1 - Instituto UFC Virtual

(Aula03-Top3-Texto Complementar) CONTINUIDADES COM  E  1
Aula03-Top3-Texto Complementar (Link )
CONTINUIDADES COM  E 
Este texto trata de continuidades com o rigor matemático em que tradicionalmente
tal estudo é realizado. Não haverá dificuldades para o entendimento, caso o aluno tenha se
acostumado com sistemática do texto complementar indicado no final do tópico 2 desta
aula.
O conceito de função contínua em um número, apenas acrescenta ao conceito de
limite, que o limite da função seja igual ao valor da função nesse número. Logo, para
expressar que uma função f é contínua num valor c, usando  e  , basta que seja
omitida da definição de limite a condição 0  | x  c | (isto é, 0 é menor do que | x  c| ),
uma vez que x pode ser igual a c na definição de continuidade e substituir L por f ( c) ,
tal definição é formalizada a seguir.
Uma função f é contínua num valor c, se f está definida em algum intervalo
aberto contendo c e para qualquer   0 existe   0 tal que
| x  c|    f ( x)  f ( c)  .
O teorema seguinte, refere-se ao teorema 2 do tópico 3 desta aula, que agora pode
ser demonstrado.
Teorema 1. Sejam lim g( x)  a e f contínua em a, então
xc
lim f g(x)   f  lim g( x)   f (a ).
x c
 x c

Demonstração. Como f é contínua em a, para qualquer   0 existe 1  0 tal que
| y  a |  1  f ( y )  f ( a )   ;
também, como lim g( x)  a , para o 1 mencionado existe   0 tal que
xc
0 < | x - c | < d Þ g(x) - a < d1.
Substituindo y por g ( x ) na primeira afirmação, obtém-se
g( x)  a  1  f g( x)  f (a)  .
Portanto, tem-se
(Aula03-Top3-Texto Complementar) CONTINUIDADES COM  E  2
0  | x  c |  g(x)  a  1  f  g(x)   f (a)  , ou seja, lim f g( x)  f (a).
xc
Substituindo a por lim g( x) na última igualdade, a demonstração está concluída.
xc
Sendo f contínua num valor c, para cada   0 dado, é obtido   0 tal que
| x  c|   implica que f ( x)  f ( c)  ; frequentemente o  obtido depende de  e de c,
ou seja, é possível que a afirmação "| x  a|    f ( x)  f ( a )   " não se verifique
quando a  c (mesmo sendo f contínua em a). Por exemplo: se f ( x)  x2 , então f é
contínua em todo número real c, logo para qualquer   0 existe   0 tal que
| x  c|    f ( x)  f (c)  x2  c2  .
Considere x 


e um número a tal que x  a  2 , então | x  a|  , mas
2



f (x)  f (a)  x 2   x     x 
 x 
 x   .
2
4
4

2
2
As funções que têm a propriedade de preservar a implicação da definição de função
contínua num valor, com  dependendo apenas de , são ditas uniformemente contínuas.
Mais precisamente, diz-se que uma função f é uniformemente contínua, se para
quaisquer x e u no domínio de f e qualquer   0 existe   0 tal que
| x  u|    f ( x)  f ( u)  .
Toda função uniformemente contínua é contínua, mas nem toda função contínua é
uniformemente contínua. Veja o exemplo dado, isto é, f (x)  x 2 e o exercício 9 do
exercitando deste texto.
Exemplo Resolvido. Mostrar que a função f (x)  2x  1 é uniformemente contínua.
Solução. Como f é contínua em todo valor c, para qualquer   0 existe   0 tal que
| x  c |    (2x  1)  (2c  1)  ;
mas
| (- 2x + 1) - (- 2c + 1) | < e Û | - 2 || x - c | < e Û | x - c | <
logo  

2
verifica a implicação.
e
,
2
(Aula03-Top3-Texto Complementar) CONTINUIDADES COM  E  3
Seja agora u um valor qualquer (mesmo sendo u  c ), então
| x  u |    f (x)  f (u)  | (2x  1)  (2u  1) |  | 2 || x  u | 2  .
Isto mostra que f é uniformemente contínua.
Exemplo Proposto. Provar que a função f ( x )  mx  b é uniformemente contínua.
A prova do teorema seguinte, não faz parte dos objetivos deste texto, ele será
enunciado devido a necessidades posteriores. Uma demonstração pode ser encontrada na
referência “Curso de Análise - Lima, Elon Lages, Editora Edgard Blucher Ltda, 1976”.
Teorema 2. Se f é uma função contínua num intervalo fechado
uniformemente contínua em I.
I, então
f
é
Observe que f ( x)  x 2 não é uniformemente contínua em seu domínio, conforme
foi verificado neste texto; mas pelo teorema 2, f é uniformemente contínua em qualquer
intervalo fechado.
EXERCITANDO
1. Se lim f (x)  L e lim g(x)  M  0, usando o teorema 1 deste tópico (isto é, tópico 3
x c
x c
f (x)
x ® c g(x)
desta aula), mostre que lim
=
L
.
M
Sugestão: seja h(x) = 1x , então h (g(x))=
1 .
g(x)
2. Se lim f (x)  L, usando o teorema 1 deste texto, mostre que lim n f (x)  n L se L  0
x c
x c
e n é inteiro  2 ou L é qualquer valor e n é ímpar  3.
3. Se f é uma função contínua em todo valor de x, mostre que lim f (x  t)  f (x).
t 0
4. Nas condições do exercício 45 do exercitando deste tópico (isto é, tópico 3 desta aula)
para uma função f, mostre que a inversa de f é contínua em f (a), f (b).
5. Nas condições do exercício 46 do exercitando deste tópico (isto é, tópico 3 desta aula)
para uma função f, mostre que a inversa de f é contínua em f (b),f (a).
6. Mostre que se as funções f e g são contínuas num valor, então são contínuas nesse
valor as funções p(x)  mín.  f (x), g(x) e q(x)  máx .  f (x), g(x) , onde p e q
xD
xD
foram definidas no enunciado dos exercícios 27 e 28 do exercitando do tópico 2 da
aula 02.
6. Usando a definição de função uniformemente contínua, mostre que
f ( x)  x 2
é
(Aula03-Top3-Texto Complementar) CONTINUIDADES COM  E  4
uniformemente contínua em qualquer intervalo fechado.
7. Usando a definição de função uniformemente contínua, mostre que
uniformemente contínua em qualquer intervalo fechado [ 0, b ].
f ( x)  x
é
8. Diz-se que uma função f é lipschitziana no seu domínio D, se existe uma constante
k  0 tal que f (x)  f (u)  k | x  u | para x e u em D. Mostre que toda função
lipschitziana no seu domínio D, é uniformemente contínua em D.
9. Mostre que f (x) =
1
x
não é uniformemente contínua em ( 0,  ).
RESPOSTAS (Exercícios ímpares)
Não têm respostas, todos os exercícios são de demonstrações.