LÓGICA MATEMÁTICA "O que eu ouço, eu esqueço. O que eu vejo

LÓGICA MATEMÁTICA
"O que eu ouço, eu esqueço. O que eu vejo, lembro. O que eu faço,
aprendo".
Confúcio (551 - 479 A.C.)
Um pouco de História
A história da lógica antiga inicia-se propriamente com Aristóteles, no século IV a. C.
(384-322 a. C.). Na antiguidade, os gregos foram preponderantes no cultivo,
prática e gosto pelo argumento. Entre os predecessores de Aristóteles (Platão, sem
dúvida) devemos chamar a atenção para o trabalho dos sofistas, classe de tutores
privados da Grécia antiga; e convém mencionarmos que paradoxos e argumentos
falaciosos, argumentos que, de premissas aparentemente verdadeiras e por
passos aparentemente válidos, levam a conclusões aparentemente falsas, eram
conhecidos na Grécia antiga.
A maior parte da contribuição relevante de Aristóteles, para a lógica, encontra-se
no grupo de trabalhos conhecidos como Organon, mais especificamente nos
Analytica Priora e no De Interpretatione. Aristóteles criou a teoria do silogismo e
axiomatizou-a de diversas formas. Iniciou o desenvolvimento da lógica modal,
lidando com as noções de necessidade, possibilidade e contingência: uma
sentença A é contingente se A é não necessária, porém não impossível.
É famosa a questão dos futuros contingentes de Aristóteles.
Exemplo: Haverá uma batalha naval amanhã.
A teoria dos silogismos (uma regra de inferência que deduz uma proposição
categórica – a conclusão – a partir de duas outras, chamadas premissas) constitui
um dos primeiros sistemas dedutivos já propostos.
Filósofos e historiadores da lógica consideram a teoria do silogismo como a mais
importante descoberta em toda a história da lógica formal, pois não constitui
apenas a primeira teoria dedutiva, mas também um dos primeiros sistemas
axiomáticos construídos.
Modernamente, podemos interpretá-la como um fragmento da lógica de primeira
ordem, ou seja, do cálculo de predicados de primeira ordem.
Consideremos de imediato, como intuitivamente claro em termos pré-formais, o uso
de variáveis e símbolos de predicados e o significado dos operadores lógicos para:
existencial (∃, “existe”), universal (∀, “para todo”), negação (~, “não”), conjunção (∧,
“e”), disjunção (∨, “ou”), condicional (→ “se ... então”), e bicondicional (↔,
“equivalente” ou “se, e somente se”).
RESUMO
1. SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES
As sentenças são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s,...
Exemplos:
p: 4 < 1
q: Inês é bondosa.
r: A capital do estado da Bahia é Salvador.
s: 5  3  8
1.1. TIPOS DE SENTENÇAS
 Imperativas:
São proposições em que se ordena alguma coisa.
p: Tire a caneta daí.
 Interrogativas:
São aquelas sentenças em que se questiona algo. Não admite valor
verdadeiro ou falso.
q: A sua resposta está correta?
 Declarativas ou afirmativas.
São as que se afirma algo. Pode ou não ser verdadeira.
r: Marcos é um excelente aluno.
Sentenças abertas
São sentenças que não podem ser classificadas nem como verdadeiras, nem
falsas. Elas dependem do valor da variável.
Exemplo:
 p(x): 4x – 3 = 5
 q(x): 2x < 6
Sentenças fechadas
São sentenças que se pode atribuir um valor lógico, verdadeiro ou falso.
Exemplo:
 p: 2 + 2 = 5
 q: 12 é divisível por zero.
2. MODIFICADOR
Dada uma proposição p: Carlos tem 5 livros., podemos ter outra proposição usando
o modificador “não”(~), que é a negação e terá o valor lógico oposto.
Então ~p: Carlos não tem 5 livros.
3. CONECTIVOS
A partir de proposições simples podemos compor novas proposições usando os
conectivos “e” (˄), “ou” (˅), “se... então”(→) e “se e somente se”(↔).




p ˄ q é conjunção e só é verdadeira se p e q são verdadeiras.
p ˅ q é inclusão e é verdadeira quando uma das proposições é verdadeira.
p → q é condicional e só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa.
p ↔ q é bicondicional e só é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou
ambas são falsas.
OBS.: a proposição p → q é igual a ~ q → ~ p
4. TAUTOLOGIA
Quando temos uma tabela verdade somente com V é chamado de tautologia.
Quando temos uma tabela verdade somente com F é chamado de contradição.
5. NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
 ~ (p ˄ q) = ~ p ˅ ~ q
 ~ (p ˅ q) = ~ p ˄ ~ q
 ~ (p → q) = p ˄ ~ q
6. QUANTIFICADORES
Nas sentenças abertas (ORAÇÕES QUE CONTÊM VARIÁVEIS), existem duas
maneiras de transformá-las em proposições:
 atribuir valor às variáveis
 utilizar QUANTIFICADORES
6.1. Quantificador universal
É indicado pelo símbolo  , que se lê: “qualquer que seja”, “para todo” ou “para
cada”.
Exemplos
1) p: (  x) (x + 1 = 7) = F
2) q: (  x) (x3 = 2x2) = F
3) r: (  x) (y2 + 1 > 0) = V
6.2. Quantificador existencial
É indicado pelo símbolo , que se lê: “existe”, “existe pelo menos um” ou
“existe um”.
Exemplos
1) p:(  x )(x + 1 = 7) = V
2) q:(  x )(x2 + 1 ≤ 0) = F
Algumas vezes utilizamos outro quantificador: (  l ), que se lê: “existe um único”,
“existe somente um”.
Exemplo
1)(  l x ) (x + 1 = 7) = V
2) (  l x ) ( x + 2 > 3) = F
7. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS
7.1. Uma sentença quantificada com quantificador universal (  ), do tipo
(  x) (p(x)), é negada assim:
 substitui-se pelo quantificador existencial e nega-se p(x), obtendo:
(  x )(~ p(x)).
Exemplo
1) sentença: (  x) (x + 3 = 5)
negação:(  x ) (x + 3  5)
2) sentença: Todo losango é quadrado.
negação: Existe um losango que não é quadrado.
7.2. Uma sentença quantificada com quantificador existencial (  ), do tipo
(  x) (p(x)), é negada assim:
 substitui-se pelo quantificador universal e nega-se p(x), obtendo:
( x ) (~ p(x)).
Exemplo
1) sentença: (  x ) (2x – 4 = 4)
negação: ( x ) (2x – 4  4)
2) sentença:(  x ) (x > 3x)
negação: ( x ) x ≤ 3x)
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Qual a negação da sentença aberta “y ≥ 5” ?
2. Qual a sentença negativa de “Hoje é domingo e amanhã não choverá” ?
3. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem
de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo:
I. Guto chegou antes de Aires e depois de Doda.
II. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e
somente se Aires chegou depois de Doda.
III. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou
junto com Guto. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Cacau chegou antes de Aires, depois de Doda e junto com Juba.
Guto chegou antes de Cacau, depois de Doda e junto com Aires.
Aires chegou antes de Doda, depois de Juba e antes de Guto.
Aires chegou antes de Juba, depois de Cacau e junto com Doda.
Juba chegou antes de Doda, depois de Guto e junto com Cacau.
4. A proposição p → ~ q é equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
p˅q
p˄q
~p → q
~q → p
~p ˅ ~q
5. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é
carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ~ q
b) p ˄ q
c) p ˅ q
d) p → q
e) p → (~ q)
6. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala
italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
7. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se
concluir que:
a) se x 3, então y 7
b) se y = 7, então x = 3
c) se y 7, então x 3
d) se x = 5, então y = 5
e) se x = 7, então y = 3
8. Assinale a proposição composta logicamente verdadeira:
a) (2 = 3) → (2.3 = 5)
b) (2 = 2) → (2.3 = 5)
c) (2 = 3) e (2.3 = 5)
d) (2 = 3) ou (2.3 = 5)
e) (2 = 3) e (~ (2= 2))
9.
A negação de todos os gatos são pardos é:
a) nenhum gato é pardo;
b) existe gato pardo;
c) existe gato não pardo;
d) existe um e um só gato pardo;
e) nenhum gato não é pardo.
10. Se V(p) = V e V(q) = V, então (p ˄ q) tem valor lógico:
a)
b)
c)
d)
e)
V
F
nem V nem F
tanto V como F
n.r.a.
11. Considere a afirmação abaixo, feita a respeito de um número natural n: “Se
n é múltiplo de 8 e n é quadrado perfeito, então n é menor do que 20.”
Dependendo do valor que se atribui a n, essa afirmação pode se tornar
verdadeira ou falsa.
Dentre os valores apresentados abaixo para n, o único que torna a
afirmação FALSA é:
a)
b)
c)
d)
e)
81
64
24
16
9
12. (FEI-SP) Dadas às proposições:
1)
2)
3)
4)
5)
Toda mulher é boa motorista.
Nenhum homem é bom motorista.
Todos os homens são maus motoristas.
Pelo menos um homem é mau motorista.
Todos os homens são bons motoristas.
A negação de (5) é:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
13. Qual a negação de cada proposição abaixo?
a)
mdc (2,3) = 1 ou mmc (2,3) ≠ 6
b)
3
6

ou 3.10  6.5
5 10
c) 3  1 e  3  7
7
d) 2 2  4 
42
e)
 32  9 
f)
2  5  32  52

9  3
g)  x  x  2  3 x  3 2
h)  x 

x 0


i) Todo número inteiro primo é ímpar.
j) Todo triângulo isósceles é eqüilátero.
k) Existe um número cuja raiz quadrada é zero.
i) Existe um losango que não é quadrado.