curvas algébricas e o teorema de bézout - PUC-Rio

Departamento de Matemática
CURVAS ALGÉBRICAS E O TEOREMA DE BÉZOUT
Aluno: Filipe Bellio da Nóbrega
Orientador: Marcos Craizer
Introdução
Foi feito um estudo dirigido sobre curvas algébricas, suas propriedades e maneiras de
estudá-las. A partir da demonstração de diversos lemas foi-se desenvolvendo a compreensão
teórica matemática do objeto de estudo. Mais adiante, foi demonstrado e compreendido o
Teorema de Bézout bem como suas aplicações e corolários.
Objetivos
Familiarizar-se com o estudo das curvas algébricas, culminando com a demonstração do
Teorema de Bézout. Resolver exercícios matemáticos sobre o tema e desenvolver ilustrações
a respeito destes com softwares gráficos como o Maple e o Geogebra.
Metodologia
Seguindo o texto de apoio [1], há trajetória natural de conceitos até o Teorema de
Bézout. Primeiramente é preciso definir curva algébrica, o que pode ser feito de duas
maneiras. Ela pode ser descrita parametricamente através de funções para cada coordenada,
ou implicitamente como a pré-imagem de 0 de uma classe de equivalência de funções
polinomiais não nulas λf: ²→ (λ∈). Assim, a equação (, ) ∑, descreve
bem um representante da curva algébrica, considerando subentendido que a expressão
polinomial deve ser igualada a 0. Esta segunda forma será a utilizada.
É importante notar a relevância do domínio da função f e o corpo de base para seus
coeficientes que definem uma curva algébrica. Apesar de muitas das propriedades estudadas
independerem do corpo , outras exigem algumas restrições sobre ele, como é o caso do
próprio Teorema de Bézout. Nesse sentido, é recompensador um primeiro passo de abstração,
trabalhar com os números complexos.
O segundo passo de abstração importante diz respeito ao plano projetivo, em particular
o plano projetivo complexo Pℂ². Este é o meio mais natural para se trabalhar, pois nele
podem-se observar novas propriedades e invariantes que não existiam no plano afim, o que
facilita o estudo das curvas algébricas. Sob este novo olhar, são aceitos “pontos no infinito”,
que podem fazer parte de uma curva algébrica. Assim, por exemplo, duas retas sempre se
encontram, mesmo as paralelas, pois estas se encontram em um ponto no infinito. O
interessante é que estes resultados podem ser encontrados algebricamente com facilidade,
mesmo nem sempre sendo claros geometricamente.
Em Pℂ², uma curva algébrica tem o formato: (, , ) ∑,, e esta
expressão deve ser uma forma, i.e. todos os monômios devem ter o mesmo grau (i+j+k = d).
Isso se deve ao fato de que no plano projetivo os pontos (x:y:z) e (kx:ky:kz) = k(x:y:z) estão
alinhados e portanto representam o mesmo ponto projetivo, assim, caso a expressão não fosse
uma forma, poderia haver contradição, onde um ponto ao mesmo tempo pertence e não
pertence a uma curva algébrica.
Em diversas situações deseja-se estudar as interseções de duas curvas algébricas F e G.
O Teorema de Bézout fornece informação sobre este aspecto, pois ele diz: Sejam F e G curvas
algébricas em Pℂ² de graus m e n respectivamente e sem componentes comuns. Segue que a
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soma dos números de interseção I(P,F,G) dos pontos de interseção P é mn, em particular F e
G se encontram em pelo menos um ponto. Assim, dizemos que F e G têm mn interseções
“contadas apropriadamente”. Claro que é preciso saber o significado de número de interseção
para compreender o teorema, mas para isso também é preciso conhecer a definição de
Resultante.
Dados dois polinômios é possível montar uma matriz específica seguindo um padrão
com seus coeficientes. O determinante desta matriz é o chamado resultante. Demonstra-se que
a matriz é tal que seu resultante é nulo se e somente se os polinômios têm fatorem em comum.
Dadas F e G curvas algébricas de graus m e n, é possível montar a tal matriz específica
com seus coeficientes em z, i.e. as potências de x e y também aparecem na matriz. O
resultante R(x,y) neste caso é um polinômio nas variáveis x e y. Demonstra-se que este
polinômio é identicamente igual a zero ou uma forma de grau mn.
Com este fato, pode-se demonstrar que duas curvas F e G sem componentes comuns de
graus m e n respectivamente se intersectam em um número finito de pontos, em particular elas
se intersectam no máximo em mn pontos distintos. A demonstração utiliza o Lema dos Quatro
Pontos, importante na teoria de curvas projetivas, e também o fato de formas binárias, como é
o resultante R(x,y), possuírem um número finito de raízes do ponto de vista projetivo, em
particular se seu grau é mn, então haverá no máximo mn raízes distintas.
O número de interseção I(P,F,G) de um ponto ( : : ) é definido como a
multiplicidade de (: ) como raiz do resultante R(x,y) após feitos os ajustes necessários.
Se P não é ponto de interseção I(P,F,G) = 0 e se P pertente a uma componente comum de F e
G então I(P,F,G) = ∞.
Agora é simples concluir o Teorema de Bézout, uma vez que a soma das
multiplicidades das raízes de R(x,y) é exatamente mn, pois este é o grau de R(x,y). A parte
final é simples, pois se F e G não se encontrassem em nenhum ponto, mn = 0, claramente um
absurdo.
Uma vez demonstrado o Teorema de Bézout, tem-se uma ideia de como duas curvas
quaisquer se interceptam. Dado o conjunto dos pontos de interseção , , … , (s ≤ mn)
temos uma soma característica associada a estes, a soma de seus números de interseção
, , … , onde ( , , ). Essa soma ganha o nome de padrão de interseção de
F e G e é um invariante sob transformações projetivas. É interessante notar o valor geométrico
desta soma, tendo em vista que se alguma parcela for maior que 1, ela indica a existência de
uma tangência de F e G naquele ponto em específico. Valores maiores apontam para uma
aproximação ainda mais profunda entre as duas curvas.
Conclusões
O estudo teórico permitiu uma maior compreensão do universo das curvas algébricas e
de suas propriedades. Foi possível demonstrar o Teorema de Bézout e solucionar exercícios
complexos mesmo sem a utilização de meios tecnológicos.
Entretanto, foi interessante a implementação de softwares gráficos como o Maple e o
Geogebra para a visualização dos argumentos teóricos desenvolvidos. Curvas algébricas
apresentam uma beleza inerente tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico, sendo
sempre interessante manter uma comunicação entre essas duas facetas.
Referências
1 - GIBSON, C. G. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate
Introduction. 1.ed. New York: Cambridge University Press, 2001.