Álgebra Linear - Universidade de Lisboa

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 31 de Janeiro de 2005
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
0
 2 2 0

1. Considere A =  1 1  1  2 , com a   , e
 1  1 0
a 
 b1 
b   0  , com b1 , b 3   .
b3 
a) Determine a característica de A em função dos valores de a.
b) Apresente uma base para o espaço coluna de A com a = -2.
c) Indique em que condições o sistema A x = b tem solução.
d) Considere a matriz B que resulta de A eliminando a sua primeira coluna.
d1) Apresente os valores de a para os quais λ = -1 é valor próprio de B, com multiplicidade
algébrica igual a 1.
d2) Mostre que a   a forma x   x T B x não é definida.
2. Considere a transformação linear de  2 em  3 definida por T x1 , x 2   2 x1 , x1  x 2 , 2 x 2  .
a) Apresente a matriz da representação standard de T.
b) Determine ker (T).
c) Prove que a imagem de um subespaço de  2 , por intermédio de T, é um subespaço de  3 .
d) Use o resultado enunciado na alínea anterior para provar que
W  v1 , v 2 , v 3 : v 2  v1 ,
v3  3v 2 
é um subespaço de  3 .
3. Sejam A e B duas matrizes quadradas com a mesma dimensão. Prove que qualquer valor próprio
de AB é também valor próprio de BA.
Cotações:
1. a
20
1. b
15
1. c
25
1.
1.
d1
d2
20
20
2. a
2. b
2. c
2. d
3.
15
15
20
20
30
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 18 de Fevereiro de 2005
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
1. Considere o sistema :
x1
2 x 2
 3x3
x1
x1
 a
 2x2
 0
 kx4
com a, b, k   .
 b
a) Determine os valores de a, b e k para os quais o sistema é possível.
b) Determine as soluções do correspondente sistema homogéneo para k = 2.
c) Apresente a nulidade da matriz dos coeficientes das variáveis nas equações para k = 10.
2. Considere a transformação linear definida por T x1 , x 2 , x3   x1  2 x 2 , x 2  3x3 , 2 x 2  .
a) Calcule os valores próprios de T.
b) Apresente o subespaço próprio associado ao menor valor próprio.
c) Investigue se T é injectiva . T é um isomorfismo?
3. Considere o conjunto
W  x,
y, z, t  : y  2 x, t  4 x   4
a) Mostre que W é um subespaço.
b) Investigue se os vectores u  1, 2, 0, 4 e v  0, 1, 1, 0 constituem uma base para W.
4. Classifique a forma quadrática x1 , x 2 , x3   x12  3x 22  4 x1 x 3  2 x 2 x3 .
5. Sejam A e B duas matrizes quadradas com a mesma dimensão e C = AB. Prove que se A e B
são matrizes triangulares inferiores então C é também triangular inferior. A recíproca é
verdadeira?
Cotações:
1. a
1. b
1. c
2. a
2. b
2. c
3. a
3. b
4.
5.
20
20
15
20
15
25
20
20
20
25
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
Álgebra Linear
DATA: 6 / Julho / 2005
Duração: 2 horas
Justifique todas as respostas. Apresente todos os cálculos que efectuou.
1 0 a  1
1 


1. Considere M = 1 2 0 1  e d =  0  com a, b, k   .
2 2 b 3 
 k 
a) Resolva o sistema M x = d em função dos valores de a, b e k.
b) Apresente uma base para o espaço linha de M.
c) Determine os valores próprios da matriz A que resulta de M eliminando a sua terceira coluna.
d) Apresente a expressão da forma quadrática definida pela matriz A, considerada na alínea
anterior, e classifique-a.
2. Considere o conjunto W = a, b, 2a : a, b  
a) Prove que W é um subespaço de  3 .
b) Apresente uma base para W.
c) Considere a aplicação T : W   2 definida por T a, b, 2a = a  b, a  b .
c1) Prove que T é uma transformação linear.
c2) Apresente uma matriz B tal que T(w) = Bw ,  w  W.
3. Prove que se C é um conjunto de vectores de  n linearmente independentes então qualquer
subconjunto não vazio de C é também um conjunto de vectores linearmente independentes.
Cotações:
1.a) 1.b) 1.c) 1.d) 2.a) 2.b) 2.c1) 2.c2)
2.5 1.5 2.5 2.5 2.0 2.0 2.0
2.5
3.
2.5
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
Data: 10 de Janeiro de 2006
Apresente todos os cálculos e justifique todas as respostas.
1. Considere
1
1
A
0

1
a)
b)
c)
d)
Duração: 2 horas
0 
 x1 
1
x 



1 0  a
1

, com a  , b 
, com c   e x   2  , com xi  
 x3 
 1
1 2  2
 

 
2 2 0 
c
 x4 
2 1
Determine os valores de a para os quais A é regular.
Determine os valores de a para os quais A admite um valor próprio nulo.
Classifique o sistema A x = b , em função dos valores de a e de c.
Considere a = - 2. Determine o espaço coluna de A e indique, justificando, se o vector
T
u  1, 1,  1, 1 pertence ao espaço coluna de A.
2. Considere a transformação de  3 em  3 definida por
Tx1 , x2 , x3   x1  x2 , kx2 , x3  , com k  
a) Prove que T é uma transformação linear, k   .
b) Apresente uma base para ker (T) com k = 0.
c) Seja A a matriz da representação standard de T.
c1) Determine os valores próprios de A.
c2) Determine os valores de k para os quais A é uma matriz diagonalizável.
c3) Classifique a forma quadrática Φ(x)  x T A x em função dos valores de k 
1
.
4
3. Seja A uma matriz de ordem n que admite n valores próprios distintos não nulos: 1 , 2 ,..., n .
Sejam v1 , v 2 , ..., v n , vectores próprios de A associados, respectivamente, a 1 , 2 ,..., n .
Estude a dependência linear dos n vectores Av1 , Av 2 , ..., Av n .
Cotações:
1.a
1.b
1.c
1.d
2.a
2.b
2.c1
2.c2
2.c3
3.
20
15
25
20
15
15
20
20
20
30
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 30 de Janeiro de 2006
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
(25) 1. Admita que A é uma matriz quadrada de ordem n, que I é a matriz identidade da mesma
ordem e que 0 é a matriz nula, também da mesma ordem. Mostre que
( I  A)( I  A)  0  A  A 1
2
1 0
 


(25) 2. Considere M = 0  1  2 e b     com  ,   
 


 3 
2  2 3 
Mostre que o sistema Mx  3x  b é possível  ,    .


5 5 5 
1 1 1
3
3. Considere B = 
, C =

 e S = x   : Bx  Cx
2
2
2
0
1
1




(20) a) Mostre que S é um subespaço.
(15) b) Apresente uma base para S.
(20) c) Mostre que se v  S é um vector do espaço nulo de B então v é um vector do espaço nulo de
C.
 3 / 2  1/ 2 1/ 2 
4. Considere D =  1 / 2 3 / 2  1 / 2 .


 1
1
0 
(25) a) Determine os valores próprios de D.
(25) b) Investigue se a transformação linear definida por D é injectiva.
 0  


(25) c) Mostre que E = sp  1  é um subespaço próprio de D.
 1 
 
(20) 5. Classifique a forma ( x1 , x2 , x3 )  x12  3x32  2 x1 x2  4 x 1 x3 .
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
Data: 26 / Junho / 2006
Apresente todos os cálculos e justifique todas as respostas.
Duração: 2 horas
4. Considere
2
1
0
1
A
 1  2

a
a
e)
f)
g)
h)
i)
1 0
0 

1
3 2
, com a  , b    , com c  .
1
0 1

 
0 0
c 
Classifique o sistema Ax = b , em função dos valores de a e de c.
Mostre que  k , k ,  k , k T é solução do sistema homogéneo Ax = 0, k   .
Apresente uma base para o espaço nulo de A.
Mostre que det( A)  0 , a   .
O conjunto W, constituído por todas as possíveis quartas linhas de A, é um subespaço de  4 ?
5. Considere
a)
b)
c)
d)
1 3 x 
A  0 1 y  , x, y, z  
0 1 z 
3
e a transformação de  em  definida por T x, y, z   det( A)
Prove que a transformação T é linear.
Determine ker (T).
Determine os vectores x, y, z  que são ortogonais às duas primeiras colunas de A.
Considere a matriz A com x = y = z = 1.
d1) Mostre que os valores próprios de A são iguais a 0, 1 e 2.
d2) Sejam u e v vectores não nulos de  3 tais que Au = u e Av = v. Prove que os vectores u e v
são paralelos.
6. Seja A uma matriz regular de ordem n que admite n valores próprios distintos: 1 , 2 ,..., n .
Prove que a matriz adj (A) é diagonalizável.
Cotações:
1.a
2.5
1.b
1.5
1.c
1.0
1.d
1.5
1.e
1.5
2.a
2.0
2.b
1.5
2.c
1.5
2.d1
2.0
2.d2
2.0
3.
3.0
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E À GESTÃO
ÁLGEBRA LINEAR
DATA: 9 de Janeiro de 2007
Duração: 2 horas
Apresente todos os cálculos e justifique detalhadamente todas as respostas
1 0  2  
1. Considere A = 2  1 1 0  e b =


9  3  1 0 
6
   com  ,    .
 
 4 
(20) a) Calcule a característica de A.
(15) b) Determine os valores de  para os quais b pertence ao espaço coluna de A.
(20) c) Determine os valores de  e de  para os quais b é perpendicular às duas últimas colunas
de A.
(30) d) Considere a transformação linear TA definida por A. Apresente a imagem e o kernel de TA.
(25) 2. Classifique a forma quadrática  x1
x2
x3     x12  3x1 x3  4 x2 x3  x32 .
0.2 0.4 0
3. Considere a matriz M = 0.4 0.8 0 .


 0
0 1
(30) a) Apresente os valores próprios de M e as respectivas multiplicidades algébricas.
(20) b) Apresente um vector próprio de M cujas componentes sejam todas não nulas.
(20) 4. Prove, utilizando as propriedades dos determinantes, que λ é valor próprio de A se e só se λ é
valor próprio de AT.
(20) 5. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, λ um valor próprio não nulo de A e x um vector
próprio de A associado a λ. Prove que λ e (xT A x) têm o mesmo sinal.
INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO
UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA
Álgebra Linear
DATA: 29 de Junho de 2007
Duração: 2 horas
Justifique todas as respostas. Apresente todos os cálculos que efectuou.
 2  3 1 0
0 


1. Considere A = 1 1  1 1 e b =  t  ,
com r , s, t   .
 


1 
0 0
r s 
(30) a) Determine os valores de r, s e t para os quais o sistema A x = b é possível.
(20) b) Fixe r = 2 e s = 0. Apresente a característica e a nulidade da matriz A.
(20) c) Fixe r = s = 0. Apresente a imagem da transformação linear T A definida pela matriz A. A
transformação TA é sobrejectiva? Porquê?
 2 2 2
2. Considere a matriz M = 4 1 2 .


0 0 1
(25) a) Calcule os valores próprios da matriz M.
(20) b) Apresente a expressão da forma quadrática ( x ) = xT M x e classifique-a.
3. Considere o conjunto W =  v1 v2 v3  : v2  2v1 , v3  v1.
(20) a) Mostre que W é um subespaço.
(15) b) Apresente uma base para W.
(20) c) Determine um vector ortogonal a todos os vectores do subespaço W.
4. Sejam A e B duas matrizes, ambas de dimensão 33, cujas linhas são a1, a2, a3 e b1 = a1- a3,
b2 = a2- a1, b3 = a3- a2, respectivamente. Prove que B é uma matriz singular.
(30)