Ficha Nº 12

Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança"
Ano Lectivo
2011/2012
FICHA DE TRABALHO
NOME: ____________________________________ ; Nº_____
Matemática
12º
1. Considera a função f definida em IR por f  x   cos x . Seja r a recta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa

. Seja s a recta que passa na origem do referencial e é paralela à recta r . Qual é a equação reduzida da
3
recta s
(A) y  
3
x
2
(B) y  
3
x 1
2
2
x
2
(C) y 
2
x
2
(D) y  
senx
. O conjunto dos zeros da função h é:
cos x  1
(C)    , 0,  
(D)   2 ,   , 0,  
2. Considera, definida em   2 ,   , a função h  x  
(A)
  ,  
(B)
  2 , 0 
3. O valor de a , de modo que a função f  x   a sen  2 x   5 tenha contradomínio  1,11 pode ser:
(A)  3
(B) 4
(C) 6
(D) 3
x 2  2sen x
4. Dada a função real de variável real definida por f  x  
, o valor do lim f ( x ) é:
x 0
3x
1
2
(A)
(B)
(C) 1
(D) 0
3
3
1
5.Considera a função f definida por f  x   5ln x  x e a função g de domínio  0; 2  definida por
2
senx
g  x 
.
2  cos x
5.1.Utiliza a calculadora para determinar o conjunto solução da condição f x   g x  . Usa valores aproximados às
décimas. Explica como procedes-te.
Resolve as alíneas seguintes por processos exclusivamente analíticos.
5.2.Calcula lim
x 
f  x
x
y
5.3.Na figura está parte da representação gráfica da função f .
Determina a área do rectângulo  ABCD .
5.4.Prove que
g ' x 

3 3
D 'g   
;
.
3
3


5.5.
Seja
2 cos x  1
 2  cos x 
2
C
D
6
4
e justifique que
A
B
2
0
0
1
2
3
4
5
6
-
h uma função cuja expressão analítica é 2
g  x
h  x 
. Indica, justificando, o valor lógico da seguinte afirmação:
4
cos x

“A recta x 
é uma assimptota vertical do gráfico de h
2
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7
8
x
 senx
cos x
6.Seja f uma função real de variável real definida por: f  x   


sucessão de termo geral un  f   
se x  
se x  
e, seja
 un 
a
2

n
6.1. Qual das expressões seguintes define o termo geral de  un  ?
2
n
2
n
(A)  sen  
2

n
(B)  cos  
(C) sen 


(D) cos   
2

n
6.2. O limite da sucessão  un  é:
(A) 1
(C) 1
(B) 0
(D) não tem
7.As coordenadas do ponto de intersecção do eixo 0x com a tangente ao gráfico da função real de variável
real, definida por f  x   cos x  sen2 x , no ponto de abcissa


 1;0 
2



(B)  1 
(A) 


são:
2

;0
2 
 
;0
2 
(C)  1, 0 
8. Uma função real de variável real f tem domínio
(D) 
e a sua derivada é definida pela expressão
f   x   x  sen  2x  .
8.1. Em relação a lim
x 0
f  x
x
podemos concluir que é:
(C) 
(B) 
(A) 1
 
f  x  f  
2
8.2. Indica o valor de lim


x
x
2
2

(A)
(B) 1
2
(C)

2
1
(D) 1
(D) 0
9.Considere a função f , de domínio  0, 2  , representada na figura e definida por:
f  x   sen2 x   2 cos x 
9.1.Determine as coordenadas dos pontos B e D.
9.2.Mostre que f '  x   4sen 2  x   2sen x   2 e determine as
coordenadas dos ponto C, ponto extremo do gráfico de f .
9.3.Considere
agora
a
função
h x  
f x 
cos 2 x
,
definida
em
 , 2  \  3

 . Estude a função h quanto à existência de
 2 
assimptotas do seu gráfico.
9.4.Calcule, utilizando a definição de derivada, o valor de f ' 0  .
9.5.Considere a recta r de equação y  2 x . Determine as coordenadas dos pontos do gráfico de f para os
quais a recta tangente é paralela à recta r .
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10. Considera a função f , de domínio
, definida por f  x   2  2sen  2 x  cos  2 x  . Resolve as alíneas
seguintes, usando métodos analíticos.
10.1. Determina f   0 recorrendo à definição de derivada de imã função num ponto.
 


10.2. Estuda a monotonia da função f , no intervalo  0,  , indicando o valor dos extremos relativos, caso
2
existam, e os intervalos de monotonia.
 
3
10.3. No intervalo  0,  , o gráfico da função f , interseta a reta y  , em dois pontos. Determina as
2
 2
coordenadas desses pontos.
11. Na figura ao lado está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que:
 O segmento de reta  BC  é um diâmetro do círculo e está contido no eixo das
ordenadas;
 O segmento de reta OA é um raio do círculo e está contido no eixo das
abcissas.
Considera que um ponto P se desloca ao longo do arco AB e que um ponto Q se
desloca ao longo do arco AC de tal forma que  PQ é sempre paralelo a  BC  . Para cada posição do ponto P ,

  
.
 2  
seja  a amplitude, em radianos, do ângulo AOP    0,

11.1. Mostra que a área da região sombreada é dada, em função de  , por: f    cos  
1
sen  2 
2
11.2. Determina f  0  e interpreta geometricamente o valor obtido.
11.3. Determina, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, o valor de  para o qual a área da região
sombreada é máxima e qual é o valor da área máxima.
  
11.4. Mostra que a equação f    1 tem pelo menos uma solução no intervalo  , 
6 3
Nota: Sempre que nos valores intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo uma casa decimal.
12. Considera a função g , de domínio

k  x 2 e x 1

g  x  
 x+senx

 x
, definida por:
se x  0
, onde k é um número real
sex  0
Resolve as alíneas seguintes usando métodos analíticos
12.1. Determina o valor de k de modo que a função g seja contínua.
12.2. Estuda a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, escrevendo as suas equações, caso existam.
(na resolução desta alínea admite que k  2 )
12.3. Escreve uma equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa
13. Seja f a função de domínio 0,3 , definida por : f  x   x ln x  sen  2 x 

2
O ponto A pertence ao gráfico da função. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função no ponto A tem declive
3. Determina a abcissa do ponto A .
Na resolução deste item, deves:

Traduzir o problema por uma equação;

Resolver graficamente essa equação, recorrendo à calculadora;

Indicar o valor pedido arredondado às centésimas.
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Deves reproduzir e identificar o(s) gráfico(s), que tiveres necessidade de visualizar na calculadora, incluindo
o referencial, e deves assinalar no(s) gráfico(s) o(s) ponto(s) relevante(s).
14. Uma bola suspensa de uma mola oscila verticalmente. Admite que a distância (em cm) da
bola
ao
solo,
t segundos após um certo instante inicial, é dada
 t 
 , com t   o,  .
 4
por: f  t   10  5e 0,1t cos 
Na figura, apresenta-se parte da representação gráfica da função
f
14.1. Indica o valor de lim f  t  . Interpreta esse valor em
t 
termos de movimento da bola.
14.2. Mostra que existe pelo menos um instante, entre o terceiro
e o quarto segundos, em que a bola se encontra a 7cm do solo.
14.3. Resolve a equação f  t   10 . A partir do conjunto-solução obtido, indica quantas
vezes, nos primeiros quinze segundos, a bola passa a 10cm do solo. Justifica a tua resposta.
15. Numa fábrica produzem-se peças com a forma de trapézios retângulos, como
 
.
 2 
mostra a figura. Seja x a amplitude do ângulo TPQ e x  0,
15.1. Mostra que a área de cada peça é dada (em cm2) em função de x (em
radianos) por A  x   4sen 1  2cos x 
 
 e interpreta geometricamente o valor obtido.
2
15.2. Determina A 
15.3. Um cliente pretende que a área de cada peça seja inferior a 3cm2. Utiliza a calculadora para determinar
graficamente os valores de x , com a aproximação às centésimas, para os quais tal se verifica. Apresenta todos
os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como
coordenadas relevantes de algum(ns) ponto(s).
15.4. Resolve analiticamente, em
, a equação A  x   0 . Indica, depois, as soluções que pertencem ao
intervalo   , 2  .
16. A figura representa o esquema de um painel publicitário com a
forma de um losango de lado a (em metros), que vai ser colocado
na fachada de um edifício.
16.1. Mostra que a área do painel é dada (em m2) em função de
radianos),
pela
 (em

  

 2  
expressão: A    a 2 sen  2      0,

 
16.2. Calcula o valor exato de A   , interpretando geometricamente o resultado obtido.
4
16.3. Considera a  1
16.3.1. Sabe-se que o responsável pelo edifício onde vai ser colocado o painel pretende que este ocupe uma
área de 0,5m 2 . Utiliza a calculadora para determinar graficamente os valores de  , com aproximação às
centésimas, para os quais tal se verifica. Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da
calculadora, nomeadamente o(s) gráfico(s) obtido(s).
16.3.2. Determina analiticamente a expressão geral das soluções que verificam a seguinte condição:
A  x   sen, sendo x 
16.3.3. Escreve uma equação reduzida da reta normal ao gráfico da função A no ponto de abcissa
Recorda: a reta normal a uma curva

2
y  f  x  num ponto P  a, f  a   é a reta perpendicular à reta tangente à curva
nesse ponto que também passa por P .
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