INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO MATEMÁTICA II

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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO
MATEMÁTICA II
Licenciaturas em Economia, Finanças e Gestão
26 de Janeiro de 2009 – Época Recurso – Duração: 2 horas
Grupo I
(Cotação: 2 + 2 + 2 + 2)
O Grupo I possui carácter eliminatório.
f ( x, y) 
1) Considere a função
ln[( x  1) 2  ( y  1) 2  1]
yx
a) Determine Df e represente-o graficamente.
b) Indique int( Df ) e diga, justificando, se Df é um conjunto limitado. Df é compacto?
Q( x, y, z )  x 2  2 xy  2 xz  ky2  (k  3) z 2  6 yz .
Determine os valores de k   para os quais Q( x, y, z) é definida positiva.
2) Considere a forma quadrática
f ( x, y)  ln( x 2  y 2  5).
 3 n  2 que verifica a condição y2  7.
3) Determine os extremos da função f definida por
4) Determine a solução da equação y n  2  2 y n 1
Grupo II
(Cotação: 2,5 + 3 + 4 + 2,5)
1) Determine a solução geral da equação diferencial y ''  3y '  4y  8e x .
2) Seja A=
( x, y)  
2
3) Considere a função

: x 2  y  2  x 2 . Calcule
 xe
A
y 2
dydx.
f :  2   definida por
 x sin y 2

f ( x, y )   y 2
 0
,y 0
,y 0
a) Estude a diferenciabilidade de f na origem.
b) Estude a continuidade de f na origem.
4) Seja
g :  2   uma função positiva, diferenciável em todo o seu domínio e homogénea de
grau 2. Mostre que z
 g ( x, y) 
z
z
 verifica a condição x  y
 0, ( x, y )  Dg , y  0 .
 ln 
2
x
y
 y
