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AULA 3
Vetores no Espaço (IR3): tratamento algébrico e representação
gráfica
Vetores no espaço (IR3):
2
Todo o estudo realizado com vetores no plano (IR ) vale de forma
3
análoga no espaço (IR ), considerando-se algumas adequações necessárias.
Base canônica:
i
Trata-se do conjunto
, j , k
, cujos vetores tem coordenadas de
origem em ( 0, 0, 0 ) e extremidades em
i  1 , 0 , 0 ,
j  0 , 1 , 0 ,
k  0 , 0 , 1 e estes vetores dão orientação ao conhecido sistema cartesiano
ortogonal Oxyz.
Os eixos do sistema cartesiano do espaço são denominados: OX: eixo
das abscissas, OY: eixo das ordenadas e OZ: eixo das cotas, conforme abaixo:
z
k
j
y
i
x
Desta maneira, um vetor no espaço é uma tripla ordenada (x , y , z) de
números reais.
Exemplo:
1)
implica em escrever
z
3
C
D
k
P
E
1
O
2
4
B
2
A
x
P’: projeção de P no plano xOy
P’(2 , 4 , 0)
C: projeção de P no plano yOz
C(0 , 4 , 3)
E: projeção de P no plano xOz
E(2 , 0 , 3)
A: projeção de P em x
A(2 , 0 , 0)
B: projeção de P em y
B(0 , 4 , 0)
D: projeção de P em z
D(0 , 0 , 3)
P'
y
Para desenhar um vetor no IR3, não é necessário traçar todos os
segmentos que traçamos no exemplo acima. Veja outros exemplos:
2)
ou
z
4
k
2
v
3
O
y
1
x
3)
ou
z
4
k
1
2
O
v
2
x
y
Pontos particulares no espaço
Conforme o gráfico acima, podemos concluir que pontos posicionados nos
eixos cartesianos têm duas de suas coordenadas iguais a zero. A coordenada
não nula é aquela do eixo onde o ponto está fixado.
Já os pontos que estão posicionados nos planos coordenados, tem uma de
suas coordenadas nula. A coordenada nula é aquela cujo eixo não faz parte do
plano coordenado.
No Plano cartesiano XOY , o plano é dividido em 4 sub-planos, chamados
quadrantes, por meio dos eixos OX e OY. No Espaço Cartesiano OXYZ, o
espaço está dividido em 08 sub-espaços, chamados octantes, por meio dos
planos cartesianos XOY, XOZ e YOZ, conforme figura abaixo:
Além disso, abaixo segue as coordenadas dos pontos A, B, C, D, que estão
situados acima do plano XOY, e com cota igual a 2, isto é, a coordenada z é 2
e é positiva. Já os pontos A’ , B’ , C’, e D’ estão abaixo do plano XOY e tem
cota -2 (negativa). Analise a figura abaixo:
Analise a figura abaixo:
Operações
com Vetores
no
espaço: igualdade,
adição,
multiplicação por escalar, vetor definido por dois pontos
Dados os vetores
u  x1 , y1 , z1  e
v  x 2 , y 2 , z 2  e   IR,
definimos:
Igualdade de vetores:
u = v se e somente se x1 = x2; y1 = y2 e z1 = z2.
Operações com vetores:
i)
u  v  x1  x 2 , y1  y 2 , z1  z 2 
ii)  u  x1 , y1 , z1   x1 , y1 , z1 
iii) P  u  Q , que são as coordenadas de um ponto
Vetor definido por dois pontos:
Sendo A(x1 , y1 , z1) a origem de um vetor e B(x2 , y2 , z2) a sua
extremidade, e se v  AB , temos:
v  AB  B  A  x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 
Ponto médio:
Seja o segmento de extremos A(x1 , y1 , z1) e B(x2 , y2 , z2). Sendo M(x ,
 x  x 2 y 1  y 2 z1  z 2 
,
,
y , z) o ponto médio de AB, temos: M 1

2
2 
 2
Exemplo: Seja o triângulo de vértices A(4 , -1 , -2); B(2 , 5 , -6) e C(1 , -1 , -2).
Calcule as coordenadas do vetor que representa a mediana relativa ao lado
AB.
Resolução:
C
A
M
B
A mediana relativa ao lado AB do triângulo pode ser representada pelo vetor
CM (ou pelo vetor MC ), onde M é o ponto médio de AB:
 x  x 2 y 1  y 2 z1  z 2   4  2  1  5  2  6 
M 1
,
,
,
,

  3 , 2 ,  4
2
2   2
2
2 
 2
Logo, CM  M  C  3 , 2 ,  4  1 ,  1 ,  2  2 , 3 ,  2
Exercícios resolvidos:
1) Dados os pontos A(3 , -4 , -2) e B(-2 , 1 , 0), determinar o ponto N
pertencente ao segmento AB tal que AN 
Resolução:
AN 
2
AB
5
N A 
2
B  A 
5
N  3 ,  4 ,  2 
2
 5 , 5 , 2
5
4

N  3 ,  4 ,  2    2 , 2 , 
5

4

N  3 ,  4 ,  2    2 , 2 , 
5

6

N1 ,  2 ,  
5

2
AB .
5
2) Sendo A(2 , -5 , 3); B(7 , 3 , -1) e C(6 , -1 , 3) vértices consecutivos de um
paralelogramo ABCD, determine o vértice D.
Resolução:
D
C
B
A
AB  DC
(ou
BC  AD ): mesma direção, mesmo sentido e mesmo
comprimento
B–A=C–D
(7 , 3 , -1) – (2 , -5 , 3) = (6 , -1 , 3) – D
D = (6 , -1 , 3) – (7 , 3 , -1) + (2 , -5 , 3)
Logo, D(1 , -9 , 7)
3) Sendo A(-2 , 1 , 3) e B(6 , -7 , 1) extremidades de um segmento,
determinar os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB
em quatro partes de mesmo comprimento.
Resolução:
B
A
AC  CD  DE  EB 
D
E
1
1
1
1

AB  B  A  8 ,  8 ,  2   2 ,  2 ,  
4
4
4
2

1

AC   2 ,  2 ,  
2

1

C – A = 2 ,  2 ,  
2

1

C =  2 ,  2 ,   + (-2 , 1 , 3)
2

5

C 0 , 1, 
2

C
1

CD   2 ,  2 ,  
2

1

D – C = 2 ,  2 ,  
2

1 
5

D = 2 ,  2 ,   + 0 , 1, 
2 
2

D 2 ,  3 , 2
1

DE   2 ,  2 ,  
2

1

E – D = 2 ,  2 ,  
2

1

E =  2 ,  2 ,   + 2 ,  3 , 2
2

3

E4 ,  5 , 
2

4) Dados os pontos A(0 , 1 , -1) e B(1 , 2 , -1) e os vetores
,
e
, verifique se existem números a, b e c,
tais que
Resolução:
OU AINDA,
OU AINDA,
Os dois vetores são iguais somente, quando:
Resolvendo o sistema linear acima, temos: a = 3; b = 1 ; e c = -1
Assim, o vetor é
Exercícios propostos: