DOC - UFCG

6º Semana de Matemática do CCT/UFCG
08 de novembro de 2011 a
11 de novembro de 2011
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
CURVAS CONVEXAS E TEOREMA DOS QUATRO VÉRTICES
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Hugo Saraiva Tavares, 2 Henrique Fernandez de Lima
UFCG/CCT/UAME/ Bolsista CNPQ/INCTMat – Rua Ouro Branco, 980, 58109-970, Campina Grande - PB,
Tel/fax: (83)9182-4095 – e-mail: [email protected]
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UFCG/CCT/UAME - email: [email protected]
RESUMO
O artigo em questão aborda conceitos de Geometria Diferencial, que é basicamente o estudo das
propriedades locais de curvas e superfícies, configurando-se como um ramo da matemática que apresentou
notório desenvolvimento com a elaboração da Teoria da Relatividade de Albert Einstein, apresentanto forte
caratér interdiciplinar por possuir diversas aplicações em outras áreas da matemática pura e aplicada como:
Topologia, Análise, Álgebra, Equações Diferenciais e Física-Matemática.
Especificamente, procurou-se inicialmente definir e demonstrar todos os aspectos relevantes para um
bom entendimento da prova do Teorema dos Quatro Vértices (objetivo central do artigo), que afirma: toda
curva plana, convexa, regular, simples e fechada possui pelo menos quatro vértices. Inicialmente foi necessário
definir o espaço euclidiano bidimensional ℝ2, trabalhando fortemente com o conceito de vetores tangentes de
forma semelhante à abordada O’Neill (1997). O trabalho com vetores tangentes remete imediatamente ao
conceito de campos de vetores sobre o ℝ2 e conseqüentemente é possível estabelecer a definição de referenciais
de campos, e dentro disto, o diedro de Frenet.
Posteriormente, ainda baseando-se em O’Neill (1997), definiu-se curvas planas, tomadas sempre como
aplicações infinitamente deriváveis, e verificou-se que se tais curvas forem regulares, ou seja, curvas onde o
vetor velocidade possui uma direção bem definida em todos os pontos do domínio, então por meio de uma
reparametrização podemos obter uma curva com velocidade unitária e partir daí construir o referencial de
campos de Frenet, de onde podemos extrair o conceito de curvatura, fundamental na demonstração do teorema
principal.
Basicamente, a partir desse embasamento e do estudo de demonstrações encontradas em do Carmo
(2005) e Araújo (2004) foi possível elaborar uma demonstração do Teorema dos Quatro Vértices mais rigorosa
e completa, procurando sempre que possível mostrar uma representação das idéias abordadas, facilitando a
compreensão do mesmo. Tal demonstração utilizou fortemente o conceito de convexidade de uma curva, mas o
teorema pode se estendido para curvas onde esse fato não se verifica, e para isso exigi-se uma prova mais difícil
não abordada nesse artigo.
Palavras-Chave: Geometria Diferencial, Diedro de Frenet, Curvas Planas Convexas.
AGRADECIMENTOS
Ao CNPQ/INCTMat por apoiar e financiar esse estudo e ao professor Dr. Henrique Fernandez de Lima pela
orientação.
REFERÊNCIAS
[1] ARAÚJO, Paulo Ventura. Geometria Diferencial. 1.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2004.
[2] do CARMO, Manfredo Perdigão. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 3.ed. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.
[3] LIMA, Elon Lages. Análise Real volume 1. Funções de Uma Variável. 10.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2008.
[4] O’NEILL, Barrett. Elementary Differential Geometry. 2.ed. San Diego : A Harcourt
Technology Company, 1997.
Science and
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