Álgebra Linear e Geometria Analítica 1а Lista de Exercícios

Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica
1a Lista de Exercícios
Prof.a Tânia Preto
1. Escreva na forma de tabela as seguintes matrizes:
a) A2X3 = [ai,j ] onde ai,j = i2 + j
b) B2X5 = [bi,j ] onde bi,j = i2 + j 3 − 1



se i < j
se i > j
2
2
i + j , se i = j
i + j,
c) C4X4 = [ci,j ] onde ci,j =  i ∗ j,

{
d) D4X4 = [di,j ] onde di,j =
i + j, se i = j
i ∗ j, se i ̸= j
e) E3X3 = [ei,j ] onde ei,j = (−1)i+j ∗ (i + j)
f) E1X4 = [fi,j ] onde fi,j = ij
2. Para cada matriz do exercício anterior, obter a sua transposta.


2 3 5
−3
3 2 
3. Dadas as matrizes A = 


2 7 −1




−1 4 2
5 1 1



5 8 eC= 1 6 3 
B= 3
.
1 −5 4
1 −2 5
Calcular:
a)
b)
c)
d)
A+B+C
2A + B 2 − 3
A.B
AT .B
(
4. Dadas as matrizes A =
(
B=
1 −1 0
0 1 0
)
a b 1
−1 1 a
(
eC=
3 4
−4 1
)
e
)
.
Calcular:
a) a e b, sabendo que A.B T = C .
b) a e b, sabendo que B.AT = I .
T
T
5. Uma matriz quadrada A é chamada
 de ortogonal se A.A
 = A .A = I . Verique se a
seguinte matriz é ortogonal.
1
0
0
cosα senα 
.
0 −senα cosα
A=
 0
1


−2 3 −1

6. Verique se o produto A.AT é uma matriz simétrica onde A = 
 1 −3 1 .
−1 2 −1


7. Seja a matriz A = 


1
1
3
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2



.

Use operações elementares e deixe essa matriz na
(
forma da matriz B, onde A e D são blocos 2X2. B =
A B
0 D
)
.
8. Sabendo que a matriz C a seguir é simétrica, calcule o valor de x + y .


2
1
−1
 2
0
1−y 
C= x
.
x y−3
1
9. Conhecendo-se somente os produtos A.B e A.C, como podemos calcular A.(B + C),
B t .At , C t .At e (A.B.A).C ?
(
10. Sejam A =


1 −3 0
0 4 −2
)
x

eX= y 

z
Verique que xA1 + yA2 + zA3 = AX , em que Aj é a j-ésima coluna de A, para j = 1,
2, 3.
(
11. Mostre que matrizes da forma A =
1 1/y
y 1
)
, onde y é um número real não nulo,
satisfazem a equação X 2 = 2X .
12. Seja o seguinte diagrama (grafo):
Figura 1: Grafo I
A matriz de incidência representa a ligação entre os pontos (nós) do diagrama, sendo
que, se existe ligação entre os nós i e j, então ai,j = aj,i = 1. caso contrario é zero.


Sendo assim a matriz de incidência para o grafo I é a seguinte: A = 


2
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0



.

a) Obter a matriz de incidência para o grafo II.
Figura 2: Grafo II

b) Obtenha (desenhe) o grafo para a seguinte matriz:



A=



0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0




.



13. Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A2 = A.


2 −2 −4

a) Verique se a matriz A =  −1 3 4 
 é idempotente ou não.
1 −2 3


2 −2 −4

b)) Idem para a matriz A =  −1 3 4 
.
1 −2 −3
c) Se a matriz A é idempotente, mostre que a matriz B = I − A é idempotente e
AB = BA = 0.
14. Quais das seguintes matrizes são equivalentes por linhas?
(
A=
3 6 0
2 1 4

)
(
,B=


0 1
4 3
)
(
,C=
2 1
4 3

)
,


1 0 0
−2 1 0
2 1 1




1 
D=
 0 4 0 , E =  4 −3 2 , F =  4 0
.
2 0 1
5
6 1
6 24 12


−1 −1 0

15. Obter a inversa de A =  0 −1 −1 
.
1 −1 −3
(
16. Determine m e n para que a matriz B =
(
m −22
−2 n
)
.
3
5 22
2 9
)
seja a inversa da matriz A =
17. Obter as inversas (se existirem) das seguintes matrizes:





1 1 1
1 2 1






A =  0 1 2 , B =  2 1 1 , C = 

2 3 4
1 −1 0



D=



i
3
2 −1
a


3 −i 1
i 
 0
, E = 
 0
2 1 −1 0 
−i i
0
1
0
0
b
1
0
0
0
c
0
0
0
0
d
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1



, F =

0
0
0
1
(



,

cosx senx
−senx cosx
)
18. As operações elementares a seguir, quando aplicadas a uma matriz A de ordem 3,
transformam a matriz A em uma matriz equivalente por linhas a matriz identidade.
Determine as matrizes A e A−1 .
• op.1 L2 = L2 − 2L1
• op.2 L3 = L3 − 4L1
• op.3 L3 = L3 + L2
• op.4 L3 = −L3
• op.5 L2 = L2 + L3
• op.6 L1 = L1 + 2L3
19. Usando o procedimento que transforma [A : I] em [I : A−1 ] para calculo de matriz
inversa, obter (AB)−1 dadas as seguintes matrizes:

A−1



1 3 0
2 1 1




=  0 1 1  e B −1 =  0 0 −2 .
1 −1 4
1 1 −1


0 1 2

20. Dada a matriz A =  1 2 1 
 resolver a equação A−1 .X.AT = A sem substituir
−1 3 8
X por uma matriz genérica.
21. Resolver as seguintes equações matriciais, supondo A inversível e usando as propriedades vistas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
AX = B
XA = B
X −1 A = B
AX −1 = B
AXB = BA
(AX)T = B
(AX)−1 = B
((AX)−1 B)T = A
AX = AT + I
4
22. Dada uma matriz AnXn = [aij ], então o traço de A, denotado tr(A), é denido como
a soma de todos os elementos da diagonal principal de A, isto é,
n
∑
aii . Sendo assim,
i=1
mostre que:
a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
b) tr(AT ) = tr(A)
c) tr(AT A) ≥ 0
23. Para cada item diga se é verdadeiro ou falso, provando ou dando contraexemplo para
cada um.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
Se a matriz A possui uma linha nula então AB também tem uma linha nula.
Se a matriz A possui uma coluna nula então AB também tem uma coluna nula.
Se A e B são matrizes diagonais nXn, então AB = BA.
Se AAT = 0 então A = 0.
A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.
Se tr(AAT ) = 0 então A = 0.
Sejam duas matrizes A e B de ordem n equivalente por linha. A é inversível
somente se B é inversível.
Se A, B e C são matrizes de ordem n, então (ABC)−1 = C −1 A−1 B −1 .
Se A é inversível, então (A−1 )−1 = A.
Se A é inversível, então (kA)−1 = kA−1 .
Se uma matriz A é inversível, então A2 também será.
Se as matrizes A e B de ordem n são inversíveis, então A+B também será.
Se a matriz A é inversível, então se AB = AC , tem-se B = C .
Bom Trabalho!
5