população atinge a metade da capacidade de tolerância? Resp. a) y0 = 5; b) L =
12; c) k = 3; d) 0,3365
60
5+7𝑒 −𝑡