fundamentos da lógica, uma abordagem informal

FUNDAMENTOS DA LÓGICA, UMA ABORDAGEM
INFORMAL.
1 - INTRODUÇÃO.
A Lógica é uma Ciência que tem como finalidade a verificação
sobre a existência, ou não, de uma relação entre as afirmações
que compõem um dado grupo pela qual uma delas em particular
será verdadeira sempre que todas as outras o forem.
Há uma diferenciação entre as afirmações
envolvidas: uma delas
1
particularmente, a conclusão, tem sua veracidade dependente, ou
não, da veracidade das demais. Cada uma das demais é uma
premissa. Ao conjunto formado por premissas e conclusão dá-se
o nome argumento.
Quando ocorre a mencionada relação designa-se o conjunto por
argumento correto. Trata-se de uma relação de causa e efeito,
segundo esta última a veracidade das premissas assegura a
veracidade da conclusão. Quando a relação de causa e efeito não
está presente tem-se um argumento incorreto. Dois outros
nomes para argumento incorreto são falácia e sofisma.
Um argumento consiste na exteriorização de uma explicação por
meio da qual um certo sujeito pretende convencer a alguém sobre
a decorrência, ou não, de um dado fato expresso pela conclusão
como conseqüência inevitável dos demais fatos expressos pelas
premissas.
Aquela explicação antes de sua exteriorização através do
argumento, enquanto em escopo estritamente pessoal, em âmbito
interno ao sujeito, é designada por inferência ou raciocínio.
Aquele que a detém preocupa-se em convencer a si mesmo.
1
1
Para esclarecimento dos significados de “argumento”, “premissa”
e “conclusão”, consideraremos dois exemplos. Um deles sobre
argumento correto, o outro sobre argumento incorreto. Ambos
relativos à seguinte situação: uma certa escola situa-se no
edifício Donatelli, em sua sobreloja, no bairro Ouro Preto, em
Belo Horizonte. Internamente ao prédio, diante da portaria, há a
única escadaria pela qual pode-se chegar à sobreloja.
É correto o seguinte argumento:
-Jorge, há duas horas atrás, encontrava-se fora do Edifício
Donatelli.
2
-No momento Jorge se encontra no interior da escola, na
sobreloja do edifício.
-Há uma única escadaria pela qual pode-se chegar à sobreloja.
Logo:
hoje, em algum momento ao longo das últimas duas horas, Jorge
passou pela escadaria subindo-a.
A afirmação “hoje, em algum momento ao longo das últimas duas
horas, Jorge passou pela escadaria subindo-a” será, sem dúvida,
verdadeira caso as outras três afirmações o sejam.
A veracidade simultânea das três premissas, e somente delas,
assegura a veracidade da conclusão. É clara a presença da
relação de causa e efeito: os fatos expressos pelas premissas
compõem a causa do efeito expresso pela conclusão.
É incorreto o seguinte argumento.
-Jorge, há duas horas atrás, encontrava-se fora do Edifício
Donatelli.
-No momento Jorge se encontra no interior da escola, na
sobreloja do edifício.
2
2
-Há uma única escadaria pela qual pode-se chegar à sobreloja.
Logo:
hoje, em algum momento ao longo das últimas duas horas, Jorge
passou pela escadaria descendo-a.
A afirmação “hoje, em algum momento ao longo das últimas duas
horas, Jorge passou pela escadaria descendo-a” não exprime um
fato que seja o efeito da causa expressa pelas premissas. Aqui a
relação de causa e efeito não está presente.
Ainda que a última afirmação no argumento anterior seja
verdadeira, certamente tal veracidade
não ocorreria como um
3
efeito da causa expressa pelas premissas. Desta forma aquela
afirmação jamais consistiria em uma conclusão sustentável pelas
premissas correspondentes.
Os dois exemplos considerados são simples na medida em que não
são necessários grandes esforços para a percepção tanto da
correção de um quanto da não correção do outro. A avaliação de
cada um deles não exige mais que uma inspeção rápida das
afirmações envolvidas. Entretanto tais exemplos são constituídos
por premissas singelas, em pequena quantidade, e por conclusões
também singelas.
Numa situação genérica, na qual não esteja presente a restrição
à afirmações simples e em pequena quantidade, a avaliação sobre
a correção ou não do argumento envolvido pode ser bastante mais
complexa. Tal complexidade exigiria para seu esclarecimento a
abordagem do argumento através de algum método desenvolvido
exatamente para atender a este fim.
Tendo à vista a finalidade da Lógica apresentada no primeiro
parágrafo desta seção, podemos concluir que qualquer método
empregado terá necessariamente que encerrar características
que o permitam responder à seguinte questão.
3
3
Em que condições uma afirmação num argumento genérico
decorre como conseqüência das demais afirmações envolvidas?
De outro modo: quando nos deparamos com um argumento
genérico, como poderemos nos certificar de que ele é correto, ou
não?
Esta questão leva a uma outra.
Quais seriam as características encerradas por um método
necessárias para que ele se aplique à verificação da correção, ou
não, de um argumento?
4
De outro modo: como poderíamos elaborar métodos, aplicáveis a
um argumento qualquer, que nos permitiriam verificar se ele é, ou
não, correto?
As respostas a estas perguntas exigem necessariamente o
conhecimento de fundamentos da Lógica que serão parcialmente
vistos neste texto. Aqui nos ocuparemos da Lógica Clássica,
seguramente a mais utilizada atualmente e a única exigida em
concursos nacionais voltados a não especialistas.
Para atingir à finalidade pretendida por ela própria, a Lógica
estabelece regras sólidas e rigorosas com base nas quais são
construídos os métodos. Em última análise: qualquer método tem
como finalidade a demonstração da correção, ou não, de algum
argumento segundo caminhos consistentes com as imposições
provenientes daquelas regras.
Veremos que, no âmbito da Lógica Clássica, a consideração de
poucas regras, facilmente compreensíveis, permite a criação de
métodos aplicáveis à determinação sobre a correção, ou não, de
uma ampla gama de argumentos.
4
4
A Lógica Clássica inclui como parte de si mesma a Lógica
Quantificacional, esta última por sua vez inclui como alicerce a
Lógica Proposicional. Veremos que a diferença marcante entre
elas reside na presença ou não de quantificações nas afirmações
consideradas.
O significado de “quantificações” será devidamente esclarecido a
seu tempo, mais adiante.
No que diz respeito à sua aplicação, a Lógica é utilizada para
orientar tanto a concepção em escopo interno, que visa ao
convencimento próprio, quanto5 a apresentação em escopo
externo, que visa ao convencimento de algum outro indivíduo,
sobre a decorrência, ou não, de certo fato relevante como
conseqüência dos demais fatos envolvidos.
Situações diversas que solicitam o emprego da Lógica estão
invariavelmente presentes nas rotinas diárias de todos nós. Na
medida em que estamos continuamente envolvidos em
circunstâncias que nos impõem a necessidade de convencer a
alguém, ou a nós mesmos, sobre a correção, ou não, de
argumentos, é inevitável a utilização da Lógica.
Um professor precisa convencer a seus alunos, os alunos
precisam convencer a si mesmos sobre a correção, ou não, daquilo
que o professor expõe. Um psicólogo precisa convencer a seus
clientes, os clientes precisam convencer a si mesmos sobre a
correção, ou não, da orientação oferecida. Um gerente deve
convencer ao seu cliente sobre a adequação de um certo
investimento, o cliente deve se convencer da adequação, ou não,
daquele investimento.
Um leitor deve dispor de instrumentos que o permitam verificar
a correção, ou não, dos diversos argumentos presentes em
qualquer jornal, revista ou livro pelo qual se interesse.
5
5
Um estudante deve convencer aos professores que avaliarão sua
monografia, dissertação ou tese. Por sua vez os professores
aprovarão o trabalho caso se dêem por convencidos sobre a
correção dos argumentos empregados.
Um inocente acusado injustamente terá que demonstrar a não
correção dos argumentos que sustentam a acusação. Um eleitor
atento deverá diferenciar os diversos argumentos, apresentados
por vários políticos, classificando-os em corretos e incorretos,
para então decidir sobre seu voto.
A exposição desenvolvida ao longo
deste texto é voltada a um
6
tratamento da Lógica sob o ponto de vista de sua aplicação como
“instrumento cotidiano”.
Ocorre que, via de regra, tais aplicações cotidianas, tanto em
esfera pessoal quanto profissional, não exigem a sofisticação
técnica realizável somente através do emprego de formulações
absolutamente rigorosas sobre conceitos por demais abstratos.
As necessidades cotidianas podem ser supridas meramente pelo
emprego de poucas formulações, aquelas dotadas da mínima
formalidade necessária, a respeito de poucos conceitos simples
cujos teores abstratos, quando bem esclarecidos, não implicam
em dificuldades relevantes para o sua compreensão.
A informalidade, na medida necessária às aplicações pretendidas,
é portanto uma das características marcantes deste texto.
Sob tal perspectiva torna-se natural a designação da fração da
Lógica apresentada aqui por Lógica Instrumental. Relação análoga
há entre o Português Instrumental e o Português Culto: o último
com todos os rigores e conceitos que o caracterizam enquanto
que o primeiro, sendo um extrato do outro, contém apenas o
necessário para o emprego em nosso dia a dia.
6
6
Nosso objetivo consiste em nos aprofundarmos na Lógica Clássica
Quantificacional o suficiente para dispormos dos conhecimentos,
e da associada agilidade em sua aplicação, necessários à
resolução de questões típicas em concursos. A exigência usual
nestes últimos é sempre concordante com as mencionadas
necessidades cotidianas, em nível pessoal ou profissional.
Iniciaremos nosso estudo pela abordagem da Lógica
Proposicional, que é a mais simples e a que consiste no alicerce
daquela a que pretendemos chegar. Posteriormente, com base no
que terá sido exposto até aquela altura, ocorrerá a abordagem da
Lógica Quantificacional.
7
2 - LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSSICA.
2.1 - Proposições e seus Valores.
Neste texto designaremos por proposição, qualquer sentença
declarativa. Ou seja, uma sentença que encerre conteúdo que
possamos afirmar ou negar, que possamos qualificar como
verdadeiro ou falso.
Supostamente, quando necessário, tais sentenças estarão sempre
envolvidas em contexto que não deixe dúvidas sobre sua
veracidade, ou não.
Um exemplo de sentença cuja veracidade depende do contexto é
o seguinte:
Hoje, aqui e agora chove.
A qualificação desta sentença como verdadeira ou falsa
dependerá do instante e do local em que ela própria for
considerada. Sob certas circunstâncias ela será verdadeira, sob
outras será falsa.
7
7
Já as sentenças seguintes são independentes do contexto:
Bill Gates não é um homem rico.
O torneio Pan-Americano de atletismo, em 2007, ocorreu no
Brasil.
As duas são respectivamente falsa e verdadeira sob quaisquer
circunstâncias, independentemente do instante e do local em que
são consideradas.
Sentenças imperativas e interrogativas
não consistem em
8
proposições na medida em que não são declarativas. Exemplos:
Durma bem.
Que dia é hoje?
Cada uma destas jamais poderá ser classificada como verdadeira
ou falsa., tais qualificações não se aplicam a elas.
Sob o ponto de vista da Lógica cada proposição pode assumir
somente um entre os dois seguintes valores:
- verdadeiro, V
- falso, F.
Estes valores se referem á veracidade ou não da proposição e
não à mensagem que ela traz em si mesma.
A qualquer proposição pode ser associada o valor V ou valor F
independentemente de qual seja o domínio do conhecimento a que
pertence o conteúdo encerrado por ela.
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8
São três os princípios da Lógica Clássica:
i ) Princípio da identidade: toda proposição é igual a si mesma e a
nenhuma outra. Tal fato mostra-se relevante em situações em
que proposições escritas de maneiras desfavoráveis podem ser
reescritas de maneiras favoráveis.
As maneiras desfavoráveis dificultam tanto a compreensão das
proposições envolvidas quanto o relacionamento entre elas,
tornando inconveniente a análise dos argumentos que as
encerram.
9
Via de regra há mais de uma maneira de exprimir cada uma das
proposições envolvidas, cada maneira absolutamente equivalente
a todas as outras conforme o princípio em questão. Toma-se
então as formas que facilitem tanto a compreensão quanto os
relacionamentos de modo a tornar conveniente, e portanto
favorável, a análise dos argumentos.
Cada uma das diferentes expressões de uma dada proposição é
uma proposição equivalente a ela própria. Todas as proposições
equivalentes a uma outra são também equivalentes entre si.
Enfim o Princípio da Identidade legitima a substituição de
expressões inconvenientes por outras convenientes de maneira
tornar favorável uma situação antes desfavorável. Vários
exemplos destas situações serão inevitavelmente vistos ao longo
deste texto, a partir da seção 2.3.
ii) Princípio da não contradição: nenhuma proposição pode assumir
ao mesmo tempo os valores V e F. A atribuição de um dos valores
inibe completamente a atribuição do outro.
iii) Princípio do terceiro excluído: há somente dois valores V e F,
não sendo admitido em hipótese alguma qualquer outro valor.
9
9
2.2 - Proposições Compostas.
Há proposições que podem ser formadas a partir de outras. O
processo de formação envolve a existência de ações sobre
algumas proposições, ou relacionamentos específicos entre elas,
que resultem em novas proposições.
As proposições resultantes são designadas por proposições
compostas. As proposições empregadas na formação das
compostas são as proposições componentes. São quatro os
relacionamentos e uma única ação na Lógica Proposicional:
1
0 ”.
a) Negação: ação do operador “ não
b1) Disjunção: relacionamento pelo operador “ ou ”.
b2) Conjunção: relacionamento pelo operador “ e ”.
c1) Implicação: relacionamento pelo operador “ se ... então... ”.
c2) Bi-implicação: relacionamento pelo operador “ ... se e somente
se ... ”.
A negação é uma operação sobre uma única proposição, já as
operações disjunção, conjunção, implicação e bi-implicação atuam
sobre duas proposições.
Cada operador determina uma maneira própria pela qual o valor
lógico da proposição composta depende dos valores lógicos das
proposições componentes.
Todos os operadores são funções de valores justamente devido à
dependência que estabelecem entre os valores das proposições
resultantes e os correspondentes valores das proposições componentes.
10
1
0
a) A ação da negação leva a uma nova proposição cujo valor lógico
é oposto ao valor lógico da proposição original:
Chove hoje.
Não chove hoje.
Portanto, caso uma proposição seja verdadeira, sua negação será
falsa e vice-versa. A Teoria dos Conjuntos provê sustentação
teórica simples para tais fatos: toma-se um dado conjunto P
contido propriamente num outro conjunto U: P é subconjunto de
U e P é distinto de U, sendo o último
o conjunto universo.
1
1
Considerando como conjunto universo o conjunto dos seres
humanos, tanto o conjunto dos homens quanto o conjunto das
mulheres são subconjuntos propriamente contidos no primeiro.
Cada um dos últimos está contido no conjunto dos seres humanos
e é distinto dele.
Associa-se o conjunto P à proposição P de modo que a proposição
será verdadeira sempre se esteja dentro de P ou a proposição
será falsa sempre que não se esteja dentro de P. Mais a respeito
será visto na seção 2.3.
b) Tanto a disjunção quanto a conjunção relacionam entre si duas
proposições. As relações impostas por elas às proposições sobre
as quais atuam são as seguintes:
- alternatividade, quanto à operação disjunção
- simultaneidade, quanto à operação conjunção
Cada uma das proposições que sofrem disjunção é um disjuntivo.
Cada uma das proposições que sofrem conjunção é um conjuntivo.
11
1
1
Tais operações não impõem, ou manifestam, qualquer relação de
causa e efeito entre as duas proposições envolvidas. Uma vez
mais a Teoria dos Conjuntos provê interpretação simples para os
fatos envolvidos conforme o exposto
nos itens b1 e b2
seguintes.
Nos dois casos serão considerados dois conjuntos P e Q,
distintos um do outro e ambos contidos propriamente em U,
respectivamente associados às proposições P e Q.
b1) A disjunção leva a formação de uma proposição cuja
veracidade não exige que os disjuntivos
sejam ambos verdadeiros
1
2
ao mesmo tempo:
A cerveja está quente ou os petiscos têm gosto ruim.
(proposição composta por disjunção)
A cerveja está quente.
(disjuntivo)
Os petiscos têm gosto ruim.
(disjuntivo)
Basta que um dos disjuntivos seja verdadeiro para que a
proposição composta por disjunção também o seja.
Cada um dos disjuntivos é uma alternativa para o outro, mesmo
que um deles seja falso a proposição composta pode ainda ser
verdadeira caso o outro disjuntivo seja verdadeiro.
A proposição composta por disjunção será falsa somente quando
ambos os disjuntivos o forem.
A disjunção entre proposições P e Q arbitrárias é associável à
união entre os conjuntos P e Q.
12
1
2
Estar alternativamente dentro de um, ou outro, dos conjuntos
significa estar dentro da união entre eles, neste caso a disjunção
é verdadeira. Para não estar dentro da união é necessário estar
simultaneamente fora de ambos os conjuntos, neste caso a
disjunção é falsa.
A união entre o conjunto dos torcedores do Atlético mineiro e o
conjunto dos torcedores do Corinthians paulista resulta no
conjunto dos torcedores alvinegros. Estar no conjunto dos
atleticanos, ou no conjunto dos corintianos, é estar no conjunto
dos alvinegros. Não estar no conjunto dos alvinegros é não estar
no conjunto dos atleticanos 1e não estar no conjunto dos
corintianos. Mais a respeito será3 visto na seção 2.3.
b2) A conjunção leva a formação de uma proposição cuja
veracidade exige que os conjuntivos sejam verdadeiros ao mesmo
tempo:
A temperatura está elevada e sinto-me bem hoje.
(proposição composta por conjunção)
A temperatura está elevada.
(conjuntivo)
Sinto-me bem hoje.
(conjuntivo)
Aqui não há alternativa, ambos os conjuntivos têm que ser
simultaneamente verdadeiros para que a proposição composta por
conjunção o seja.
Para que uma proposição composta por conjunção seja falsa basta
que um dos conjuntivos o seja.
13
1
3
A conjunção entre proposições P e Q arbitrárias é associável à
interseção entre os conjuntos P e Q.
Estar simultaneamente dentro de um e outro dos conjuntos
significa estar dentro da interseção entre eles, neste caso a
conjunção é verdadeira. Para não estar dentro da interseção é
necessário estar alternativamente fora de um, ou outro, dos
conjuntos, neste caso a conjunção é falsa.
Qualquer elemento que esteja no conjunto dos automóveis e no
conjunto dos objetos raros, estará no conjunto dos automóveis
raros. O último resulta da interseção
entre os dois primeiros. Um
1
4
elemento que esteja fora do conjunto
dos automóveis, ou fora do
conjunto dos objetos raros, certamente estará fora do conjunto
dos automóveis raros. Mais a respeito será visto na seção 2.3.
c) Tanto a implicação quanto a bi-implicação, quando verdadeiras,
impõem, ou manifestam, relações de “causa e efeito” entre as
proposições originais:
- em uma implicação verdadeira:
- ora a veracidade de uma das proposições envolvidas é
suficiente para causar, como efeito, a veracidade da outra
- ora a não veracidade desta outra é suficiente para causar,
como efeito, a não veracidade da primeira
- na bi-implicação verdadeira:
- ora a veracidade de qualquer uma das duas proposições
envolvidas é suficiente para causar, como efeito, a veracidade
da outra
14
1
4
- ora a não veracidade de qualquer uma das duas proposições é
suficiente para causar, como efeito, a não veracidade da
outra
Tais características destas proposições expõem um certo
caráter encerrado por elas. Ao longo de todo este texto o
designaremos por “caráter analítico”.
Salvo improvável engano, trata-se de uma designação utilizada
exclusivamente neste texto. O autor desconhece textos sobre
Lógica em que tal nomeação seja utilizada.
Tal caráter é aquele pelo qual, segundo
a Teoria de Conjuntos, a
1
5
“parte implica o todo” ou “o não todo
implica a não parte”
Em outras palavras: estar dentro de um certo subconjunto P,
contido no conjunto Q, é indubitavelmente estar também em Q:
“ser integrante da parte implica em ser integrante do todo”.
Caso não se esteja dentro de Q, certamente não se estará
também em P: “ser não integrante do todo implica em ser não
integrante da parte”.
Portanto estar em P é causa que trás como efeito estar em Q e
não estar em Q é causa que trás como efeito não estar em P.
As relações equivalentes, no domínio da lógica, envolvendo as
implicações e bi-implicações são tais que as proposições serão
verdadeiras sempre que o caráter analítico esteja presente, ou
serão falsas quando o mesmo caráter estiver ausente. Conforme
esclarecem os itens c1 e c2 seguintes.
c1) Em qualquer proposição composta por implicação, a proposição
logo após o se é o antecedente já a proposição logo após o então
é o conseqüente.
15
1
5
O nome proposição condicional é freqüentemente utilizado para
designar uma proposição composta por implicação.
Numa proposição condicional verdadeira tanto a veracidade do
antecedente é condição suficiente para a veracidade do
conseqüente quanto a não veracidade do conseqüente é condição
suficiente para a não veracidade do antecedente.
Se Jorge pratica natação então Cláudia joga tênis.
(proposição condicional)
Jorge pratica
1 natação.
6
(antecedente)
Cláudia joga tênis.
(conseqüente)
Uma vez que as duas proposições componentes se encontram
relacionadas uma a outra através de uma proposição condicional
verdadeira, necessariamente a veracidade de “Jorge pratica
futebol” garante a veracidade de “Cláudia joga tênis”, ou a não
veracidade de “Cláudia joga tênis” garante a não veracidade de
“Jorge pratica futebol”.
É conveniente salientar que em tal relacionamento a veracidade
do conseqüente não é condição suficiente para a veracidade do
antecedente, e a não veracidade do antecedente não é condição
suficiente para a não veracidade do conseqüente.
A única situação em que a implicação é falsa é aquela em que o
antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.
16
1
6
A proposição condicional envolvendo proposições componentes P e
Q arbitrárias é associável à situação em que o conjunto P está
propriamente contido no conjunto Q: P é subconjunto de Q e P é
distinto de Q. Neste caso há um conjunto complementar de P
com relação a Q.
O caráter analítico se encontra claramente presente: estar
alternativamente em P, ou em seu complementar, significa
necessariamente estar em Q. Não estar em Q significa
necessariamente não estar simultaneamente em P e em seu
complementar.
Nestas situações a implicação 1 correspondente, envolvendo as
7
proposições P e Q, será verdadeira.
As outras situações imagináveis são: estar alternativamente em
P, ou em seu complementar, e não estar em Q, ou então estar em
Q e não estar em P ou em seu complementar. Nestes casos o
caráter analítico está ausente e a implicação correspondente
será falsa.
O conjunto dos mineiros, formado pelos nascidos em Minas
Gerais, está propriamente contido no conjunto dos brasileiros. O
complementar do conjunto dos mineiros com relação ao conjunto
dos brasileiros é o conjunto dos não mineiros. Este último reúne
os nascidos em todos os demais estados.
Um elemento pertinente ao conjunto dos mineiros, ou ao conjunto
dos não mineiros, certamente também pertencerá ao conjunto
dos brasileiros. Qualquer elemento que não pertença ao conjunto
dos brasileiros certamente não pertencerá tanto ao conjunto dos
mineiros quanto ao conjunto dos não-mineiros.
Não é possível que um elemento esteja no conjunto dos mineiros,
ou no conjunto dos não mineiros e não esteja no conjunto dos
brasileiros. Não há como um elemento não estar no conjunto dos
17
1
7
brasileiros e estar no conjunto dos mineiros ou no conjunto dos
não mineiros. Mais a respeito será visto na seção 2.3.
c2) A bi-implicação verdadeira envolve ao mesmo tempo a
implicação nos dois sentidos possíveis: a veracidade de cada uma
das proposições é condição suficiente para garantir a veracidade
da outra.
O nome proposição bi-condicional é freqüentemente empregado
para designar uma proposição composta por bi-implicação.
Isaac é filho de Cláudia se e somente
se Cláudia é casada com
1
8
Henrique.
(proposição bi-condicional)
Uma vez que as duas proposições componentes se encontram
relacionadas uma a outra através de uma proposição bicondicional verdadeira, necessariamente a veracidade de “Isaac
é filho de Cláudia” garante a veracidade de “Cláudia é casada com
Henrique”, ou a não veracidade de “Cláudia é casada com
Henrique” garante a não veracidade de “Isaac é filho de Cláudia”.
Ao mesmo tempo a veracidade de “Cláudia é casada com
Henrique” garante a veracidade de “Isaac é filho de Cláudia”, ou
a não veracidade de “Isaac é filho de Cláudia” garante a não
veracidade de “Cláudia é casada com Henrique”.
Um bi-implicação é falsa em cada uma das outras duas situações
possíveis em que uma das proposições componentes é falsa e
outra verdadeira.
18
1
8
A proposição bi-condicional envolvendo proposições componentes
P e Q arbitrárias é associável à situação em que o conjunto P
está não propriamente contido no conjunto Q: P é subconjunto
de Q e P é idêntico a Q. Neste caso não há um conjunto
complementar de P com relação a Q.
O caráter analítico se encontra claramente presente: estar em P
significa necessariamente estar em Q. Não estar em Q significa
necessariamente não estar em P. Nestas situações a biimplicação correspondente, envolvendo as proposições P e Q,
será verdadeira.
1
As outras situações imagináveis 9são: estar em P e não estar em Q
ou estar em Q e não estar em P. Neste caso o caráter analítico
não está presente e a bi-implicação correspondente será falsa.
Todo conjunto está contido em si mesmo, portanto o conjunto
dos brasileiros está contido nele próprio.
O conjunto dos brasileiros consiste na união entre o conjunto dos
mineiros e o conjunto dos não mineiros.
Então qualquer elemento do conjunto dos brasileiros é também
elemento do conjunto união entre mineiros e não mineiros. Todo
elemento deste último é também elemento daquele primeiro.
Não há como um elemento estar no conjunto dos brasileiros e não
estar no conjunto união entre o conjunto dos mineiros e o
conjunto dos não mineiros, assim como não é possível estar neste
conjunto união e não estar naquele. Mais a respeito será visto na
seção 2.3.
A proposição bi-condicional corresponde necessariamente à conjunção entre duas proposições compostas por implicação.
19
1
9
Se Isaac é filho de Cláudia então Cláudia é casada com
Henrique.
(conjuntivo)
e
Se Cláudia é casada com Henrique então Isaac é filho de Cláudia.
(conjuntivo)
Neste ponto tem fim a exposição sobre proposições compostas
nesta seção.
2
0
É importante salientar que a ação
e os relacionamentos vistos
aqui são os únicos existentes na Lógica Proposicional Clássica.
Há proposições compostas que podem ser formadas a partir de
outras proposições compostas de diversas maneiras distintas
entre si, mas sempre com o emprego de um, ou mais, dos cinco
operadores aqui considerados e nenhum outro.
2.3 -Valores das Proposições Compostas.
De acordo com a seção anterior, a ação de um operador impõe
uma relação específica entre os valores da proposição formada e
os valores das proposições formadoras. Tais relações são
imprescindíveis aos métodos para determinação da existência, ou
não, da relação de causa e efeito entre as proposições que
compõem um dado argumento, como veremos mais tarde.
As tabelas verdades são empregadas para exibir de maneira
clara e objetiva as mencionadas relações. Cada tabela esclarece
qual será o valor da proposição composta para cada um dos
valores das proposições originais.
20
2
0
As tabelas verdades de proposições equivalentes entre si são
idênticas entre si.
A seguir designaremos, em cada caso, as proposições originais
por P ou Q. Cada tabela apresentada será acompanhada de uma
síntese. As sínteses serão úteis posteriormente ao lidarmos com
métodos para a verificação da validade de argumentos.
A - Tabela verdade para o operador negação:
Proposição P
V
F
Proposição Não P
F
2
1
V
A proposição composta “não P” será:
- verdadeira sempre que P for falsa
- falsa sempre que P for verdadeira.
As figuras seguintes ilustram a interpretação à luz da Teoria de
conjuntos. Estar no conjunto P significa proposição P verdadeira,
figura da esquerda. Estar fora do conjunto P significa proposição
P falsa, figura da direita.
As duas figuras consistem em
21
2
1
diagramas de Venn-Euler, empregados com freqüência, neste e
em outros textos, para o esclarecimento de fatos relevantes
pertinentes à Teoria dos Conjuntos.
É importante salientar que, no escopo da Lógica Clássica, duas
negações sucessivas de uma proposição resultam exatamente na
proposição original.
De fato a negação de uma proposição, não P, corresponde a estar
no complementar de P relativamente a U. Logo a dupla negação
considerada, não (não P), corresponde a estar no complementar
do complementar de P, que é o próprio.
2
2
Pode-se portanto escrever: não (não P) = P
[A]
Esta igualdade consiste em nosso primeiro exemplo de emprego
do Princípio da Identidade.
De acordo com a igualdade A, existem duas maneiras,
absolutamente correspondentes entre si, pelas quais pode-se
representar uma proposição arbitrária.
B1 - Tabela verdade para o operador disjunção:
Proposição P
V
V
F
F
Proposição Q
V
F
V
F
Proposição P ou Q
V
V
V
F
Uma vez que existe a alternativa, a proposição composta “P ou
Q” será:
- verdadeira sempre que P ou Q forem verdadeiras. Nestes casos
ocorrem as afirmações da disjunção.
22
2
2
- falsa somente quando P e Q forem falsas. Neste caso ocorre
a negação da disjunção.
A interpretação conforme a Teoria de Conjuntos é ilustrada pelos diagramas seguintes.
2
3
O diagrama anterior representa o conjunto formado pela união
entre os conjuntos P e Q. Os diagramas seguintes representam
as quatro situações presentes na tabela B1.
23
2
3
2
Estar alternativamente em P ou em
4 Q implica em estar na união
entre P e Q. Figuras na página anterior e figura nesta página à
direita.
Estar simultaneamente fora de P e de Q implica em não estar na
união entre P e Q. Figura nesta página à esquerda.
Caso os conjunto P e Q sejam disjuntos, a disjunção correspondente seria associada ao operador “ou exclusivo”.
De acordo com este último operador, as duas proposições
componentes P e Q não podem ser simultaneamente verdadeiras.
B2 - Tabela verdade para o operador conjunção:
Proposição P
V
V
F
F
24
Proposição Q
V
F
V
F
2
4
Proposição P e Q
V
F
F
F
Uma vez que não existe alternativa, a proposição composta “P e
Q” será:
- verdadeira somente quando P e Q o forem. Neste caso ocorre a
afirmação da conjunção.
- falsa sempre que P ou Q forem falsas. Nestes casos ocorrem
as negações da conjunção.
De acordo com a Teoria dos Conjuntos a interpretação é a ilustrada pelos diagramas seguintes.
2
5
O diagrama anterior representa o conjunto formado pela interseção entre os conjuntos P e Q.
É claro que a interseção entre dois conjuntos será não vazia
somente se os mesmos forem não disjuntos.
Os diagramas seguintes representam as quatro situações
presentes na tabela B2.
25
2
5
2
6
Estar simultaneamente em P e em Q implica em estar na interseção entre P e Q. Figura no topo à direita.
Não estar alternativamente em P ou em Q implica em não estar
na interseção entre P e Q. Figuras no topo à esquerda e na base.
B3 – Teorema de Augustos de Morgan.
Neste ponto é conveniente a introdução do Teorema de Augustus
de Morgan que, com base na Teoria de Conjuntos, estabelece o
seguinte: a negação de uma disjunção é uma conjunção e a negação de uma conjunção é uma disjunção.
26
2
6
Pode-se escrever:
- não (P ou Q) = (não P) e (não Q)
[ B3A ]
- não (P e Q) = (não P) ou (não Q)
[ B3B ]
Cada uma das igualdades, B3A e B3B, consiste em mais um
exemplo de aplicação do Princípio da Identidade. As proposições
em cada lado do sinal de igualdade são absolutamente
correspondentes entre si.
As igualdades B3A e B3B são expressões
das sínteses, relativas
2
a negações, logo após as tabelas 7B1 e B2 respectivamente.
Tais sínteses e expressões podem ser compreendidas com base
na Teoria de Conjuntos.
À negação da disjunção corresponde a situação: não estar na
união entre os conjuntos P e Q. Para tanto é necessário não
estar simultaneamente em P e Q.
À negação da conjunção corresponde a situação: não estar na
interseção entre os conjuntos P e Q. Para tanto basta não estar
alternativamente em P ou em Q.
C1 - Tabela verdade para o operador implicação:
27
Proposição P
Proposição Q
V
V
F
F
V
F
V
F
2
7
Proposição
Se P então Q
V
F
V
V
Vale a seguinte síntese, a proposição composta “se P então Q”
será:
- falsa somente quando P for verdadeira e Q for falsa. Neste
caso ocorre a negação da implicação.
- verdadeira sempre que P for falsa ou Q verdadeira. Nestes
casos ocorrem as afirmações da implicação.
A atribuição de significado a esta tabela verdade é feita, uma
vez mais, com o emprego de alguns elementos fundamentais da
Teoria dos Conjuntos, conforme 2os diagramas seguintes.
8
Uma vez que P está propriamente contido em Q:
- estar alternativamente em P ou em seu complementar implica
em estar em Q, “ a parte implica o todo”. Figuras nesta página à
esquerda e à direita respectivamente
28
2
8
– não estar em Q implica em não estar simultaneamente em P e
em Q, “ o não todo implica a não parte”. Figura na página anterior.
Nestas situações o caráter analítico está presente.
A situação em que o caráter analítico não está presente, estar
em P e não estar em Q, não pode ser representada.
Em acordo com as sínteses logo após a tabela C1, pode-se
escrever:
- implicação verdadeira:
Se P então Q = (não P) ou Q
2
9
- implicação falsa:
Não (se P então Q) = P e (não Q)
[C1A]
[C1B]
As igualdades C1A e C1B consistem em dois novos exemplos de
aplicação do Princípio da Identidade.
Observe-se que:
- o antecedente P sempre representa uma dada parte de um
certo todo, pois está associado ao subconjunto P contido em Q
- o conseqüente Q sempre representa um todo que envolve duas
partes, pois está associado ao superconjunto Q que contém
propriamente P e o complementar de P.
Tudo em conformidade com os três diagramas da página anterior.
29
2
9
C2 - Tabela verdade para o operador bi-implicação:
Proposição P
Proposição Q
V
V
F
F
V
F
V
F
Proposição
P sse Q
V
F
F
V
Em síntese, a proposição composta “P se e somente se Q” será:
- verdadeira sempre que: P e Q forem
verdadeiras ou P e Q
3
0
forem falsas. Nestes casos ocorrem
as afirmações da
bi-implicação
- falsa sempre que: P for verdadeira e Q for falsa ou P for
falsa e Q for verdadeira. Nestes casos ocorrem as negações
da bi-implicação.
Analogamente ao caso da tabela sobre a implicação, a atribuição
de significado a esta tabela verdade é feita com base em alguns
elementos da Teoria de Conjuntos, conforme os diagramas
abaixo.
Uma vez que P é idêntico a Q: - estar em P implica em estar em
Q. Figura à esquerda – não estar em Q implica em não estar
simultaneamente em P . Figura à direita.
30
3
0
As situações em que o caráter analítico não está presente são: estar em P e não estar em Q – não estar em P e estar em Q. Tais
situações não podem ser representadas.
Em acordo com as sínteses logo após a tabela C2A, pode-se
escrever:
- bi-implicação verdadeira:
P se e somente se Q = (P e Q) ou (não P e não Q)
[C2A]
- bi-implicação falsa:
Não ( P se e somente se Q) = (não
3 P e Q) ou (P e não Q) [C2B]
1
As igualdades C2A e C2B consistem, mais uma vez, em exemplos
de aplicação do Princípio da Identidade.
Observe-se que:
- a proposição P sempre representa uma dada parte de um certo
todo, pois está associado ao subconjunto P idêntico a Q . Neste
caso a parte é igual ao todo
- o conseqüente Q sempre representa um certo todo pois está
associado ao conjunto Q idêntico a P. Neste caso o todo é igual à
parte
Tudo em conformidade com os dois diagramas na página anterior.
C3 – Versões equivalentes à implicação e à bi-implicação.
Pode-se inferir, sem grande dificuldade, o exposto no texto
seguinte, em itálico.
31
3
1
Quando duas proposições compostas arbitrárias A e B, expressas
cada uma em termos de duas proposições componentes P e Q, são
equivalentes entre si ocorrem os seguintes fatos:
i ) a cada par de valores lógicos de P e Q, nas tabelas verdades
de A e de B, correspondem valores lógicos de A e B iguais
entre si. Em outras palavras: “as tabelas verdades de A e
de B são iguais entre si”, conforme menção no início desta
seção, no seu terceiro parágrafo
ii ) as sínteses das tabelas verdades de A e de B, expressas em
termos de P e Q, são proposições
idênticas entre si. Tanto as
3
proposições que exprimem as2 afirmações são idênticas entre
si quanto as que exprimem as negações são idênticas entre si
iii) as justificativas para as tabelas verdade, tanto de A quanto
de B, são feitas com base nos mesmos diagramas. Estes
últimos envolvem as representações de P e Q com base na
Teoria de Conjuntos.
Os fatos i, ii e iii serão utilizados nas duas seções posteriores
para a apresentação de duas novas proposições equivalentes à
implicação e a bi-implicação respectivamente.
C3.1 – Versão equivalente à implicação: a contrapositiva.
É importante salientar a existência da seguinte proposição condicional:
se (não Q) então (não P)
Ela está relacionada à implicação se P então Q.
32
3
2
Cada uma delas consiste na contrapositiva da outra.
A contrapositiva de uma implicação é uma segunda implicação que
tem como antecedente a negação do conseqüente da primeira e
tem como conseqüente a negação do antecedente da primeira.
A tabela verdade para a contrapositiva sob foco é a seguinte:
C3A - Tabela verdade para o operador implicação em sua versão
contrapositiva:
Proposição P
Proposição
Q
3
3
V
V
F
F
V
F
V
F
Proposição
Se (ñ Q) então (ñ P )
V
F
V
V
Vale aqui a seguinte síntese, a contrapositiva “se (não Q) então
(não P)” será:
- falsa somente quando Q for falsa e P verdadeira. Neste caso
ocorre a negação da contrapositiva.
- verdadeira sempre que Q for verdadeira ou P for falsa. Nestes
casos ocorrem as afirmações da contrapositiva.
Pela comparação da tabela C1 e sua síntese com a tabela C3A e
sua síntese, concluímos que as tabelas, tanto quanto as sínteses,
são idênticas entre si.
Portanto são válidos os fatos i e ii no que diz respeito à
implicação e sua contrapositiva.
33
3
3
Também o fato iii é válido quando se considera a implicação e sua
contrapositiva, conforme a exposição nos próximos parágrafos.
A atribuição de significado à tabela verdade C3A é feita com o
emprego dos mesmos diagramas utilizados para a realização de
esclarecimentos sobre a tabela C1.
3
4
Uma vez que o complementar de Q está propriamente contido no
complementar de P:
- estar alternativamente no complementar de Q, ou no próprio
Q, implica em estar no complementar de P, “ a parte implica o
todo”. Figuras na pagina anterior e nesta página à direita
respectivamente
34
3
4
– não estar no complementar de P implica em não estar
simultaneamente no complementar de Q e em Q, “ o não todo
implica a não parte”. Figura nesta página à esquerda.
Nestas situações o caráter analítico está presente.
A situação em que o caráter analítico não está presente, estar no
complementar de Q e não estar no complementar de P, não pode
ser representada.
De acordo com as sínteses logo após a tabela C3A, pode-se
escrever:
3
5
- contrapositiva verdadeira:
Se (não Q) então (não P) = Q ou (não P)
[C3A1]
- contrapositiva falsa:
Não (se (não Q) então (não P)) = (não Q) e P
[C3A2]
As igualdades C3A1 e C3A2 consistem em mais dois exemplos de
aplicação do Princípio da Identidade. Estas igualdades são
respectivamente iguais às igualdades C1A e C1B relacionadas à
implicação se P então Q.
Observe-se que:
- o antecedente (não Q) sempre representa uma dada parte de
um certo todo, pois está associado ao subconjunto complementar
de Q contido no complementar de P
- o conseqüente (não P) sempre representa um todo que envolve
duas partes, pois está associado ao superconjunto complementar
de P que contém propriamente Q e o complementar de Q.
Neste ponto concluímos a exposição sobre a validade do fato iii.
35
3
5
Desta forma, válidos i, ii e iii, conclui-se que uma implicação é
sempre equivalente à sua contrapositiva. Portanto, de acordo com
o Princípio da Identidade, vale a igualdade:
Se P então Q = se (não Q) então (não P)
[C3A]
A implicação e sua contrapositiva, quando verdadeiras, não são
mais que duas maneiras distintas de exprimir exatamente o
mesmo fato: a presença, ou não, da relação de causa e efeito
entre duas proposições quando a veracidade de somente uma
delas consiste em causa para a veracidade da outra.
3
6
C3.2 – Versão equivalente à bi-implicação.
A seguinte proposição bi-condicional:
(não Q) se e somente se (não P)
está relacionada à bi-implicação P se e somente se Q. A relação
entre elas é análoga à que existe entre uma implicação e sua
contrapositiva.
Cada uma das bi-implicações tem como antecedente a negação do
conseqüente da outra e tem como conseqüente a negação do
antecedente da outra.
Entretanto aqui “não se diz” que cada uma delas consiste na
contrapositiva da outra.
Neste texto designaremos esta nova bi-implicação por: “versão
equivalente” daquela considerada inicialmente. Designação que
exprime exatamente a relação entre eles como ficará claro mais
adiante.
36
3
6
A tabela verdade para a bi-implicação sob foco é a seguinte:
C3B - Tabela verdade para o operador bi-implicação em sua
versão equivalente :
Proposição P
Proposição Q
V
V
F
F
V
F
V
F
Proposição
(não Q) sse (não P)
V
F
F
V
3
7
Em síntese, a proposição composta
“(não Q) se e somente se
(não P)” será:
- verdadeira sempre que: P e Q forem falsas ou P e Q
forem verdadeiras. Nestes casos ocorrem as afirmações da
bi-implicação.
- falsa sempre que: Q for falsa e P for verdadeira ou Q for
verdadeiraa e P for falsa. Nestes casos ocorrem as negações
da bi-implicação.
Pela comparação da tabela C2 e sua síntese com a tabela C3B e
sua síntese, concluímos que as tabelas, tanto quanto as sínteses,
são idênticas entre si.
Portanto são válidos os fatos i e ii no que diz respeito à biimplicação e sua versão equivalente.
Também o fato iii é válido quando se considera a implicação e sua
versão equivalente, conforme a exposição nos próximos
parágrafos.
37
3
7
A atribuição de significado a esta tabela verdade é feita com o
emprego dos mesmos diagramas utilizados para a realização de
esclarecimentos sobre a tabela C2.
3
8
Uma vez que o complementar de Q é idêntico ao complementar
de P: - estar no complementar P implica em estar no
complementar de Q. Figura à direita na página anterior – não
estar no complementar de P implica em não estar
simultaneamente no complementar de Q. Figura à direita na
página anterior.
As situações em que o caráter analítico não está presente são: estar no complementar de Q e não estar no complementar de P –
não estar no complementar de Q e estar no complementar de P.
Tais situações não podem ser representadas.
De acordo com as sínteses logo após a tabela C3B, pode-se
escrever:
- versão equivalente verdadeira:
(não Q) se e somente se (não P) = (não Q e não P) ou (P e Q)
[C3B1]
- versão equivalente falsa:
Não((não P) se e somente se (não Q))=(não Q e P)ou(Q e não P)
[C3B2]
38
3
8
As igualdades C3B1 e C3B2 consistem, mais uma vez, em
exemplos de aplicação do Princípio da Identidade.
Observe-se que:
- a proposição Q sempre representa um certo todo, pois está
associado ao subconjunto Q idêntico a P
- o conseqüente P sempre representa um certo todo pois está
associado ao conjunto P idêntico a Q.
Neste ponto concluímos a exposição
sobre a validade do fato iii.
3
9
Desta forma, válidos i, ii e iii, conclui-se que uma bi-implicação é
sempre equivalente à sua versão equivalente. Portanto, de acordo
com o Princípio da Identidade, vale a igualdade:
P se e somente se Q = (não Q) se e somente se (não P)
[C3B]
Enfim, uma bi-implicação e sua versão equivalente, quando
verdadeiras, não são mais que duas maneiras distintas de
exprimir exatamente o mesmo fato: a presença, ou não, da
relação de causa e efeito entre duas proposições quando a
veracidade de cada uma delas pode consistir em causa para a
veracidade da outra.
3 - Métodos para Verificação da Validade, ou não, de
Argumentos: Primeiros Princípios.
Dois métodos que têm como finalidade a verificação da correção
ou não de argumentos serão parcialmente considerados nesta
seção. Veremos alguns exemplos simples com a finalidade de
ilustrar em que consistem as essências de cada um deles.
39
3
9
Para a compreensão da exposição seguinte será necessário o
conceito de proposição elementar: qualquer proposição que não
seja composta, não havendo portanto outras que a componham,
será designada neste texto por proposição elementar. Uma
proposição elementar jamais incluirá como parte de si qualquer
um dos operadores que consideramos até o momento.
Fundamentos comuns aos dois métodos são os seguintes:
I) Qualquer proposição composta pode ser expressa como uma
combinação de proposições elementares pelo emprego dos
operadores implicação, negação,
bi-implicação, disjunção ou
4
0
conjunção e somente deles.
II) A relação de causa e feito estará necessariamente presente
sempre que todas as situações que tornem verdadeiras as
premissas também tornem verdadeira a conclusão. Para que tal
relação não esteja presente, basta que haja uma única situação
em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.
III) A relação entre o valor de uma proposição composta e os
valores das proposições elementares que a compõem depende
somente da forma pela qual as elementares estão relacionadas
entre si através dos cinco operadores.
Exemplo 1: Vamos considerar a situação seguinte:
Premissas:
1 – Se João é médico e Jorge é cientista da computação então
Cláudia é veterinária.
2 – João é médico.
3 – Cláudia não é veterinária.
Conclusão:
Jorge não é cientista da computação.
40
4
0
Queremos então saber se a proposição “Jorge não é cientista da
computação” é uma conseqüência do conjunto formado pelas três
premissas apresentadas.
Para tanto deveremos ser capazes de desenvolver algum método
que justifique a decorrência, ou a não decorrência, da conclusão
como conseqüência das premissas.
É o que faremos ao longo das próximas seções através de dois
processos bem definidos, cada um associado a um método.
Há sequências de ações comuns aos
4 dois processos:
1
S1 - reescrita do argumento com base nas proposições
elementares: consiste no emprego do fundamento I com a
finalidade de exprimir todas as proposições no argumento em
termos das proposições elementares existentes
S2 – determinação dos valores lógicos das proposições
elementares via decomposição: consiste no emprego do
fundamento III numa análise pela qual as premissas verdadeiras
são decompostas em suas componentes, estas últimas por sua vez
decompostas nas componentes delas, e assim sucessivamente até
que somente as proposições elementares, indecomponíveis,
estejam presentes.
A sequência S1, baseada no fundamento I, dá-se através dos dois
seguintes passos:
- identificação das proposições elementares presentes
- expressão das premissas e da conclusão com o emprego
das proposições elementares.
41
4
1
Com relação ao nosso grupo de proposições, as elementares são:
A – João é médico.
B – Jorge é cientista da computação.
C – Cláudia é veterinária.
Podemos então reescrever as premissas e a conclusão:
Premissas:
1 – Se (A e B) então C
2–A
3 – não C
Conclusão:
Não B
4
2
A partir deste ponto os métodos são distintos entre si, embora
ambos envolvam a determinação dos valores lógicos das
proposições elementares via decomposição: sequência S2.
É portanto necessário escolhermos um deles antes de
prosseguirmos. O primeiro a ser considerado será o método dos
tablôs, depois, o método da dedução natural.
3.1 - O Método dos Tablôs.
Neste método admitimos a priori, como hipótese de trabalho, a
não existência da relação de causa e efeito entre as proposições
consideradas, para então desenvolvermos uma análise que poderá
nos levar a concluir que esta hipótese é falsa. Se de fato
concluirmos pela falsidade da hipótese então necessariamente a
relação de causa e efeito estará presente.
42
4
2
A expressão da inexistência da relação é feita com o emprego do
fundamento II.
De acordo com o último, se existir pelo menos uma situação em
que as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a relação
de causa e efeito não existirá. Para iniciar o processo
expressaremos tal fato da seguinte forma:
V Se (A e B) então C
VA
V não C
F não B 4
3
A partir de agora tem início a sequencia S2: tentaremos
decompor as proposições compostas acima até chegarmos a uma
situação em que existam somente proposições elementares
presentes.
Para tanto empregaremos o fundamento III, através de
referências contínuas aos comentários sobre as tabelas
verdades, vistos anteriormente, segundo o seguinte processo.
i ) Da veracidade da proposição não C concluímos que C é falsa:
FC
ii ) Da falsidade da proposição não B concluímos que B é
verdadeira:
VB
Adicionamos estas proposições elementares ao tablô:
V Se (A e B) então C
VA
√ V não C
43
4
3
√ F não B
FC
VB
As duas proposições compostas que levaram às proposições
elementares adicionadas foram marcadas e não podem mais ser
utilizadas.
iii) Da veracidade da proposição Se (A e B) então C concluímos,
conforme comentário anterior sobre sua tabela verdade, que o
antecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro:
4
4 tablô:
Adicionamos estas proposições ao
√ V Se (A e B) então C
VA
√ V não C
√ F não B
FC
VB
F (A e B)
VC
x
A proposição condicional empregada foi marcada e não pode mais
ser usada. Neste caso devido à alternativa, (A e B) falsa ou C
verdadeira, ocorre uma bifurcação no tablô.
Surgem então dois ramos. Um deles, o da direita, inclui uma
contradição a respeito da proposição elementar C: uma afirmação
V C e uma afirmação F C. Isto significa que C teria que ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, tal fato não pode ocorrer
pois violaria o Princípio da Não Contradição.
Por ter levado a uma contradição, este ramo é fechado. Fechar
um ramo significa indicar, pelo x, a ocorrência de uma
contradição em um ramo já plenamente desenvolvido.
44
4
4
O outro ramo ainda não está expresso em termos das
proposições elementares, temos então que continuar seu
desenvolvimento até chegarmos a elas.
iv) A proposição F (A e B) é enfim utilizada. Da tabela verdade da
conjunção, de acordo com o comentário anterior associado,
concluímos que A é falsa ou B é falsa levando a uma nova
bifurcação no tablô:
√ V Se (A e B) então C
VA
√ V não C 4
√ F não B 5
FC
VB
√ F (A e B)
FA
x
FB
x
VC
x
Em cada um dos novos ramos há uma contradição. No da direita
ocorre V B e F B, no da esquerda ocorre V A e F A. desta forma
todos os ramos são finalmente fechados.
Concluímos então que a hipótese inicial, inexistência da relação
de causa e efeito, é falsa. Portanto a relação está presente. O
argumento é correto. Se houvesse ao menos um ramo plenamente
desenvolvido que não levasse a contradição, o argumento seria
incorreto.
45
4
5
3.2 - A Dedução Natural.
Neste método admitimos a priori a veracidade das premissas e
aplicamos a sequência S2, novamente com o emprego do
fundamento III, que nos permita derivar a conclusão. A
sequência S1 foi realizada no item anterior relativo ao método
dos tablôs.
O fundamento II está presente na medida em que é o único a
sustentar seguinte a idéia básica subjacente ao método: caso a
relação exista, necessariamente a veracidade das premissas
levará à veracidade da conclusão.4
6
1 - Se (A e B) então C
2- A
3 - não C
P
P
P
As premissas são enumeradas e designadas, em cada linha, pela
letra P. Desejamos obter a partir dela a conclusão de que B é
falsa:
não B
Caso de fato consigamos a almejada obtenção, necessariamente
teremos a relação de causa e efeito.
Um processo possível seria o seguinte.
i) Conforme a linha 1 e a síntese da tabela verdade da implicação,
verificamos que, sendo a implicação verdadeira, temos A e B
falsa ou C verdadeira. Entretanto na linha 3 temos C falsa.
Portanto concluímos que A e B é falsa.
1 234–
46
Se (A e B) então C
A
não C
não (A e B)
4
6
P
P
P
1,3
Todas as linhas que descrevem o processo devem conter
proposições verdadeiras, por isto incluímos não (A e B), uma
proposição verdadeira, no lugar de A e B, uma proposição falsa.
ii) A falsidade da conjunção na linha 4 nos leva a concluir, com
base na tabela verdade da conjunção e sua síntese, que A é falsa
ou B é falsa. Entretanto a linha 2 mostra que A é verdadeira.
Podemos então concluir que B é falsa, encerrando a dedução.
1 -Se (A e B) então C
2-A
3 - não C
4
7
4 – não (A e B)
5 - não B
P
P
P
1,3
2,4
Ora se foi possível derivar a conclusão a partir das premissas
então o argumento é correto, pois a relação de causa e efeito
está presente. Caso não fosse possível a derivação o argumento
seria incorreto.
3.3 - Comentários sobre os Métodos.
Os dois métodos foram vistos de forma bastante superficial,
cada um deles contém instrumentos não considerados até aqui.
Alguns destes instrumentos, mas não todos, na medida de nossas
necessidades, poderão ser vistos mais adiante.
Ambos têm ampla gama de aplicação na Lógica Proposicional,
sendo aptos à verificação da existência, ou não, da relação de
causa e efeito relativamente a uma ampla gama de grupos de
proposições. Eles também são úteis na Lógica Quantificacional.
47
4
7
3.4 – Encerramento da Seção.
Neste ponto finalizamos nossa rápida incursão inicial pela Lógica
Proposicional Clássica. Iniciaremos a seguir nova incursão sobre a
Lógica Quantificacional à luz do que vimos sobre a primeira.
4 - LÓGICA QUANTIFICACIONAL CLÁSSICA.
4.1 - Proposições Categóricas.
Há na Lógica Clássica proposições cujas expressões exigem o
emprego de operadores ausentes
na Lógica Proposicional. Um
4
8
grupo particularmente importante
de tais proposições é o das
proposições categóricas. Estas últimas são partes da teoria do
silogismo de Aristóteles. A teoria do silogismo foi, até meados do
século passado, a principal constituinte da Lógica Clássica.
Uma proposição categórica sempre corresponderá a uma das
formas seguintes:
Todo P é Q
Nenhum P é Q
Algum P é Q
Algum P não é Q
(universal afirmativa)
(universal negativa)
(particular afirmativa)
(particular negativa)
Há diversas maneiras de expressar cada uma destas proposições
categóricas em português:
- Universais afirmativas:
- Todo administrador passou pela faculdade.
- Todos os brasileiros são sul-americanos.
- Somente graduados podem fazer o teste Anpad.
48
4
8
- Universais negativas:
- Nenhum mestrando tem menos de três anos de idade.
- Todos os norte-americanos não são africanos.
- Economistas não fazem o teste anpad.
- Particular afirmativa:
- Alguns administradores fizeram o teste Anpad em fevereiro.
4
9
- Há um jogador de futebol mineiro
na seleção brasileira.
- Existem latinos que são mexicanos.
- Particular negativa:
- Alguns contadores não fizeram preparatório para o teste
Anpad.
- Existem brasileiros que não gostam de futebol.
- Há automóveis raros que não circulam nas ruas.
4.2 – Os Quantificadores Universal e Existencial: Rudimentos
do Cálculo de Predicados.
As proposições categóricas são proposições cujas expressões
exigem quantificações. Uma quantificação consiste em uma
referência, a todos, ou a somente alguns, dos elementos de um
dado conjunto:
49
4
9
- quantificação universal: sempre se refere a todos os elementos
de um conjunto. Determina a inclusão, ou exclusão, num outro
conjunto, de todos os elementos do conjunto a que se refere.
A frase “Todo homem é um mamífero”, inclui todos os elementos
pertinentes ao conjunto “homens” no conjunto “mamíferos”.
A frase “Qualquer número natural não é um número irracional”,
exclui todos os elementos pertinentes ao conjunto “números
naturais” do conjunto “números irracionais”.
- quantificação existencial: sempre
5 se refere a uma parte dos
0
elementos do conjunto. Determina
a inclusão, ou exclusão, num
outro conjunto de ao menos um dos elementos do conjunto a que
se refere.
A frase “Alguns brasileiros são ricos”, inclui pelo menos um
elemento pertinente ao conjunto “brasileiros” no conjunto
“ricos”.
A frase “Há latino-americanos que não são mexicanos”, exclui
pelo menos um elemento pertinente ao conjunto “latinoamericanos” do conjunto “mexicanos”.
Pertencer a um dado conjunto necessariamente implica ao
elemento ter as propriedades específicas que distinguem aquele
conjunto dos demais.
Os conjuntos determinam predicados dos elementos. Os
predicados são justamente estabelecidos pelas mencionadas
propriedades específicas. Cada elemento é um sujeito que detêm
o predicado associado.
50
5
0
Daqui em diante as palavras “sujeito”
indistintamente empregadas exatamente
significado.
e “ente” serão
com o mesmo
A consideração de predicados é imprescindível à Lógica Clássica.
É necessário que haja uma maneira precisa e adequada de
exprimi-los para que a Lógica seja aplicável.
Com relação a este aspecto há uma analogia possível entre a
Lógica e a Álgebra. Ambas empregam, cada uma à sua maneira,
uma simbologia adequada à satisfação de suas finalidades.
5
1
A Álgebra supõe a expressão correta
e precisa de números e
operadores através de símbolos adequados bem conhecidos:
- todo número deve ser escrito com o emprego dos algarismos
indu-arábicos, 0 a 9, em notação posicional
- cada uma das quatro operações básicas deve ser representada
por um operador : operador “ + ” para soma, operador “ - ” para
subtração, operador “ . ” para multiplicação, operador “ / ” para
divisão
- outros símbolos são empregados para determinar onde
acontecem o início e o fim de uma certa operação complexa
expressa por meio de operações básicas. Tais símbolos são os
delimitadores: “{ }”, “[ ]”, “( )”
- um número cujo valor seja definido e desconhecido é
representado por uma constante como: a, b, c, ... etc. Um
número cujo valor seja indefinido é representado por
uma variável como: x, y, z, ... etc.
51
5
1
A Lógica também exige o emprego de um conjunto de símbolos
adequados às finalidades dela própria. Ela também envolve
operadores, constantes, variáveis e delimitadores.
Uma variável representa um elemento desconhecido de um
conjunto. Sabe-se que ele existe, mas não se sabe qual entre os
muitos existentes é aquele que se considera. Um quantificador
representa a quantificação presente em uma certa proposição.
Um quantificador sempre se refere a uma variável, esta última
representa o sujeito a que se refere o predicado.
5
2
Se A representa uma propriedade
e x representa uma variável
podemos exprimir “x tem a propriedade A” da seguinte forma:
Ax
Uma vez que qualquer propriedade consiste num predicado, a
letra A representa um predicado.
Há situações que envolvem relações entre propriedades de
variáveis, estas relações também são consideradas predicados.
Por exemplo uma certa pessoa x pode ser mais alta que outra
pessoa y. Podemos representar isto por:
Bxy
Onde B exprime a seguinte relação binária: “o indivíduo
representado pela variável logo após o B é mais alto que o
indivíduo representado pela outra variável”.
Na lógica quantificacional predicados são representados por
letras maiúsculas do alfabeto como A, B, C, ... e as variáveis por
letras minúsculas como x, y, z, ... .
52
5
2
Os quantificadores são representados pelos símbolos:
-  , quantificador universal.
-  , quantificador existencial.
Também os operadores negação, disjunção, conjunção, implicação
e bi-implicação têm representações simbólicas:
-  , negação
-  , disjunção
5
3
- , conjunção
- , implicação ou condicional
-  , bi-implicação ou bi-condicional.
Estes símbolos, apresentados para os operadores da Lógica
Proposicional somente a esta altura, no escopo da Lógica
Quantificacional, são válidos também no escopo daquela lógica.
O emprego destes símbolos nos permite representar as
proposições categóricas das seguintes formas:
Todo P é Q:
x(PxQx)
Nenhum P é Q:
x(PxQx)
Algum P é Q:
x(PxQx)
Algum P não é Q: x(PxQx)
(universal afirmativa)
(universal negativa)
(particular afirmativa)
(particular negativa)
Vejamos alguns exemplos sobre como exprimir proposições
categóricas com o emprego de quantificadores e variáveis.
53
5
3
Universal Afirmativa.
Todo torcedor do América é feliz
ou, de outro modo.
Os americanos são todos felizes.
Representando por A a propriedade “x é torcedor do América” e
por F a propriedade “x é feliz”, a expressão das frases seria:
x(AxFx)
5
4
“Todos os entes que são torcedores do América são, ao mesmo
tempo, felizes”
Universal Negativa.
Todos os índios não são civilizados.
ou, de outro modo.
Os índios não têm civilidade.
Representando por I a propriedade “x é índio” e por C a
propriedade “x é civilizado”, a expressão correspondente seria:
x(IxCx)
“Todos os entes que são índios são, ao mesmo tempo, não
civilizados”
54
5
4
Particular Afirmativa.
Alguns gatos são pardos
ou, de outra forma.
Algum gato é pardo.
Se representarmos por G a propriedade “x é gato” e por P a
propriedade “x é pardo”, poderemos escrever qualquer uma das
frases acima da seguinte forma:
5
5
x(GxPx)
“Existe ao menos um ente que, ao mesmo tempo, é um gato e é
pardo.”
Particular Negativa.
Alguns mamíferos não são humanos
ou, de outro modo.
Há mamíferos não humanos.
Se representarmos por M a propriedade “x é mamífero” e por H
a propriedade “x é humano”, poderemos escrever uma ou outra
das frases anteriores:
x(MxHx)
“Existe ao menos um ente que, ao mesmo tempo, é um mamífero e
não é humano.”
55
5
5
É conveniente salientar que, embora tenhamos apresentado
somente duas formas de cada uma das frases escritas em
Português em cada um dos exemplos, podem haver outras formas
de escrevê-las. Todas as formas, é claro, teriam somente a
representação, segundo a simbologia da Lógica, apresentada em
cada exemplo.
As proposições categóricas não são as únicas cuja representação
simbólica envolve quantificadores e variáveis. Há muitas outras
proposições cujas expressões simbólicas os exigem.
4.3 – Um pouco mais sobre Cálculo
de Predicados.
5
6
A determinação precisa dos predicados, sua expressão de
maneira não ambígua e não equívoca, é condição imprescindível
para a aplicação da Lógica à determinação da correção, ou não, de
argumentos.
É necessário que as frases escritas em algum idioma, no nosso
caso o português, sejam escritas em uma outra linguagem que
permita as suas expressões precisas.
Existe um alfabeto criado com esta finalidade, o alfabeto do
CQC. A abreviatura CQC se refere a cálculo quantificacional
clássico. O alfabeto do CQC é constituído pelos seguintes
caracteres:
a b c d e f g h i j k l m
n o p q r s t u v w x y z
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T
       ( )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
56
5
6
As letras maiúsculas são as constantes de predicado, já vimos
que cada uma delas pode representar tanto uma propriedade de
algum ente quanto uma relação entre propriedades de entes.
As letras minúsculas do alfabeto do CQC são dedicadas à
representação dos próprios entes: variáveis ou constantes
individuais.
As variáveis são representadas pelas letras u, v, w x, y e z. A
variável x vem sendo empregada ao longo das últimas páginas. As
constates individuais correspondem às constantes da Álgebra.
São elas as primeiras vinte letras
5 minúsculas, desde a até t.
7
Com o emprego de uma constante individual e uma constante de
predicado podemos, por exemplo, reescrever a proposição:
O presidente Lula é nordestino.
Uma possível reescrita é:
Na
O ente “O presidente Lula” foi representado pela constante
individual a. O predicado “x é nordestino” foi representado por
N.
A seguinte expressão válida no CQC:
FcmIjp
Pode ser a expressão da proposição composta:
Se Cláudia é filha de Maria então Jorge é irmão de Paula.
As constantes individuais c, m, j e p consistem respectivamente
nas representações de Cláudia, Maria, Jorge e Paula.
57
5
7
A constante de predicado F exprime a relação “o indivíduo
associado a variável logo após o F é filho do indivíduo associado a
outra variável”.
A constante de predicado I exprime a relação “o indivíduo
associado a variável logo após o I é irmão do indivíduo associado
a outra variável”.
4.3.1 - Fórmulas Atômicas, Moleculares e Gerais.
No escopo do CQC são definidas as fórmulas. Alguns exemplos
são Ac, FcmIjp, Na, Bxy.
5
8
Fórmulas atômicas são aquelas que não podem ser expressas em
termos de outras que as constituem, são indivisíveis,
correspondem às proposições elementares.
Uma fórmula atômica consiste sempre numa constante de
predicado acompanhada, ou não, pelas constantes individuais ou
variáveis a que se referem.
São exemplos de fórmulas atômicas:
Ac, Bxy, Dcmn, E, Hc.
Quando estão envolvidas n constantes individuais, ou variáveis,
tem-se uma fórmula atômica n-ária: binária, ou ternária, ou
quaternária, etc ... . São unárias as fórmulas Ac e Hc, é binária a
fórmula Bxy, é ternária a fórmula Dcmn.
Há fórmulas atômicas que não dizem respeito a qualquer
constante individual ou variável, são as fórmulas zero-árias. A
fórmula E no exemplo anterior é um destas.
58
5
8
Fórmulas zero-árias exprimem proposições que não atribuem algo
a alguém como
Chove aqui e agora.
Uma fórmula zero-ária é representada por uma única constante
de predicado.
Fórmulas moleculares são aquelas que, além de não envolverem
quantificadores, podem ser expressas em termos de outras, suas
fórmulas atômicas constituintes.
5
9
Correspondem às proposições compostas,
são portanto formadas
a partir de proposições atômicas com o emprego dos operadores
negação, conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação. Alguns
exemplos são:
Pa, RabHc, BmCn, CD
A fórmula Pa é expressa pela ação do operador negação sobre a
fórmula atômica Pa.
A fórmula RabHc é expressa pela ação do operador implicação
que estabelece uma relação de causa e efeito entre as
proposições atômicas Rab e Hc.
A análise das outras duas fórmulas, à maneira das primeiras, leva
facilmente à conclusão de que também as últimas são
moleculares.
Fórmulas gerais são aquelas que envolvem os quantificadores
universal ou existencial como prefixos de fórmulas, moleculares
ou atômicas, nas quais ocorrem a variável quantificada.
59
5
9
Eis alguns casos:
xLx, xBxy, xy(PxQy)
4.3.2 – Expressões das Afirmações e Negações de Algumas
Fórmulas Notáveis no Escopo do Cálculo Quantificacional
Clássico.
A compreensão e a expressão das afirmações e negações de
fórmulas que representam disjunções, conjunções, implicações,
bi-implicações e proposições categóricas são imprescindíveis para
que as finalidades da Lógica sejam
6 cumpridas.
0
I.A) A afirmação de uma disjunção pode ser expressa da
seguinte forma:
PQ
De acordo com a síntese sobre a tabela verdade B1, associada à
disjunção: para que uma disjunção seja verdadeira, basta que um
dos disjuntivos o seja.
Tal fato manifesta a presença da relação de alternatividade
associada à disjunção.
Retomando a disjunção já vista no item b1, na seção 2.1:
A cerveja está quente ou os petiscos têm gosto ruim.
(disjunção)
A cerveja está quente.
(disjuntivo)
Os petiscos têm gosto ruim.
(disjuntivo)
60
6
0
Poderíamos então representá-la por PQ desde que:
P represente “A cerveja está quente”.
Q represente “Os petiscos têm gosto ruim”.
I.B) A negação de uma disjunção, em conformidade com a
igualdade B3a, pode ser expressa da seguinte forma:
(PQ) = PQ
6
De acordo com a síntese sobre
a tabela verdade B1: uma
1
disjunção será falsa sempre que os dois disjuntivos sejam falsos.
Tal fato manifesta a relação de simultaneidade associada à
negação da disjunção, a negação de uma disjunção é uma
conjunção.
A negação da disjunção considerada no item I.A, é a seguinte
conjunção:
A cerveja não está quente e os petiscos não têm gosto ruim.
(conjunção)
A cerveja não está quente.
(conjuntivo)
Os petiscos não têm gosto ruim.
(conjuntivo)
Poderíamos então representar tal negação por PQ, onde:
P representa “A cerveja está quente”.
Q representa “Os petiscos têm gosto ruim”.
61
6
1
II.A) A afirmação de uma conjunção pode ser expressa da
seguinte forma:
PQ
De acordo com a síntese sobre a tabela verdade B2, associada à
conjunção: uma conjunção será verdadeira sempre que ambos os
conjuntivos o forem.
Este fato manifesta a presença da relação de simultaneidade
associada à conjunção.
6
2 item b2, na seção 2.1:
Retomando a conjunção já vista no
A temperatura está elevada e sinto-me bem hoje.
(conjunção)
A temperatura está elevada.
(conjuntivo)
Sinto-me bem hoje.
(conjuntivo)
Poderíamos então representá-la por PQ desde que:
P represente “A temperatura está elevada”.
Q represente “Sinto-me bem hoje”.
II.B) A negação de uma conjunção, em conformidade com a
igualdade B3b, pode ser expressa da seguinte forma:
(PQ) = PQ
62
6
2
Conforme a síntese sobre a tabela verdade B2: para que uma
conjunção será falsa basta que um dos conjuntivos o seja.
Este fato manifesta a relação de alternatividade associada à
negação da conjunção, a negação de uma conjunção é uma
disjunção.
A negação da conjunção considerada no item II.A, é a seguinte
disjunção:
A temperatura não está elevada ou não me sinto bem hoje.
(disjunção)
6
3
A temperatura não está elevada.
(disjuntivo)
Não me sinto bem hoje.
(disjuntivo)
Poderíamos então representar tal negação por PQ, onde:
P representa “A temperatura está elevada”.
Q representa “Sinto-me bem hoje”.
III.A) A afirmação de uma implicação, em conformidade com a
igualdade C1A1, pode ser expressa da seguinte forma:
PQ = PQ
A síntese da tabela verdade C1 esclarece que uma implicação
será verdadeira quando, alternativamente, o antecedente for
falso ou o consequente for verdadeiro.
Deste modo a afirmação de uma implicação é uma disjunção.
63
6
3
Retomando a implicação já vista no item c1, na seção 2.1:
Se Jorge pratica natação então Cláudia joga tênis.
(proposição condicional)
Jorge pratica natação.
(antecedente)
Cláudia joga tênis.
(conseqüente)
Poderíamos reescrevê-la como a 6seguinte disjunção:
4
Jorge não pratica natação ou Cláudia joga tênis.
(disjunção)
Poderíamos ainda representá-la por PQ desde que:
P represente “Jorge pratica natação”.
Q represente “Cláudia joga tênis”.
III.B) A negação de uma implicação, em conformidade com a
igualdade C1A2, pode ser expressa da seguinte forma:
(PQ) = PQ
A síntese da tabela verdade C1A esclarece que uma implicação
será falsa quando, simultaneamente, o antecedente for
verdadeiro e o consequente for falso.
Deste modo a negação de uma implicação é uma conjunção.
64
6
4
A negação da bi-implicação considerada no item III.A, é a
seguinte conjunção:
Jorge pratica natação e Cláudia não joga tênis.
(conjunção)
Poderíamos ainda representá-la por PQ onde:
P representa “Jorge pratica natação”.
Q representa “Cláudia joga tênis”.
6
5
IV.A) A afirmação de uma bi-implicação,
em conformidade com a
igualdade C2A1, pode ser expressa da seguinte forma:
PQ = (PQ)(PQ)
Segundo a tabela verdade C2A, uma bi-implicação é verdadeira
quando suas proposições componentes têm valores lógicos iguais.
Sendo assim a afirmação de uma bi-implicação é uma disjunção.
Retomando a bi-implicação já vista no item c2, na seção 2.1:
Isaac é filho de Cláudia se e somente se Cláudia é casada com
Henrique.
(proposição bi-condicional)
65
6
5
Poderíamos reescrevê-la como a seguinte disjunção:
Isaac é filho de Cláudia e Claúdia é casada com Henrique
ou
Isaac não é filho de Cláudia e Cláudia é não casada com Henrique.
(disjunção)
Poderíamos ainda representá-la por (PQ)(PQ) desde que:
P represente “Isaac6 é filho de Cláudia”.
6
Q represente “Cláudia é casada com Henrique”.
IV.B) A negação de uma bi-implicação, em conformidade com a
igualdade C2A2, pode ser expressa da seguinte forma:
(PQ) = (PQ)(PQ)
Segundo a tabela verdade C2A, uma bi-implicação é falsa quando
suas proposições componentes têm valores lógicos diferentes.
Sendo assim a negação de uma bi-implicação é uma disjunção.
A negação da bi-implicação considerada no item IV.A, é a
seguinte disjunção:
Isaac é filho de Cláudia e Cláudia não é casada com Henrique
ou
Isaac não é filho de Cláudia e Cláudia é casada com Henrique.
66
6
6
Poderíamos ainda representá-la por (PQ)(PQ) onde:
P representa “Isaac é filho de Cláudia”.
Q representa “Cláudia é casada com Henrique”.
V.A) A afirmação de uma proposição categórica universal
afirmativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expressa da seguinte forma:
x(PxQx)
6
7 categórica universal afirmativa
V.B) A negação de uma proposição
pode ser expressa da seguinte forma:
x(PxQx) = x(PxQx)
A negação de “Todos os entes são alguma coisa” é “Existe ao menos um ente que não é a coisa”.
A negação da proposição:
Todo administrador passou pela faculdade.
É a seguinte proposição:
Existe ao menos um administrador que não passou pela faculdade.
VI.A) A afirmação de uma proposição categórica universal
negativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expressa
da seguinte forma:
x(PxQx)
67
6
7
VI.B) A negação de uma proposição categórica universal negativa
pode ser expressa da seguinte forma:
x(PxQx) = x(PxQx)
A negação de “Todos os entes não são alguma coisa” é “Existe ao
menos um ente que é a coisa”.
A negação da proposição:
Os norte-americanos não são africanos.
É a seguinte proposição:
6
8
Há ao menos um norte-americano que é africano.
VII.A) A afirmação de uma proposição categórica particular
afirmativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expresas da seguinte forma:
x(PxQx)
VII.B) A negação de uma proposição categórica particular
afirmativa pode ser expressa da seguinte forma:
x(PxQx) = x(PxQx)
A negação de “Existe ao menos um ente que é alguma coisa” é
“Todos os entes não são a coisa”
A negação da proposição:
Alguns administradores fizeram o teste Anpad em fevereiro.
68
6
8
É a seguinte proposição:
Todos os administradores não fizeram o teste em fevereiro.
VIII.A) A afirmação de uma proposição categórica particular
negativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expressa
da seguinte forma:
x(PxQx)
VIII.B) A negação de uma proposição categórica particular
negativa pode ser expressa da seguinte
forma:
6
9
x(PxQx) = x(PxQx)
A negação de “Existe ao menos um ente que não é alguma coisa” é
“Todos os entes são a coisa”
A negação da proposição:
Há automóveis raros que não circulam nas ruas.
É a seguinte proposição:
Todos os automóveis raros circulam nas ruas.
4.3.3 – Encerramento da Seção.
A esta altura terminamos nossa abordagem a respeito dos
princípios da Lógica Quantificacional clássica. A profundidade a
que atingimos é perfeitamente adequada ao emprego daquela à
resolução de questões típicas em concursos nacionais voltados a
não especialistas, conforme a finalidade pretendida pelo Espaço
Paidéia.
69
6
9