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LIMITES (Unidade II)
O estudo dos Limites objetiva conceituar intuitivamente limite,
definir limites laterais, aplicar as propriedades, calcular limites de
funções e verificar a continuidade de uma função.
Introdução
Antes de iniciar os estudos sobre Limites, vamos observar um
exemplo prático do nosso cotidiano.
- Seja S(t) = 3t 2 + 5t + 2 a função que representa a posição (em km)
de um certo tipo de veículo em um determinado instante t (0  t  10).
Suponha que desejamos determinar a velocidade do veículo no
intervalo de tempo t = 3 horas. Para encontrar essa solução devemos
calcular a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [3, t].
S var iação do espaço
Vm 
t var iação do tempo
S (t )  S (3)
Vm 
(t  3)
t 3
2
S (t )  3t  5t  2

S (3)  3.3 2  5.3  2  44
(3t 2  5t  2)  44
Vm 
t 3
2
3t  5t  42
Vm 
t 3




Verificando que t = 3 não está definido no domínio da função
velocidade média (Vm), podemos calcular as velocidades médias do
veículo quando o valor de t aproxima-se cada vez mais de 3 (Tabela).
t
1,0
1,8
2,0
2,5
2,8
3,0 3,01
Vm 17,0 19,4 20,0 21,5 22,4 ?
3,2
3,5
3,8
4,0
23,03 23,6 24,5 25,4 26,0
Note que, quando mais próximo de 3 o intervalo de tempo se
encontrar, a Velocidade Média do veículo aproxima-se do valor 23,
2
logo, podemos sugerir que a velocidade instantânea do móvel em t = 3
horas é de 23 km/h.
Após esse exemplo vamos começar os estudos de Limites de uma
Função através da Definição Intuitiva.
1.0- DEFINIÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Inicialmente, analisemos os gráficos das funções abaixo:
a)
y
y = f(x)
5
4
3
0 2
P.E
3
4
x
P.D
Verificamos que, quando os valores de x se aproximam tanto pela
esquerda, como pela direita do valor 3, os resultados correspondentes
a f(x) (imagem) estão se aproximando do valor 4. Então, podemos
dizer que o limite da função y = f(x), quando x tende a 3, é igual a 4, e
indicamos:
f ( x)  4
Lim
x3
y
b)
y = g(x)
3
x
1
Analisando o quadro, verificamos que, quando os valores de x se
aproximam tanto pela esquerda, como pela direita do valor 1, os
resultados correspondentes a y(imagem) estão se aproximando do
valor 3. Então, podemos dizer que o limite da função y, quando x tende
a 1, é igual a 3, e indicamos:
Lim
g ( x)  3
x 1
Em regra geral, dizemos que:
- Limite de uma função, quando x tende a k, é igual a q (k e q
constantes).
Lim
xk
f ( x)  q
3
Após esses exemplos sobre a noção intuitiva de limite, podemos
voltar ao exemplo prático citado inicialmente, no qual mostramos que
quanto mais próximo de 3 horas for o valor do tempo, a velocidade
média se aproxima de 23 km/h, então, podemos dizer que a velocidade
instantânea do veículo em t = 3 horas é igual a 23 km/h, em outras
palavras, podemos dizer que o limite da velocidade média quando o
tempo t se aproxima de 3 é igual a 23. Observemos.
 3t 2  5t  42  3.3 2  5.3  42 0
 
Lim 

(in det er min ação)
t 3
33
0


t 3
Levantando a indeterminação, temos:
14


 3(t  3 )(t  3) 
Lim 
  Lim (3t  14)  23
(
t

3
)



 t  3
t 3
Vm
Vm
23
3
t
2.0- LIMITES LATERAIS
 2
 x  1, x  1
Observe a função f : R  R definida por f(x) = 
.
 x  3, x  1

Determinemos, com auxílio das tabelas e do gráfico abaixo, o limite de f(x)
quando x tender a 1 tanto pela esquerda (1-), como pela direita (1+).
x1
g(x) = x - 3
x
0,4
y
-2,6
(x, y)
(0,4; -2,6)
0,6
-2,4
(0,6; -2,4)
0,7
-2,3
(0,7; -2,3)
0,9
-2,1
(0,9; -2,1)
0,99
-2,01
(0,99;-2,01)
4
+
x1
2
h(x) = x + 1
x
1,6
y
3,6
(x, y)
(1,6; 3,6)
1,4
3
(1,4; 3.0)
1,2
2,4
(1,2; 2,4)
1,1
2,2
(1,1; 2,2)
y
2
0
1
x
-2
1.05
2,1
(1,05; 2,1)
Observando as tabelas e o gráfico acima, verificamos que o limite de f(x),
quando x tende a 1, não existe, pois, o limite de f(x), quando x tende a 1 pela
esquerda vale –2 e o limite de f(x), quando x tende a um, pela direita, vale 2,
Limf ( x)  2
Limf ( x)  2
logo,
e
são chamados limites laterais.

x 1
x  1
Notamos que a existência dos limites está relacionada diretamente com
os limites laterais, pois, se os mesmos apresentam resultados iguais quando
estão se aproximando de um determinado ponto, dizemos que o limite, nesse
ponto, tem solução, caso contrário, não.
Agora, observamos os exemplos abaixo para fixarmos melhor, como
devemos determinar limite lateral.
1- Dadas as funções f(x) e g(x), representadas pelos gráficos.
y
y
f(x) 4


1
g(x)


0



 2 
x
0


2

3


2
2
x
5
Determine:
a)
Lim
f ( x)
b)
x  2
x
f ( x)
c)
Lim g ( x)
e)

x
2
g) Lim g ( x)
x 

Lim
f ( x)
x2
x  2
Lim g ( x )
d)
Lim
Lim g ( x)
f)

2
h) Lim g ( x)
x 
x

2
i) Lim g ( x )
x 
Solução:
a)
Lim
f ( x)
x  2
Analisando o gráfico de f(x), verificamos que quando x tende a dois, pela
esquerda, y se aproxima de 4, logo,
Lim
f ( x)  4
x  2
b)
Limf
( x)
x  2
Analisando o gráfico de f(x), verificamos que quanto x tende a dois, pela direita,
y se aproxima de 1, logo,
Lim
f ( x)  1
x  2
 Lim f ( x)  Lim f ( x) 
 , podemos
c) Como, os limites laterais são diferentes 




x2
x  2

lim f ( x)
afirmar que
não existe.
x2
Lim g ( x)  
d)
x

2
Lim g ( x )  
e)
x

2
Lim g ( x )
f) Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que
existe.
x

2
não
6
g) Lim g ( x)  0
x 
h) Lim g ( x)  0
x 
i) Como os limites laterais são iguais, podemos afirmar que Lim g ( x ) existe e
x 
vale 0 (zero).
3.0- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
A partir de agora, vamos estudar as Propriedades Operatórias dos Limites.
- Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas pelo domínio D, tais que
Lim f ( x )  L1 e Lim g ( x)  L2 com L1, L2  .
xa
xa
1ª) Limite de uma constante (k) é a própria constante.
kk
Lim
xa
2ª) Limite da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) dos
limites dessas funções.
Lim
 f ( x)  g ( x) =
xa
Lim f ( x)  Lim g ( x) = L  L
1
2
xa
xa
3ª) Limite do produto de funções é o produto dos limites dessas funções.
Lim
Lim f ( x)  Lim g ( x)  L1  L2
 f ( x)  g ( x)  =
xa
xa
xa
4ª) Limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas
funções.
Lim
f ( x)
 f ( x)  x  a
L
Lim 

 1

L2
 g ( x)  Lim g ( x)
xa


 Lim g ( x)  0, x 
 x  a

5ª) Limite da potência de uma função é a potência do limite dessa função.
Lim
 f ( x)
xa
n
n


n
=  Lim f ( x)  L1 
 x  a

7
6ª) Limite da raiz de uma função é a raiz do limite dessa função.
Lim
n
f ( x) 
Lim
n
xa
f ( x)

n
L1
xa
7ª) Limite do logaritmo de uma função é o logaritmo do limite dessa função.


Lim [ Logb f ( x)]  Logb  Lim f ( x)  Logb L1
 x  a

xa
4.0- LIMITE DE FUNÇÕES
4.1- Limite de uma Função Polinominal
Polinômio: É uma expressão algébrica racional e inteira representada pela
seguinte forma:
a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  ...  a1 x  a0
em que

 x é a var iável do polinômio
 n  N


 a n , a n 1 , ..., a 0 são os coeficientes do polinômio

 a0 coeficiente independente
Exemplos:
a) 3x
b) 5x + 3
c) 4x2 – 3x + 4
d)
4 2
x – 3xy +y
5
5x 2  4
não representam polinômios,
x5
pois, na 1ª expressão, a incógnita x encontra-se no radicando, logo, temos uma
expressão irracional e na 2ª, a variável encontra-se no denominador, então,
temos uma expressão racional.
Nota: As expressões
2x  3  4x  3
e
Função Polinomial: É toda função de grau n (n  N) do tipo P:    dado
por P(x) = a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  ...  a1 x  a0 , em que an, an-1, an-2, ..., a1, a0
são números reais ().
Após as definições de polinômio e de função polinomial, vamos resolver o
seguinte exemplo:
- Determine os limites das funções polinomiais:
8
a) Lim (3 x  2)
x5
11
8
2
b) Lim 3 x  7 x  4 x  5 x 
x  1
Solução:
Lim (3 x  2) = 3.5 – 2 = 15 – 2 = 13
x5
Isto significa que, quando x está se aproximando tanto pela esquerda, como
pela direita de 5, o limite da função f(x) = 3x – 2, está se aproximando de 13.
a)
11
8
2
b) Lim 3 x  7 x  4 x  5 x  = 3.(-1)11 – 7.(-1)8 + 4.(-1)2 – 5.(-1) = 3.(-1) –
x  1
7.(+1) +4.(+1) – 5.(-1) = -3 –7 + 4 +5 = -1
4.2- Limite de uma Função Racional
Função Racional: É toda função que apresenta a incógnita no denominador.
Exemplos
3x  5
a) f ( x) 
2  5x
b) f ( x) 
x 2  4x  1
x 2  2x
Observamos que as funções acima apresentam elementos que não pertencem
ao domínio da função. No caso do item a, o número 2/5 torna nulo o
denominador e no item b, os elementos que anulam o denominador são 0 e 2.
Em decorrência dessa observação, encontremos o limite de cada função
racional abaixo:
 2x  1 
Lim  2

a)
 x 5
x3
 x 2  4x  4 

Lim 
2
b)
 x 4 
x2
 x 2  4x  3 

Lim 
2
c)
 x 4 
x  2
 x2  9 

Lim  2
d)
 x  4x  6 
x3
 3x 2  4 

Lim 
e)
5
x

2


x  2
 x 2  5x  6 

Lim 
g)
x  3 

x  2
 ( x  4) 2
Lim 
f)
 x 1
x 1



 x 2  5x  6 

Lim 
2
h)
 x 4 
x2
9
 x2  9 

Lim 
i)
 x3 
x3
Solução:
 2x  1 
Lim  2
  2.3  1  5
a)

 x 5 =  2
 3 5 4
x3
 x 2  4x  4 
2 2  4.2  4 4  8  4 0

Lim 

 0
2
2
 =
b)
x

4
4

4
8
2

4


x2
 x 2  4x  3 

Lim 
(2) 2  4.(2)  3 4  8  3  1
2
c)
=


   (não existe)
 x 4 
44
0
(2) 2  4
x  2
Demonstração
Vamos, inicialmente, estudar o sinal da função f ( x) 
x 2  4x  3
.
x2  4
2
x 2  4x  3
 f1 ( x)  x  4 x  3
 
f ( x) 
2
x2  4
 f 2 ( x)  x  4
f 2 ( x)  x 2  4
f 1 ( x)  x 2  4 x  3
x2  4  0
 x'  2

 x"  2
x2 + 4x + 3 = 0
 x'  1

 x"  3
f1(x)
f2(x)
f1/f2)
+++++++++++++++ -3 ------- ------------‘
-1+++++++++++++ +
x
+++++++++++++++++++++++ -2 ------------------ 2+++++++++
’
x
+++++++++++++++ -3 ------
Observando o gráfico, temos:
-2 +++++ -1------ 2 +++++++++
x
10

 x 2  4x  3 
f1
  
 0, log o, Lim 
 para x  2,
2
f2
 x 4 


x  2 


2
 para x  2, f1  0, log o, Lim  x  4 x  3   
 x2  4 

f2




x  2 

Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que
 x 2  4x  3 

Lim 
2
x

4

 não existe.
x  2
 x2  9 
32  9
0
  2
Lim  2

0
d)
 x  4 x  6  3  4.3  6 27
x3
 x 2  9   32  9  0
  
 
Lim 
(in det er min ação)
e)
x

3
3

9
0

 

x3
Este limite será resolvido durante o estudo sobre limites Indeterminados.
4.3- Limite de uma Função Exponencial
Função Exponencial: É toda função do tipo f(x) = bx, sendo b a base (1  b >
0) e x o expoente (x  ).
Observe os gráficos de f(x) = bx, quando:
1) (b > 1)  f(x) = bx função crescente
decrescente.
2) (0 < b < 1) f(x) = bx função
y
y
ba
bc
a
x
c
x
Após identificarmos uma função exponencial, vamos calcular o limite de
cada função abaixo:
11
a) Lim 3
x4
x
x
b) Lim 2
x  3
c)
2
Lim  
d)
3
x  2
Lim 81x
x 1
4
x
Solução
x
a) Lim 3 = 34 = 81
x4
 n 1 
a  n 
a 

x
1 1
b) Lim 2 = 2-3 = 3 
2
8
x  3
Lim 81x
c)
x
1
4
1
4
= 81 =
4
 bc c b 
a  a 




81  3
x
2
2
2
9
2
3
Lim  

d)
=
 
  
3
4
3
2
x  2
  a  n  b  n 
     
 b 
 a  

4.4- Limite de uma Função Logaritmica
Função Logarítmica: É toda função do tipo f(x) = Log b x , sendo b a base do
logaritmo (1  b > 0) e x o logaritmando ou antilogaritmo (b > 0)
Observe os gráficos de f(x) = Log b x, quando:
1) f(x) = Log b x (b > 1) função crescente
2) f(x) = Log b x (0 < b < 1) função decrescente.
y
y
Log a
b
a>0
0<a<1
c
0
xb
xc
x
0
Log a
b
x
Log a x   Log a b
f ( x)  Lim
Lim
Lim
a
xb
f ( x)  Lim
Log b x   Log b c
xc
Após identificarmos a maneira de determinar limite de uma função logarítmica,
vamos calcular o limite de cada função abaixo:
12
a) Lim Log (5 x)
x2

 4 x  6 
Lim  Log 

b)
 x 

x  2
c) Lim Log 3 x 
x  0


Lim  Log 1 x 
d)
3 


x0
Solução


Lim Log (5 x)  Log  Lim 5 x   Log 10  1
a)
 x  2 
x2

 4 x  6 

 4 x  6 
Lim 

 4.(2)  6 
Lim  Log 


b)
 Log 1  0
 x   Log 
 x  = Log 

(2) 

 x  2

x  2
c) Lim ( Log 3 x) =   , observe no gráfico ao lado
x  0
que quando x tende a zero pela direita, o limite
tende a menos infinito.
0
-
d)
Lim ( Log 1 3 x)
=   , observe no gráfico ao lado
+

x0
que quando x tende a zero pela direita, o limite
tende a mais infinito.
0
x
5.0- LIMITES TENDENDO PARA O INFINITO
O nosso estudo sobre limite de uma função, até esse momento, baseou-se
quando a variável se aproxima de um único número. Porém, há situações em
que necessitamos saber o valor do limite de uma função quando a variável
cresce (ou decresce) infinitamente, ou seja, quando a variável se aproxima de
um valor infinitamente grande (ou pequeno). Em decorrência desse fato, vamos
estudar limites de funções quando a tendência da variável está direcionada ao
infinito.
Antes de começarmos a resolver limites no infinito, vamos verificar algumas
operações que envolvam .
 , n  0
1ª) (+)n = 
0, n  0
13
 , n ímpar

2ª) (-)n =  , n par
0, n  0

   , n  0
   , n  0


3ª)
ou
n
n
 , n  0
 , n  0
n
n
 0 ou
 0, n  0
4ª)


 , n  0
 , n  0
5ª) n      
ou n      
 , n  0
 , n  0
 , n  1
6ª) n    
0, 0  n  1
0, n  1
ou n   
 , 0  n  1
Após essa verificação, vamos resolver limites de funções quando a variável
independente, nesse caso x, tende para o infinito.
5.1) Limite de uma Função Polinomial quando x  
O limite de uma função polinomial em x, para x tendendo a   , é igual ao
limite do termo de maior grau do polinômio.


Lim p ( x)  Lim a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an =
x  
x  


a 
a
a
a
a
a
 Lim a 0 x n 1  1  2 2  ... n n   Lim a 0 x n .Lim1  1  2 2  ... n n
a0 x 
a0 x
 a0 x a0 x
 a0 x a0 x
x  
 Lim
x  
a 0 x n .1  Lim
x  
x  
a0 x n
x  
Exemplo:
1) determine os limites abaixo:
a)
Lim
3x
6

 2 x 5  3x 4  2 x 3  1
b)
x  
Lim
 4 x
x  
Solução:
a)
Lim
3x
x  
6

 2 x 5  3x 4  2 x 3  1
2

 3x  1




14
Lim
3x
x  
b)
Lim
6
=
 2 x 5  3x 4  2 x 3  1
 4 x
Lim
3x   3 
6
6
 3.    
x  
2
 = Lim  4 x   4.()
 3x  1
x  
2
2
 4.()  
x  
5.2) Limite de uma Função Racional quando x  
O limite de uma função racional, para x tendendo a , é igual ao limite
do quociente entre os termos de maior grau do numerador e do denominador
dessa função.
 a0 x n 
 a x n  a1 x n 1  ...  an 



 ou Lim  a0 x n  m 
Lim

Lim Q( x)  Lim  0 m
m 
m 1



 b0 x 
 b0 x  b1 x  ...  bm  =
 b0

x  
x  
x  
x  
Exemplo:
1- Determine os limites abaixo:
 3x 5  4 x 3  7 

Lim 
2
a)
 2 x  3x  5 
x  
  4 x 2  3x  4 

Lim  7
5
c)
 x  4x  6 
 15 x 3  4 x 2  6 x  8 


b)
5x 3  6 x  3


x  
Lim
x  
Solução:
 3x 5  4 x 3  7 
 3x 5 


 2 
Lim
2

a)
 2 x  3x  5  =
 2x  =
x  
x  
3
3
 3 x  3()
3()  
 
Lim 


 
2
2
2
 2 
Lim
x  
 15 x 3 
 15 x 3  4 x 2  6 x  8 
Lim  3   Lim 3  3

Lim 
3
 5x 
b)
5
x

6
x

3

 =
x  
x  
x  
  4 x 2  3x  4 
  4x3 
  4    4
 7



Lim
Lim
 4 
5
4
 =
 x7  =
c)
x

4
x

6
 x     




x  
x  
x  
Lim
  4 

      0

15
5.3) Limite de uma Função Exponencial quando x  
O limite de uma função exponencial, para x tendendo a , é igual a + ou a
zero, dependendo do tipo de função:
1) Se a função é crescente (a > 1), temos:
1.1)
a x  
Lim
x  
+
1.2)
ax  0
Lim
x  
-
0
2) Se a função é decrescente (0 < a< 1), temos:
2.1)
ax  0
Lim
x  
0
+
+
2.2)
a x  
Lim
x  
-
Exemplo
1) Resolva os limites abaixo:
a)
Lim
7
x
x  
1
Lim  
b)
2
x  
x
c)
Lim
2
3
Lim  
d)
4
x  
x
x  
Solução:
x
a)
Lim
7
x  
x
= 7+ = +

1
1
Lim  
b)
2 =  2  0
 
x  
x
16
x
c)
Lim
2
x
= 2- =
x  
1
1

0


2


3
3
4
Lim  

d)
=
 
   
4
4
3
x  
5.4) Limite de uma função logarítmica quando x  
O limite de uma função logarítmica, para x tendendo a +, é igual a + ou
a -, dependendo do tipo de função:
1) Se a função logarítmica é crescente (b > 1), temos:
Lim
Log b x   
x  
+
2) Se a função logarítmica é decrescente (0 < b < 1), temos:
Lim
Log b x   
x  
+
-
* A variável tende apenas para +, em virtude do domínio da função
logaritma ser  * .
Exemplo:
1) Resolver os limites abaixo:
a)
Lim
Log 3 x 
x  


 Log 1 x 


b)
3 

x  
Lim
Solução:
a)
Lim
Log 3 x   
x  
* Observe os gráficos acima.
Aplicação:


 Log 1 x   


b)
3 

x  
Lim
17
1- Um empresário da área de informática estima que o custo (reais/ano) na
produção de uma quantidade q de determinado produto é representado por
C(q) = 250 + 320q. Sendo o custo médio calculado pelo quociente do custo da
produção pela quantidade produzida, determine:
a) O custo na produção de 30 e 70 unidades.
b) A função custo médio.
c) O custo médio na produção de 25 unidades.
d)
Lim
Cm
q  
e interprete graficamente.
Solução:
a) C(q) = 250 + 320q
C(40) = 250 + 320x30 = 9.850,00
C(70) = 250 + 320x70 = 22.650,00
C (q ) 250  320q
b ) Cm ( q ) 

q
q
250
Cm ( q ) 
 320
q
250
c) Cm(q) 
 320
q
250
Cm(25) 
 320  330,00
25
 250
 250
d ) Lim Cm(q)  Lim
 320  
 320  0  320  320,00

 q

q
q
Cm(q )
320
q
 250 
 por
Observe que à medida que cresce o nível de produção, o custo fixo 
 q 
unidade produzida tende a zero, logo, o custo médio se aproxima de 320,00
por unidade produzida.
18
6.0- LIMITES INDETERMINADOS
Ao tentarmos resolver alguns limites, verificamos que os mesmos não
apresentam soluções de imediato, pois recaem em uma indeterminação. Para
resolvermos esses limites, devemos utilizar os nossos conhecimentos básicos
de matemática.
A fim de entendermos melhor as palavras acima, observemos a resolução
do limite abaixo.
 x2  9 

Lim 
 x  3 .
x3
 x 2  9   32  9  9  9 0
  
 
Lim 

 x 3   33  33 0
x3
0
é uma indeterminação (não é definido), logo, devemos
0
utilizar conhecimentos básicos de matemática, no caso, fatoração, para
levantarmos essa indeterminação, ou seja, encontrarmos o resultado do limite.
 x 2  9* 
  x  3 x  3 
  Lim 
  Lim ( x  3)  3  3  6
Lim 
  x  3 
 x3 
O resultado
x3
x3
x3
* x2 – 9 = x2 – 32 = (x + 3).(x – 3)  diferença de dois quadrados.
 x2  9 
 e g(x) = x + 3 são idênticos
Nota: os gráficos das funções f(x) = 
 x3 
exceto quando x assumir valor 3. Esse fato indica que podemos calcular o
limite da função f(x) calculando o limite da função g(x) quando x tende a 3.
y
y
f(x)
g(x)
6
6
3
3
3
x
3
x
Agora, observemos os símbolos de indeterminação ou formas indeterminadas
que irão surgir durante os nossos estudos.
0 
,
,   , 0., 0 0 , 1 ,  0
0 
Por que esses símbolos são denominados de símbolos de indeterminação?
19
Para responder essa pergunta, observemos as igualdades abaixo:
0
1)  n  0  0 . n
(n  )
0

n . n
2)
(n  )

3)     n      n
n
n
ou 0 
4) 0 .   n   
0

5)
00  n
(n  )
(n  )
(aplicando log aritmo)
Log 0 0  Log n ( propriedad e da potência)
0.Log 0  Log n
0.()  Log n  0 
6)
1  n
Log n

n  0
(aplicando log aritmo)
Log 1  Log n ( propriedad e da potência )
 . Log 1  Log n
 . 0  Log n  0 
7)
0  n
Log n

n  0
(aplicando log aritmo)
Log  0  Log n ( propriedad e da potência)
0 . Log   Log n
Log n
n  0

Para que cada igualdade acima seja verdadeira, n pode assumir vários valores
reais. Em decorrência disso, denominamos esses símbolos de indeterminação.
0 .   Log n  0 
A partir desse momento, utilizando nossos conhecimentos básicos de
matemática, vamos calcular limites que apresentam símbolos de
indeterminação.
1- Resolva os limites abaixo:
 x 2  4x  4 

Lim 
2
a)
 x 4 
x2
 3 x 
Lim  2

c)
 x  3x  1 
x  
2
b) Lim 2 x  x 
x  
 3 x 
Lim 

d)
 3 x
x3
20

Lim 
e)

x2
3
x 3 2 

x  2 
Solução:
 x 2  4x  4 

Lim 
2
a)
 x 4 
x2
 x 2  4 x  4   2 2  4.2  4  0
  
 
Lim 
2
2
 x 4   2 4  0
(in det er min ação)
x2
Vamos levantar a indeterminação utilizando fatoração:
1) f(x) = x2 – 4x + 4
a  1

x2 – 4x + 4 = 0 b  4
c  4

Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
 x'  2

 x"  2
Utilizando a fórmula y = a(x - x’).(x – x”)  y = 1(x – 2)(x - 2)
2) g(x) = x2 - 4
x2 – 4 = 0

x'  2

 x"  2
Aplicando a fórmula y = a(x - x’).(x – x”)  y = 1(x – 2)(x + 2)
Substituindo no limite
 f ( x) 
 ( x  2).( x  2) 
 x2 0

Lim 
Lim 
Lim 
 0

 x  2 4
 g ( x)  =
 ( x  2).( x  2)  =
x2
x2
x2
2
b) Lim 2 x  x 
x  


Lim 2 x 2  x =  -  (indeterminação)
x  
Para levantarmos essa indeterminação, devemos o termo de maior grau.
21

 

2
Lim 2 x 2  x = Lim 2 x  2.    
x  
x  
2
 3 x 
Lim  2

c)
 x  3x  1 
x  
 3 x 

Lim  2

 x  3x  1  =  (indeterminação)
x  
Levantando a indeterminação
- Separa-se o termo de maior grau tanto do numerador, como do denominador.
 3 x 
 x
1
1
Lim  2
 Lim  2  Lim  
 x  3x  1  =
x  =
x      0
x  
x  
x  
 3 x 
Lim 

d)
 3 x
x3
 3 x 
33
0
Lim 
 

3 3 0
 3 x
x3
(in det er min ação)
Para levantarmos essa indeterminação, multiplica-se tanto o numerador, como
o denominador por 3  x .


 3 x
 3  x  3  x 
 3 x 
3 x
  Lim 
Lim 
  Lim 





3

x
3

x
 3 x


 3  x  3  x 



x3
x3
x3
 3  x  3  x 
 3  x  3  x 
Lim 
  Lim 

2
2
3  x 
 3  x 


x3
x3


   
Lim



3 x  3 32 3
x3
3 x 3 2 
 0
Lim 
=
e)
x

2

 0
x2
Levantando a indeterminação





22
1
 13
3 x 3 2 
 x  23
 Lim 
Lim 
 =
x

2
 x2



x2
x2
Substituindo 1/3 por n, temos:
 x n  2n
Lim 
 x2
x2
x
 Lim
n 1







x  2 x n 1  x n  2 .2  ...  2n 1 

Lim
 
 x  2

x2


 x n  2 .2  ...  2n 1 
= 2n 1  2n  2.2  ...  2n 1  2n 1  2n 1  ...  2n 1 
x2
2
1
1 1 1
1
1
 n.2n 1  .2 3  .2 3 
 3
2
3
3
3. 4
3.2 3
* a n  b n = a  b a n1  a n2 .b  a n3 .b 2 ...  b n1


- Aplicação
- Calcule os limites abaixo:
1)
5  3x 
7
Lim
2)
x  2
4)
3
 3x 2  5
x  1
Lim
3)

5)
Lim
 4 x
6
Lim
r 2
r2
x2
2 x
Lim
Lim
 2 x 2  3x 


2
x

1



 5 x 2  3x  3
6)
x0
 3x
2

 2x  1
x  2
1
7)
Lim
2
x4
8) Lim
x5
10)
Lim
13)
x4
x
9)
x 1
5 x  9
153
11)
x  2
Lim
 9 2
 
4
 x 2  4x 


 x4 
Lim
 x3  2x 2  x 
 5

3
3
x

2
x

x

1


Lim
x4
12)
x0
14)
Lim
x 1
 x2 1


 x 1 
Log 3 x  5
15)
Lim
4r 3
r 3
3
Lim
x 1
 x3 1


 x 1 
23
 x 2  2x  3 

Lim 
3
16)
x

1


x  1
19)
Lim
17)
Lim
22)
 x4  2 


 2 
20)
Lim
5
3x
 4x  4
4
28)

x
 x3 


 x  3
Lim
x3
 4x 2

24)
 3
x  
Lim
27)
x  
3 4 
x  
21)
Lim
x  
Lim
x2  4
Lim
 3 
 4
23)
 2x 
x  
 3x 5  6 x 2  3x 

Lim 
26)
x3  2x


 3x 
Lim
 x 2  3x  2 


2
x

4


x2
x  2
x  
25)
18)
x4
x 2
Lim
 2x  8 
 2

 x  4x 


Lim  Log 1 x 2  2 x 
29)
2


x  



30) Lim  Log

x  
Lim



4 
x
x  
 6 x 2  x 
 2

 2 x  3 
7.0- CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
 x 3  4 x 2  3x 
 (x  3). Ela está definida para
Observemos a função f ( x)  
x3


qualquer valor de x, excetuando o valor 3. Isso indica que o seu gráfico dá um
salto no ponto (3, 6), confirmando que ela não está definida nesse ponto.
f(x)
6
0
1
3
x
Em decorrência disso, denominamos Função Contínua a toda função f(x)
em que, o resultado de seu limite, quando x tende a k, for igual ao valor
numérico da função f(x) para x = k.
Lim
xk
f ( x)  f (k )
24
Exemplo:
 x 2  2 x  15 
 com x  5 e
01- Construir o gráfico da função f ( x)  

x5


verifique se ela é contínua no ponto x = 5.
Solução
y
8
4
0
1
5
x

 Cálculo do lim f ( x) quando x  5

 x 2  2 x  15 
 ( x  3)( x  5) 
  Lim 
 Lim 
8
x5
x5







x5
x  5

 Cálculo de f (5)


 x 2  2 x  15 
0
  f (5) 
 f ( x)  
x5
0




Como
Limf ( x)  f (5)
x 5
, concluímos que a função é descontínua no ponto x=5.
Existe casos que é mais cômodo determinar a continuidade de uma
função num ponto através dos limites laterais. Nesses eventos utilizamos as
seguintes condições:
1ª) existe o valor numérico da função f(x) para x = k.
Limf ( x )
Limf ( x )
2ª) os limites laterais
e
existem e são iguais.

xk
x  k
Limf ( x)  f (k )
3ª)
xk
Nota:Se alguma condição acima falhar, a função passa a ser descontínua
no ponto x = k.
02- Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados.

 x  1, para x  2
a) f ( x)  
(x = 2)
3, para x  2

25
 x2  4
, para x  2

b) f ( x)   x  2

5, para x  2
(x = 2)
 x 2  5x  6
, para x  3

c) f ( x)   x  3

 1, para x  3
(x = 3)
Solução:

 x  1, para x  2
a) f ( x)  
3, para x  2

y
3
1
0
2-
2
2+
x
 Lim f  x   Lim 3  3

 x  2 x  2

 Lim f ( x)  Lim ( x  1)  1

 x  2 x  2

 Lim f ( x)  não existe

 x  2
Lim f ( x )
Como não existe
, concluímos que a função é descontínua em x = 2.
x2
 x2  4
, para x  2

b) f ( x)   x  2

5, para x  2
y
5
4
26
0
2

 Lim f  x   Lim

x  2
x2


 f (2)  5
 Lim f  x   f (5)

x  2



Lim f  x  
Como
x2
x
  x  2 
. x  2
 x  2   4


f (5)
, concluímos que a função é descontínua em x = 2.
 x 2  5x  6
, para x  3

c) f ( x)   x  3

1, para x  3
y
1
0
3
x
27
 Lim f  x   Lim 1  1

 x  3 x  3


 x2  5x  6 
  x  3 x  2 
  Lim 
  1
 Lim f ( x)  Lim 
  x  3 
 x3 



x  3
x  3
x  3

 Lim f ( x)  1

x  3
 f (3)  1



Lim f ( x)  f ( x)
Como
, concluímos que a função é contínua em x = 3.
x3
Exercícios:

2
1  x , para x  1

01- Seja a função f, definida por f ( x)   x  1, para  2  x  1 :

2, , para x  2

a) construir o gráfico,
b) verificar se f(x) é contínua em x = -1 e x = -2.
 x2  2
, para x  2

02- Seja a função f ( x)   x  2
, determine p   para que
 2
 p.x , para x  2
exista
Lim
f ( x)
.
x 2
03) Determine o valor de p   nas funções abaixo para que elas sejam
contínuas nos pontos indicados.
 x2  4x
, para x  4

a) f ( x)   x  4
em x  4

 p, para x  4
 4 x2  8x  3
1
, para x 

1
2
1
 x
em x 
b) f ( x)  
2
2

1
4 p, para x 
2

28
04-Dadas as funções f e g, definidas por
 x2  1
, para x  1

f ( x)   x  1
em x  4 e

 p, para x  1
 x3  8
, para x  2

g ( x)   x  2

3 p  6, para x  2
em
x 2.
Determine:
a)
lim
f ( x), lim

x  1
f ( x)

x  1
e
lim
f ( x)
.
x  1
b) O valor de p para que f(x) seja contínua no ponto x = -1.
lim g ( x), lim g ( x) lim g ( x)
c)
e
.


x2
x2
x2
d) O valor de p para que g(x) seja contínua no ponto x = 2.
e) Construa os gráficos das funções f(x) e g(x).
05- Verifique algebricamente e graficamente se as funções são contínuas nos
pontos indicados.

3x  9, para x  4
a) f ( x)  
em x  4
3, para x  4

 x 2  7 x  10
, para x  2

x2
b) f ( x)  
 2
 x  4, para x  2

 x  1, para x  1

c) f ( x)  2, para x  1
 x 3  3x  4, para x  1


em
em
x2
x  1
29
 2
 x  2 x  2, para x  2

d) f ( x)  2 x  4, para  3  x  2
 2 para x  3


em
x  2 e x  3
SINTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você definiu limite; aprendeu a resolver limites laterais,
estudou as propriedades dos limites e verificou a continuidade de uma função.
Logo, você está apto a começar o estudo das Derivadas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise
Matemática. Moscou: Mir, 1978.
GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro:
Científica, 1954.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC,
2008.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES:
IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual,
1993, 10v.
LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.