Lista_de_exercícios_02_Análise_Combinatória_com_gabarito

Lista 02 de Análise Combinatória
1ª Lista de Exercícios
1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?
2) Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos
formar com no mínimo 2 alunos da M35?
3) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma
seja par?
4) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros
constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o
prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas
farmácias.
5) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes
numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De
quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante?
6) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37?
7) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos.
Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521?
8) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas
substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura
explosiva?
9) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores.
Quantas são as possíveis distribuições das cartas?
10)Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos.
Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face?
11) Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos
que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem
coplanares?
12)Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma
comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática?
13)Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta
cadeiras de uma sala de aula?
14)Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?
15)Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se
que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que estavam na reunião?
16)Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136, e o número de seus
subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p.
17)Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do
lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado devemos ter 4
tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações.)
18)Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão escolhidos
para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantas maneiras
distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa?
19)O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27 da M36.
Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas
são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado?
2ª Lista de Exercícios
1) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos
podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?
2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam com P e
terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA?
3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e
que a fila terá:
a) os homens e as mulheres agrupados.
b) homens e mulheres misturados
c) homens e mulheres alternados
1) Qual é o total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000?
2) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras comparecem sem repetição.
Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta palavra é 210, calcule n.
3) Com 7 pontos distintos, 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s, quantos triângulos com a base sobre
r podemos formar?
4) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a
que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou errado”. De quantas maneiras
diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de
cada parte e 10 questões no total?
2
5) Designando-se por A, B, C, D, E e F seis cidades, qual será o número de maneiras possíveis para se ir de
A até F, passando por todas as demais cidades?
6) Dados 10 pontos do espaço, sendo que apenas 4 deles são coplanares, qual é o número de planos que
podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
7) Num tribunal, dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia; três são paulistas, dois mineiros,
três gaúchos e dois baianos. Qual é o número de formas de se julgar consecutivamente os três paulistas?
8) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A, B, e C.
De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A, quatro ao B e um livro
ao professor C?
9) Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -. Cada sequência contém
n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. Qual é o mínimo valor de n de modo que cada uma das 26
letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos do nosso sistema decimal sejam representados por uma
dessas sequências?
10) Na TV Minas há um programa de entrevistas, chamado “Roda Viva”. Os entrevistadores sentam-se em
volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no centro da roda em uma cadeira giratória. Dos oito
entrevistadores do próximo programa: dois serão da Folha de São Paulo, dois da Veja e dois de O Canal.
Sabendo-se que os jornalistas serão dispostos em torno da roda de modo que colegas de trabalho
permaneçam juntos, quantas disposições serão possíveis?
11) De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas, sendo p homens de alturas
diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo dos homens como no
das mulheres, as pessoas estejam dispostas em ordem crescente de altura?
12) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não repetidos, de modo que
o 1 sempre preceda o 5. Qual é a quantidade de números assim constituídos?
13) Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas, será oferecida, a 5 dos 29 alunos da turma M31,
uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves. Sabendo-se que os inseparáveis, Francisco e
Vinícius só viajam juntos, de quantas formas distintas podemos selecionar o grupo felizardo?
14) Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendo-se que A e B
nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa?
3ª Lista de Exercícios
1.
Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um
número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).
3
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de maneiras
possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de
cada cor.
3. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na
classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final.
Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último
colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?
4.
Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois
elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por questão de
economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados
tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras distintas podem fazer isto?
5. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular.
Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão
sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras
distintas podem se sentar?
6. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A banda será
formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como o Jonas, o Juliano e a
Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem juntos. De quantas maneiras
distintas será possível formar a banda?
7. Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6
e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Um
número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos será um número divisível por 3).
8. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2
algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.
9. Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se
recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o
número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.
10. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice
diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
11. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminala, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
12. Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis Luiz
Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma
4
que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas maneiras podem posicionar-se para
tirar a foto?
13. Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa O +(idênticos e
lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem posicionar, sendo que pelo
menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.
14. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos
repetidos.
15. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só
irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar?
16. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas
maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam
pintadas da mesma cor?
17. Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e Ana Paula resolveram
sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve
ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?
18. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento
pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall?
19. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único
brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil.
Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um
carro brasileiro, determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida
onde irá participar com 3 carros.
20. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado, todos os
representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo. Como os alunos
de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro,
e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. Quantas serão as maneiras que
poderemos dispolos.
21. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser
reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a Ludmila passar.
Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.
22. Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra
seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?
23. Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila aleatória
para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:
5

Rômulo e Cotinho não entram juntos

Mac Fly e Erika só entram juntos
Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36?
24. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a Aline for, e
vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas maneiras seria possível
compor a mesa.
25. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os
homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta
ordem?
26. Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o
mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10
cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura
depende dos blocos utilizados. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança
pode formar.
4ª Lista de Exercícios
1.
Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Qual o número de
comissões distintas que podem, assim, ser formadas?
2. Dados os conjuntos {1, 3, 5, 7, 9} e { 2, 4, 6, 8}, calcule o número de conjuntos com elementos distintos
que se pode formar, apresentando 3 números ímpares e 2 pares.
3. Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas
pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.
4. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A), de
Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria,
chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando
somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
6
C
Norte
B
Leste
A
5. Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas?
6. Uma urna tem 5 bolas numeradas.
a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição?
b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição?
c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente?
7. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7?
8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3 membros em que
figure sempre um determinado professor?
9. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher quatro números
cujo produto seja positivo?
10. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser
obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?
11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma
comissão com 6 membros, se cada comissão deve ter, no mínimo, 3 engenheiros?
7
GABARITO
1.
C12,3  C5 ,3
2. a)
Lista 1.
1. a) 35 b)
n 2  3n
2
5. C 29, 6 .PC6  C 29, 2 ( PC5 .2  PC 4 .4)
8!
13!
11!
.9
b)
c)
2!6!
4!
5!
3. a)
6!.4!.2
b)
10!6!.4!.2
6. 30
7. 48
c) 8. 505
impossível
9. 144
2. 325
4. 728
10. 6840
3. 2030
5. 4
4. 648
6. 20
5.
(10.9.8) 4 .4!
7. 1500
6.
233  1
8. 4!
C10,3  C 4 ,3  1
7. 90ª.
9.
8. 140
10. 7!.8.3!
9. C 52,13 .C 39,13 .C 26,13 .C13,13
11.
10. 100
12. 7
11.
C10,3
C10,3  C 6,3  1
12. 13502
C8,3 .C5,4 .C1,1
13. 192
( p  q)!
14.
p!q!
13. 2450
15. 60
14. 168
16. C 27,3  C 27,5
15. 12
17. 12
16. p  2;
17. 5760
k  17
Lista 3.
18. 212520
19. 230356
6
C
i 1
13. 30.7!
14. 252
15. C 33, 6  C 33, 4
16. 3.2
4. 100
6
17. 36
18. C 4,3 .C 3, 0  C 4,1 .C 3,1
19. 90
20. 2580480
21. 63
22. C12, 6 .PC 6
23. 840.20!
24. C 21, 6 .PC6  C 21, 4 ( PC6  PC5 .2)
1. 72
3. 504
6 ,i
12. A31, 4  C 32,1 .4
25. a)
2. 9
Lista 2.
11.
b)
20!
.4
10!.10!
20!
.2
10!.10!
26. 14
8