Resolução

Resolução do Exame de Recurso (27/09/2001):
1.
F ' x   e ln kx .
2
2
2
k
1
 e x .2 x  kx   2 xe x  k  2 xe x
kx
x
'
F 1  0  k  2e  0  k  2e
2.
1  x  dx  2
2
2.1. 
4
1
x

4
1

1
2
 2


1  x  dx   1  x  
3
x
2
3

4
1

2
3
2.2.


1
 x2
x ln xdx  lim  
xln xdx  lim  ln 2
t   1
P. P. t   2
f
g

t
2
 x2 2
 lim  ln
t   2

2
t
2
t x

1
x   lim 
 2 ln x  dx 
x
 1 t  1 2
t
t
t
t x

 x 2 ln 2 x x 2 ln x 
x   lim  
xln xdx  lim 


lim
dx 

P. P. t  
2  1 t  1 2
 1 t  1 f g
 2
t
 x 2 ln 2 x x 2 ln x x 2 
 t 2 ln 2 t t 2 ln t t 2 1 
 lim 

   lim 

    
t  
2
4  1 t  2
2
4 4
 2
3.
y

3.1.1.  x  ye x

y

dx  xe x dy  0

Seja y  tx  dy  tdx  xdt .
Substituindo y e dy na equação diferencial dada, vem:


 x  txetx x dx  xetx x tdx  xdt   0  x  txet dx  xtet dx  x 2 e t dt  0 


1
 xdx  x 2 e t dt  0  dx  e t dt  0  Eq. Dif. Var. Separadas
x
3.1.2. Solução geral:
1
 xdx   e dt  C  ln x  e
ln x  e
t
y
x
C
t
 C; C  IR . Como y  tx  t 
y
, vem:
x
3.2. y '''  y '  0  Equação diferencial linear de ordem 3 homogénea com coeficientes
constantes.
Equação característica:
λ3  λ  0
Raízes da equação característica:
λ  0 de multiplicidade 1;
  1 de multiplicidade 1;
λ  1 de multiplicidade 1.
Solução geral da equação diferencial dada:
y x   C1  C 2 e x  C3 e  x , com C1 , C2 e C3 constantes arbitrárias.
Assim:
y x   C1  C 2 e x  C3 e  x  y ' x   C 2 e x  C3 e  x  y ' ' x   C 2 e x  C3 e  x
C1  C 2  C3  0
C1  0
 y0  0



 C 2  1
 y ' 0  2  C 2  C3  2
 y ' ' 0  0
C  C  0
C  1

3
 3
 2
Solução particular: yx   e x  e  x
4.
4.1.A afirmação é falsa. A área da região R é representada por


1
1
dx .
x
4.2. A afirmação é falsa, pois a multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa.
1 0 
0 1
 0 1
Por exemplo, sendo A  
e B
, temos que AB  


 e
2  1
2 1
 2 1
2  1
BA  
.
4  1
4.3. A afirmação é verdadeira.
Se A é invertível  det  A  0 .
 A  det  A  0 .
Logo, det A 2   det
 
0
0
 
Ou seja, A 2 é invertível, pois det A 2  0 .
5.
5.1.
i) não existem valores de  e  para os quais car ( A)  1 ;
ii) car ( A)  2  α  0  α  1 ;
iii) car ( A)  3  α  0  α  1 .
5.2. A matriz A é invertível sse
car ( A)  3 , ou seja, A é invertível sse
α  0  α  1  β  IR .
5.3.
O sistema é possível e determinado sse
  0    1  0    IR    IR \ 0,1   IR ;
O sistema é possível indeterminado sse
α  0  α  1  β  IR ;
O sistema é impossível sse car ( A)  car A | 0
Não existem valores de  e  para os quais o sistema seja impossível.
5.4.
5.4.1.
1 0 2 1 0 0 
U | I   0 2  1 0 1 0
0 0 1 0 0 1


L'2  1 L 2
2
1 0 0 1

0 1 0 0
0 0 1 0


'
L1  L1  2 L3
L'2  L 2  L3
1 0 0 1 0  2 


0 2 0 0 1 1 
0 0 1 0 0 1 
0  2
1


1
1
1  U  0

2
2
0
0
1 
0  2
1
1 
2
2
0
1 
5.4.2.
1
Ux  b  x  U 1b  x  0
0
0  2  1   3
1
1   1   1 
2
2 
2
0
1   2  2 
 






5.5. det U 1 L1 A  det U 1 L1 LU  det U 1 IU  det I   1 .
6.
O Lagrangeano da função f x, y, z   x  y 2  z 2 sujeita à restrição x 2  y 2  1 é dado
por:


Lx, y, z,    x  y 2  z 2   x 2  y 2  1
Pontos críticos:
1  2x  0
      
       
2 y  2y  0
2 y 1     0
 y  0    1



 L  x, y , z ,    0  



2 z  0
z  0
z  0
 x 2  y 2  1  0
      
       
x  1
x  1
   1
  1
2
2


2 
2

  1
  1


 y  0
 y  0  


z0
z0
z  0
z  0


x  1
 x  1 

3
y 3


 y 
2 
2




 x, y, z,    1,0,0, 1  x, y, z,     1,0,0, 1  x, y, z,     1 , 3 ,0,1 
2
2
2
 2

 x, y, z,     1 , 3 ,0,1
2
 2

Atendendo a que
m 1
 0 2x
 2 x 2
H L  x, y , z ,    
2 y 0

0
0

(nº de restrições),
n3
(nº de incógnitas) e
0
0
0
, vem:
2  2 0

0
2
2y

Para x, y, z,    1,0,0, 1 :
2
0 2
2  1
1
H L 1,0,0, 2  
0 0

0 0


0 0
0 0
1 0

0 2
 2 m1   3  4  0 ,  m n   4  8  0 e m é ímpar  f 1,0,0  1 é mínimo


Para x, y, z,     1,0,0, 1 :
2
 0 2
 2 1
 1,0,0, 1  
2 0
0

0
0
H L

0 0
0 0
3 0

0 2
 3  12  0 ,  4  24  0 e m é ímpar  f  1,0,0  1 é mínimo
Para x, y, z,     1 , 3 ,0,1 :
2
 2





3
1
H L  2 , 2 ,0,1  




0
1
1
2
3
0
0
0
3 0

0 0
0 0

0 2
 3  6  0 ,  4  12  0 e m é ímpar   1 , 3 ,0  é ponto sela
2 
 2
Para x, y, z,     1 , 3 ,0,1 :
2
 2

 0
1  3

1
2
0
H L  1 2 , 3 2 ,0,1  

  3 0
0

0
0
 0
0

0
0

2
 3  6  0 ,  4  12  0 e m é ímpar   1 , 3 ,0  é ponto sela
2 
 2