Limites e continuidade

Limites e continuidade
Definição: Seja z0 um ponto de acumulação do domínio D de uma
função f. Diz-se que f tem limite L com z tendendo a z0 , se para
todo   0 , existe um   0 , tal que f ( z)  L   sempre que 0  z  z0   .
Denota-se:
lim z  z0 f ( z )  L
Proposição: Se lim z a bi f ( z )  L1 e lim z a bi f ( z )  L2 então
L1  L2 .
Propriedades dos limites
1) Se a, m e n são números reais, então:
lim z  a  bi (mz  n)  m(a  bi)  n
2) se c é um número real qualquer, então:
lim z a bi c  di  c  di
3) lim z a bi z  a  bi
Proposição: Se lim x z f ( z ) , lim x z g ( z ) existem
qualquer, então:
1) lim z  z [ f ( z ) 
0
2)
g ( z )]  lim z  z 0 f ( z )  lim z  z 0 g ( z )
lim z  z 0 cf ( z )  c lim z  z 0 f ( z )
3) lim z  z
0
f ( z ).g ( z )  lim z  z0 f ( z ) . lim z  z0 g ( z )
f ( z ) lim z z0 f ( z )
, lim z  z g ( z )  0

0
g ( z ) lim z z0 g ( z )
4)
lim z z0
5)
lim z z0 [ f ( z )]n  [lim z z0 f ( z )]
6)
lim z  z0
n
f ( z )  n lim z  z0 f ( z ) , se lim z  z0 f ( z )  0
lim z  z0 f ( z )  0
7)
8)
, e c é um número real
e n inteiro ou se
e n inteiro positivo ímpar
lim z  z0 ln[ f ( z )]  ln[lim z  z0 f ( z )] , se lim z  z0 f ( z )  0
lim z  z0 cos[ f ( z )]  cos[lim z  z0 f ( z )]
Aula8
Página 1
9)
lim z  z0 sen[ f ( z )]  sen[lim z  z0 f ( z )]
10) lim z z
0
e f ( z)  e
lim z z f ( z )
0
Exemplo:
Encontrar os limites abaixo:
a) lim z i (3 z  1)
b)
lim z2i ( z 2  3z  5)
c)
lim z 3 2i
d)
lim z 2i
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z 5
z3  7
z 4  4z  1
Página 2
e)
lim z i
z 2  5z  6
z2
Exercício
Encontrar os limites abaixo:
2
1) lim z 1 (4 z  7 z  5)
z 2  2z  3
5  3z
2)
lim z 3i
3)
 3z 2  2 z  5 

lim z 2i 
  z 2  3z  4 


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3
Página 3
4)
5)
6)
7)
8)
lim z 1i
lim z 1
lim z i
lim z  i
lim z 2i
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z2 1
z 1
2 z 2  3z  4
5z  4
z3 1
z2 1
z 3  3z 2  z  3
z3  z 2  2
z 4  10 z  4
z 3  2z 2
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Símbolos de indeterminação
0 
, ,   , 0  , 0 0 ,  0 ,1
0 
Exemplos:
1) lim z i
2) lim z  i
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3z 4  2 z 3  8 z 2  2 z  5
z i
3z 2  1
z6  1
Página 5
3) lim z i
1
( z  i) 2
Limites no infinito
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então:
1
1
1) lim z  
2) lim z  
0
0
n
z
zn
Exemplos:
1) lim z  
2)
2z  5
=.
z 8
lim z 
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2 z 3  3z  5
4z  2
5
=
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