Módulo 1 Cálculo Algébrico

PAT – MAT 2007/2008
MÓDULO 1 - CÁLCULO ALGÉBRICO
EXERCÍCIOS
1.
Na figura está representada uma
caixa com a forma de um prisma
recto e uma fita a envolvê-la. As
dimensões da caixa são:
5
5
1
4 2 × 2 2 × 2 2 (em decímetros).
Calcule:
1.1. o comprimento da fita
1.2. a área total da caixa
1.3. o volume da caixa
1.4. suponha que tem 34 bombons de forma cúbica de
aresta 2dm . Poderá arrumar os bombons dentro da
caixa dada?
OBJECTIVOS
•
Operações com potências:
Dados a, b números reais não nulos
e x, y números reais :
ax × a y = ax+ y
ax × bx = (a ×b)x
a x : a y = a x− y
ax : bx = (a : b)x
(a )
x y
x
= ax. y
a y = ax , y > 0 (se y par, a ≥ 0)
•
•
•
y
Perímetro
Áreas
Volumes
2.
Dado o trapézio rectângulo [ABCD], sabe-se que,
numa dada unidade, AD = 3 e, em função de x,
AB e DC são, respectivamente, 4 x − 7 e 2 x. (x>2)
2.1. Determine, em função de x, a área do trapézio.
2.2. Suponha que x=5. Determine:
C
D
2.2.1. o perímetro do trapézio
2.2.2. a medida da amplitude dos
ângulos internos do trapézio.
A
B
• Recordar Teorema de Pitágoras
• Simplificar radicais
• Recordar razões trigonométricas
de um ângulo agudo.
• Soma das amplitudes dos ângulos
internos de alguns polígonos.
3. Condições da figura:
[AB] é o diâmetro da circunferência
de centro O.
[ AB ] ⊥ [ AC ]
• Regras da potenciação.
• Recordar razões trigonométricas
de um ângulo agudo.
AO = ( x + 5 )
AC = 3 AO
Determine, em função de x, a área da
zona sombreada.
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4.
5.
Na figura está representado
um cubo de aresta 2a (cm).
Os pontos R, S e Q são os
pontos médios das arestas a
que pertencem.
Determine o volume do cubo
truncado.
S
Q
•
•
•
Volumes
Operações com potências
Operações com fracções
•
•
•
•
•
Operações com polinómios
Regra de Ruffini.
Resolução de equações.
Resolução de inequações.
Casos notáveis da multiplicação
R
A figura representa um paralelepípedo rectângulo
cujas dimensões estão expressas em centimetros e a
área da face [BCHG], em função de x, é dada por
A( x) = 2 x 2 + 11x + 5 .
H
E
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2
( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
( a − b ) × ( a + b ) = a2 − b2
2
F
G
x+5
D
C
A
x
B
5.1. Determine BC .
5.2. Determine o valor de x:
5.2.1. sabendo que a área total é 118 cm2.
5.2.2. de modo que a área da face [BCHG] não seja
superior a 11.
5.2.3. de forma a verificar-se DH = 5 5 cm.
6.
A partir de um prisma
quadrangular recto pretende-se
construir um outro sólido que
se obtém do primeiro através de
cortes por planos
perpendiculares às bases, da
forma que a figura sugere.
Sabe-se que as bases do prisma
inicial têm 12cm de lado e a altura do prisma é de
25cm .
6.1. Indique os valores que x pode
tomar.
6.2. Considere o sólido que se obtém quando x toma o
maior valor possível.
6.2.1. Identifique-o;
6.2.2. Determine a razão entre os volumes do sólido
obtido e do prisma dado.
6.3. Determine para que valor de x se obtém um
7
do volume do prisma inicial.
sólido cujo volume é
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•
•
•
•
•
Domínio no contexto do
problema
Volume do prisma
Simplificação de fracções
Teorema de Pitágoras
Resolução de equações.
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7. Num referencial cartesiano
XOY está representado um
hexágono regular centado em O. O
ponto A tem de coordenadas
( 4 , 0) .
•
•
•
•
Equação da recta no plano.
Equação da circunferência.
Condições que definem
regiões do plano.
Áreas.
7.1. Determine as coordenadas do ponto de intersecção
das rectas AB e DC .
7.2. Defina por uma condição o sector circular de centro
em A .
7.3. Determine a área da figura não colorida.
EXERCÍCIOS
1.
Determine o número designado por cada uma das seguintes expressões:
(quando julgue necessário recorra às finalidades do exercício 5 )
−5
−4
3
2
  ÷ 
2
3
1.1.
2 5
 2  
3
−1
 −   ÷ ( 3 × 2 )
 3  
−1
1
1−  
2
 1
2
1.2. 1 −  +
−1
 2   2  2 
 −  
 3  
1.3. ( 3−2 − 30 ) ÷ 9−1 × (1 − 3)
2
1

1 2

 

1.4.  2 − 2  −  6 − 4 × 2 2  

 
 


1
2
2
1


1.5.  5 × 2 2 − 1 −


1.6.
(
 1

5 − 3  52 + 3 


)
5 + 2 3 10 × 3 10
5
3
1.7.
2
2
1
2
1
3
24 − 81
2 3 9 × 32
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2.
Calcule o número designado por cada uma das expressões:
2.1.
2.2.
3.
a −2 + b
( 5ab )
0
+b
−1
, quando a = −3 e b =
1
2
x −2 y −2 − 4
−1
, para x = ( −2 ) e y = −1
−1
x −y
Decomponha num produto de factores lineares cada um dos seguintes polinómios.
3.1. x 2 − 7 x + 6
3.2. 4 x3 − 8 x 2 − x + 2 , sabendo que admite a raiz
1
2
3.3. x3 − 5 x 2 + 4 x
3.4. x 4 − 9 x3 + 29 x 2 − 39 x + 18 , sabendo que é divisível por ( x − 3)
4.
5.
6.
2
Mostre que o polinómio x3 − 4 x 2 − 11x + 30 é divisível por x − 2 e determine as suas
outras raízes.
Para cada concretização de a e b a expressão designatória x 4 − 3 x3 + ( a − 1) x 2 + bx + 5
transforma-se num polinómio em x.
Determine a e b de modo que o polinómio dividido por x 2 − 3 x + 1 dê resto 2 x + 4
Simplifique cada uma das seguintes fracções e indique o domínio em que é válida a
simplificação:
6.1.
5x2
10 x 4
6.2.
3 ( x -1)
6.6.
( x - 3) - ( 4 - x )
6.7.
( 3x + 5)
2
6x2 − 6
x2 − 4x + 4
6.3.
x2 − 2 x
x2 − 5x + 6
6.4.
x2 − 4
3 x + 12
6.5.
2 x + 8 + x3 + 4 x 2
2
2
4 x 2 + 49 − 28 x
2
−9
18 x − 8 x
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7.
Resolva, em IR , as seguintes equações:
x−2
= 1− x
3
2 ( x − 1) 3 ( x − 2 ) 3
7.2.
−
=
3
2
2
4 - 3x 2 + 2 x
7.3. +
= 1 − 3x
2
3
7.4. ( 3 x + 1) ( x 2 − 3 x − 10 ) = 0
7.1. 3 (1- x ) −
7.5. ( x − 3) − ( x 2 − 9 ) = 0
3
1
1
2x2
7.6.
+
=
x − 1 x + 1 x2 − 1
3 ( x − 2)
5
3
7.7.
−
=
2
( x − 1) 2 x − 2 x − x 2
7.8.
8.
6x
x
x
+
=
x −9 3− x x + 3
2
Resolva, em IR , cada uma das seguintes inequações:
4 − 3x 2 + 2 x
−
< 1 − 3x
2
3
1 + 8x
8.2. ( x − 3) × 2 −
≤ 3− x
2
8.3. x 2 > 9
8.1.
8.4. 3 x − x 2 ≥ 0
8.5. x 2 < − x + 6
8.6. ( 2 x 2 + 9 x + 10 ) ( 3 − x ) ≥ 0
8.7.
x 2 − 25
≤0
x 2 + 25
8.8.
( x -1) ≤ 0
2
x 2 ( x + 3)
3
x2 − 2 x + 3
≤1
2 x2 − 3x + 1
x
8.10. 2
≥0
x −1
8.9.
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