Método Estatístico: - matematicaaseuspes

Exercícios de Números Complexos – Forma Algébrica - GABARITO
1. Resolva, em C, cada equação:
a) x  4 x  13  0
b) 9 x  36 x  37  0
Solução. Utilizando a fórmula da equação do 2º grau, temos:
2
2
x 2  4 x  13  0  x 
a)
 (4)  (4) 2  4(1)(13)
2(1)

c) x 4  5 x 2  6  0
4  16  52 4   36


2
2
 4  6i
 2  2  3i
x
 V  2  3i,2  3i
 4  6i  2  3i
 2
 (36)  (36) 2  4(9)(37) 36  1296  1332 36   36
9 x  36 x  37  0  x 



2(9)
18
18
2
b)
 36  6i 6  i

 18
6  i 6  i 
3
x
V  
,

3 
 3
 36  6i  6  i
 18
3
 x 2  y
 x 4  5x 2  6  0  y 2  5 y  6  0
 4
2
 x  y
 5  1
 x   2  2i
 2  

 x    2   2i
 2
 (5)  (5) 2  4(1)(6)  5  25  24  5  1
c) y 


 y
2(1)
2
2
 x   3  3i
 5 1


3


 2
 x    3   3i


V   3i, 3i, 2i, 2i

2. Qual o valor de m para que o produto (2  mi).(3  i ) , seja um imaginário puro?
Solução. Para que um número complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser nula. Desenvolvendo,
temos:
Re( z )  (6  m)
z  (2  mi).(3  i )  6  2i  3mi  mi 2  6  (2  3m)i  m  (6  m)  (2  3m)i  

Im( z )  (2  3m)
 Re( z )  0  (6  m)  0  m  6
3. Dado z  (m  2)  (m  16)i , determine m real de modo que z seja um número real não nulo.
2
Solução. Para que um número complexo seja real, a parte imaginária deve ser nula. Temos:
Re( z )  (m  2)  0
m  4
z  (m  2)  (m 2  16)i  

2
Im( z )  (m  16)  0  (m  4).( m  4)  0 m  4
4. Observe o gráfico e escreva a forma algébrica dos números representados no plano Argand-Gauss e seus
respectivos conjugados e módulos.
0 2  (3) 2  9  3
A  – 3i
A
B = 3 + 2i
B  3 – 2i
B  32  2 2  9  4  13
C = – 2i
C  2i
C  0 2  (2) 2  4  2
D = – 4 – 3i
D  – 4 + 3i
D  (4) 2  (3) 2  16  9  25  5
A = 3i


5. Determine os valores reais de m e n para que  m 


1
2
  n  1 i  3i .
2
Solução. Dois complexos são iguais e suas partes reais e imaginárias o forem. Temos:
1
1

m 0 m 

2
2
1


2
 m    n  1 i  0  3i  
n2
2

n 2  1  3  n 2  4  


n  2



6. Dados os complexos z1  4  3i , z 2  1  5i e z 3  4  7i , determine:
a) z1  z 2  z 3
b) Re (3z1  z 2  2 z 3 )
c)
z1 .z 2
d)
z1
z2
e)
z1  z 2
z 2  z3
Solução. Efetuando as operações com complexos, temos:
a)
z1  z 2  z 3  4  3i  1  5i  4  7i  4  1  4  3i  5i  7i  1  5i
b)
Re (3z1  z 2  2 z 3 )  Re(12  9i  1  5i  8  14i)  Re(12  1  8  9i  5i  14i)  Re(19  10i)  19
c)
z1 .z 2  (4  3i).(1  5i)  4  20i  3i  15i 2  4  15  23i  11  23i
d)
z1
4  3i
4  3i  1  5i   4  20i  3i  15i 2  4  15  17i
19 17


.


  i
2
2
z 2  1  5i  1  5i  1  5i 
26
26 26
(1)  (5)
e)
z1  z 2
 3  2i   3  2i 3  12i   9  36i  6i  24   33 30  33 30

.

i 

i



9  144
z 2  z 3  3  12i   3  12i 3  12i  
  153 153  153 153
7. (FEI-SP) Se a soma dos valores complexos
( ) z = 10 – 2i
( ) z = 10 + 2i
z  2z  3z  4z é 320 + 28i ( z é conjugado de z), então:
( X ) z = 32 – 14i
( ) z = 32 – 2i
( ) z = 2 + 14i
Solução. Considerando z = a + bi, efetuando a soma e igualando as partes reais e imaginárias, temos:
 z  a  bi
 z  2 z  3z  4 z  4 z  6 z  4(a  bi )  6(a  bi )  4a  4bi  6a  6bi  10a  2bi

 z  a  bi
10a  320  a  32
 10a  2bi  320  28i  
 z  32  14i
 2b  28  b  14
8. (UFBA) Sendo ( 2  i )x  ( 4  3i ) y 
1  2i
, calcule (2xy), com x, y  IR .
i
Solução. Desenvolvendo a expressão do lado direito e eliminando a unidade do denominador, temos:
1  2i i
i2
.  2 x  xi  4 y  3 yi 
 2 x  4 y  xi  3 yi  i  2  0 
i i
1
2 x  4 y  2
2 x  4 y  2
 (2 x  4 y  2)  ( x  3 y  1)i  0  

 2y  4  y  2
 x  3 y  1  (2)  2 x  6 y  2
10
 2 x  4(2)  2  2 x  2  8  x 
5
2
Logo, 2 xy  (2.2.5)  20
(2  i ) x  4 y  3 yi 
9. (UFBA) Existe um número real x tal que z 
xi
é um número imaginário puro. Determine o simétrico de x.
1  3i
Solução. Escrevendo a forma algébrica de “z” e igualando a parte real a zero, temos:

xi
x  i 1  3i x  3xi  i  3i 2 x  3 3x  1
z


.



i
x3

 0  x  3  Simétrico(3)  3
1  3i 1  3i 1  3i
10
10 
12  3 2

10
Re( z )  0

10. (UNEB-BA) Se i é a unidade imaginária, qual é o valor de i  i  i  i.i ?
Solução. Substituindo as potências de “i” pelos respectivos restos pela divisão por 4, temos:
25
39
108
50
i 25  i 39  i 108  i.i 50  i 1  i 3  i 0  i.i 2  i  i  1  i  1  i
11. (UF-AL) Seja o número complexo z  i
( X ) – 2i
101
 i 102  i 103  i 104  i 105  i 106 . Calculando-se z 2 , obtém-se:
( )–1+i
( ) 2i
( ) 2 – 2i
( ) – 6 + 6i
Solução. Substituindo as potências de “i” pelos respectivos restos pela divisão por 4, temos:
z  i 101  i102  i 103  i104  i 105  i 106  i 1  i 2  i 3  i 0  i1  i 2  i  1  i  1  i  1  i  1
z 2  (i  1) 2  i 2  2i  1  1  2i  1  2i
12. (FUVEST) Considere a equação z  z  (  1) z , onde
2
número complexo z.
a) Determine os valores de


é um número real e z indica o conjugado do
para os quais a equação tem quatro raízes distintas.
b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando   0 .
Solução. Considerando z = a + bi e efetuando as operações, temos:
 z  a  bi
 z 2  z  (  1) z  (a  bi ) 2   (a  bi )  (  1)( a  bi ) 

 z  a  bi
2
2
2
2
a)  a  b  2abi  a  bi  a  bi  a  bi  a  b  2a  a  ( 2ab  b)i  0

a 2  b 2  2a  a  0


b  0


2ab  b  0  b(2a  1)  0  a  1


2

i)
a  0
b  0  a 2  2a  a  0  a(a  2  1)  0  
a  2  1
2
a
ii)
1
1
1
3
3
1
1 1
    b 2  2       0   b 2     0  b 2     0  b 2   
2
4
2
4
4
2
2 2
b
3

4
Para que as raízes sejam distintas, o radicando deve ser maior que zero. Logo,
3
3
  0   
4
4
 z1  0
a  0
b0

a  2(0)  1  1  z 2  1
b) Se
  0 , temos:


3
1
3
b
z3  
i



1
3
3


2
2 2
a   b  
  b  
0  

2
4
4

b   3
z  1  3 i

 4 2 2
2
Representação no plano complexo.