transformações lineares

TRANSFORMAÇÕES LINEARES
INTRODUÇÃO
As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços
vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são vetores. Este
tipo de funções possui uma propriedade importante que é preservar a adição de vetores e a
multiplicação de vetor por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na
Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática.
TRANSFORMAÇÃO LINEAR (T L)
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear
(TL) , se
i) f(u+v) = f(u) + f(v) , u, v  V
ii) f(  u) =  f(u),    e u  V
No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.
E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares. .
a) f:    , dada por f(x) = 2x
b) f:  2   2 , dada por f(x,y) = (x ,0).
E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?
a) f(x)= 2x + 1
x+y |
b)f(x,y) = xy
c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z )
d)f(x,y) = |
E3) Numa TL. f: V  W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :
a) f(u+v)
b) f(3u)
c) f(u -v)
d) f(2u+5v)
PROPRIEDADES DAS T Ls
a) Se f: V  W é uma TL então f(0V) = 0W.
b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação
linear das imagens com os mesmos coeficientes. Isto é,
f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).
E4) Seja f: 3  w a projeção ortogonal do 3 sobre o plano xy, indicado por w .
a)Encontre a f(x,y,z)
b)Determine f (2,-1,3)
E5) Se f: 2  3 é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)= (2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule:
a) f(u+v)
b) f(3u)
c) f(2,4)
d) f(2u-3v)
MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA
 2  1
Seja a matriz A=  3 0  . Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um
 5  4 
 2x  y 
x 
vetor v =   , por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =  3x  . Logo, a matriz A
y
5x  4 y
define uma transformação f: 2  3 , onde f(v)= A.v ou f(x,y) = (2x-y,3x,5x-4y). Pode-se
mostrar que essa transformação é linear.
Toda matriz Amxn define uma TL f: n  m , com f(v)= A.v. Neste caso, A é chamada matriz
natural ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f]. As linhas de A
são, respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f.
 1 2  3
E6) Seja a matriz A= 
, determine :
3 
4 5
a) a lei da TL definida por A.
b) a imagem de v=(1,-1,1), usando a matriz A.
c) a imagem de v=(1,-1,1), usando a lei.
d) o vetor u , tal que f(u)=0
E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y)=(x+2y,x-y,3x-5y)
E8) Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
a)f(x,y,z)=(x+y-z,0)
b)f(x)=(2x,0,-x)
c)f(x,y)=x+y
d)f(x)=3x
  1 2
E9) Um operador linear no 2 é definida pela matriz f   
 . Determine u e v , tal que :
 0 1
a) f(u)=u
b) f(v)=-v
 1
1
2
 1
0
 3
E10)Um operador linear no 3 é definido pela matriz A   1  2  1 . Determine v e w tal que:
a) f(v) = 0
b) f(w) = (2,-1,-3)
2 1 
E11)Um operador linear é definido pela matriz A= 
 . Determine v  0 e u  0 tal que:
3 4
a) Av = 5v
b) Au = -2u
T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA
Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica
do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da
matriz canônica de f.
E12) Seja f: 2  3 a TL definida por f(1,0) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4,-3). Determine:
a) f(5,4)
b) f(x,y)
c) f(5,4) pela lei
E13) Seja f: 3  2 a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre
f(x,y,z) e [f].
E14) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f].
E15) Seja f a TL definida por f(1,0,0) = (1,0), f (0,1,0) = (2,-1) e f(0,0,1) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].
COMPOSTA DE DUAS TLs
Sejam f1: V  W e f2: W  U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2of1: V  U
definida por (f2of1)(v) = f2(f1(v)).
W
w=f1(v)= [f1].v
f1
f2
[f1]
[f 2]
V
U
f2of1
v
u= f 2(w)= [f2].[f1].v
[f2of1] = [f2]. [f1]
Importante:
A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.
E16) Sejam os operadores lineares definidos por f1(x,y) = (3x+y , y-x) e f2(x,y) = (2x-y , 3x).
a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
E17) Sejam as TL dadas por f1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2(x,y,z) = ( x-y , y-z). Determine:
a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
RESPOSTAS
E2) a) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
E3) a) 2u + 3v
b) 6u
c) 2u – 3v
d) 4u + 15v
E4) a) (x,y,0)
b) (2,-1,0)
E5) a) (0,-5,-5)
b) (6,-3,-6)
c) (4,-2,-4)
d) (10,10,5)
E6) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z)
2
1

E7) A =  1  1
 3  5 
b) (-4,2)
 1 1  1

0 0 0
E8) a) A = 
E9) a) (y , y) , y  
 2

0
 1
b) A = 
b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z  
E11) a) (x , 3x) x  
b) Não existe.
b) f(x,y) = (3x – 2y , 2x + 4y , x – 3y)
E12) a) (7 , 26 , -7)
E13) f(x,y,z) = (2x – 4y –2z , 3x + y – z )
E14) f(x,y) = (3x + 4y , -2x , x + 2y)
E15) f(x,y,z) = (x + 2y + 4z , – y + 3z )
9  3
1 
7 1 
e 

9 3
1  3

0  1
2  2
0 
2
d) (-7z,5z,z) , z  
c) A = 1 1
b) (x , 0) , x  
E10) a) (3z , z , z) , z  
E16) a) 
1
c) (-4,2)
c) (7 , 26 , -7)
 2  4  2

1  1
3
 3 4
=  2 0
 1 2 
[ f ] =
[f]
2 4
1

 0  1 3
[ f ] =
b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)
 1 2
e 

  1 1
b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)
E17) a) 1
d) A =[3]