6º Semana de Matemática do CCT/UFCG 08 de novembro de 2011 a 11 de novembro de 2011 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME CURVAS CONVEXAS E TEOREMA DOS QUATRO VÉRTICES 1 1 Hugo Saraiva Tavares, 2 Henrique Fernandez de Lima UFCG/CCT/UAME/ Bolsista CNPQ/INCTMat – Rua Ouro Branco, 980, 58109-970, Campina Grande - PB, Tel/fax: (83)9182-4095 – e-mail: [email protected] 2 UFCG/CCT/UAME - email: [email protected] RESUMO O artigo em questão aborda conceitos de Geometria Diferencial, que é basicamente o estudo das propriedades locais de curvas e superfícies, configurando-se como um ramo da matemática que apresentou notório desenvolvimento com a elaboração da Teoria da Relatividade de Albert Einstein, apresentanto forte caratér interdiciplinar por possuir diversas aplicações em outras áreas da matemática pura e aplicada como: Topologia, Análise, Álgebra, Equações Diferenciais e Física-Matemática. Especificamente, procurou-se inicialmente definir e demonstrar todos os aspectos relevantes para um bom entendimento da prova do Teorema dos Quatro Vértices (objetivo central do artigo), que afirma: toda curva plana, convexa, regular, simples e fechada possui pelo menos quatro vértices. Inicialmente foi necessário definir o espaço euclidiano bidimensional ℝ2, trabalhando fortemente com o conceito de vetores tangentes de forma semelhante à abordada O’Neill (1997). O trabalho com vetores tangentes remete imediatamente ao conceito de campos de vetores sobre o ℝ2 e conseqüentemente é possível estabelecer a definição de referenciais de campos, e dentro disto, o diedro de Frenet. Posteriormente, ainda baseando-se em O’Neill (1997), definiu-se curvas planas, tomadas sempre como aplicações infinitamente deriváveis, e verificou-se que se tais curvas forem regulares, ou seja, curvas onde o vetor velocidade possui uma direção bem definida em todos os pontos do domínio, então por meio de uma reparametrização podemos obter uma curva com velocidade unitária e partir daí construir o referencial de campos de Frenet, de onde podemos extrair o conceito de curvatura, fundamental na demonstração do teorema principal. Basicamente, a partir desse embasamento e do estudo de demonstrações encontradas em do Carmo (2005) e Araújo (2004) foi possível elaborar uma demonstração do Teorema dos Quatro Vértices mais rigorosa e completa, procurando sempre que possível mostrar uma representação das idéias abordadas, facilitando a compreensão do mesmo. Tal demonstração utilizou fortemente o conceito de convexidade de uma curva, mas o teorema pode se estendido para curvas onde esse fato não se verifica, e para isso exigi-se uma prova mais difícil não abordada nesse artigo. Palavras-Chave: Geometria Diferencial, Diedro de Frenet, Curvas Planas Convexas. AGRADECIMENTOS Ao CNPQ/INCTMat por apoiar e financiar esse estudo e ao professor Dr. Henrique Fernandez de Lima pela orientação. REFERÊNCIAS [1] ARAÚJO, Paulo Ventura. Geometria Diferencial. 1.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2004. [2] do CARMO, Manfredo Perdigão. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 3.ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005. [3] LIMA, Elon Lages. Análise Real volume 1. Funções de Uma Variável. 10.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2008. [4] O’NEILL, Barrett. Elementary Differential Geometry. 2.ed. San Diego : A Harcourt Technology Company, 1997. Science and 6º Semana de Matemática do CCT/UFCG 08 de novembro de 2011 a 11 de novembro de 2011 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME