Lista de Provas

CEFET – Ba - Centro Federal de Educação Tecnológica da Bahia
Análise de Variáveis Complexas
Professora: Edmary Barreto
Lista de Prov
“ Respondeu Jesus: Em
verdade, em verdade te digo:
quem não nascer da água e
Espírito não pode entrar
no reino de Deus.” Jo 3:5
x
x
2003.1 Seja u  xe cos( y )  ye sen( y ) :
a) Prove que u é harmônica.
b) Determinar v de tal modo que f(z) = u + iv seja analítica.
2003.1 Escolha uma das duas:
a) Seja w = f ( z )  z (2  z ) . Encontre os valores de w correspondentes a z = 1 + i, z = 2 – 2i e
esboce os gráficos dos valores correspondentes nos planos w e z.
b) A impedância de um circuito que contém uma resistência e uma indutância em paralelo é
1 1
j
 
Z R L . Encontre os lugares geométricos da impedância e da admitância quando L varia.
2003.1 Represente graficamente o conjunto de valores de z para os quais
z  3  4i  2
.
2003.1 Calcule os seguintes limites:
(2 z  3)( z  1)
2
a) z  2i z  2 z  4
lim
lim
b)
z i
z 2  2iz  1
z 4  2z 2  1
x
2004.1 (Prova Final) Demonstre que u  e cos y é harmônica. Então encontre seu conjugado
harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.
2004.1 (Prova Final) Calcule
0) a (  , 1).
e2z
2004.1 (Prova Final)
 ( z  1)
C
iz
 ( z  2)e dz
C
3
y
ao longo da parábola C definida por
dz
, onde C é o círculo
z  3.
1
2004.1 (Prova Final)Expanda z ( z  2) em uma série de Laurent válida para
0 z 2
z 2
a)
b)
x2
 2 de (0,
2004.1 (Prova Final) “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) =
H ( s)
X ( s ) , o valor de s é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de
s para os quais a função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”
25( s  10)
( s  3,5)( s  8,2  j8,6)3 ( s  8,2  j8,6) .
A “função de circuito” para um dado circuito é
Classifique as singularidades da função de circuito e represente no plano complexo.
z 2  2z
H (s) 
2
2
2004.1 (Prova Final) Calcule os resíduos de f(z) = ( z  1) ( z  4) .

2004.1 Determine o domínio de convergência da série
zn
n 1 n( n  1)

.
1
2004.1 Expanda ( z  1)( z  3) em uma série de Laurent válida para
a) 1  z  3
b) z  3
2004.1 Encontre a série de Maclaurin da função sen(z) e desenvolva a seguinte função em série
de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.
f ( z) 
sen( z )
z3
H ( s)
2004.1 “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) = X ( s) , o valor de s é
determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a
função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”
( s  10)
( s  3,5)( s  8,2  j8,6)( s  8,2  j8,1) .
A “função de circuito” para o circuito é
Classifique as singularidades da função de circuito e represente no plano complexo.
H (s) 


2004.1Determine o domínio de convergência da série
( z  2) n 1
n 1 ( n  1) 4
n
.
1
2004.1 Expanda z ( z  2) em uma série de Laurent válida para
0 z 2
z 2
a)
b)
2004.1 Encontre a série de Maclaurin da função cos(z) e desenvolva a seguinte função em série
de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.
f ( z) 
1  cos( z )
z
H ( s)
2004.1 “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) = X ( s) , o valor de s é
determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a
função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”
H (s) 
25( s  10)
( s  3,5) ( s  8,2  j8,6)3 ( s  8,2  j8,6)
A “função de circuito” para um dado circuito é
. Classifique as singularidades da função de circuito e represente no plano complexo.
f ( z) 
2004.1 Se
2
z
 z  2 z  1 2

2004.1 Mostre que
C
z  1
2
2004.2 Mostre que
2
z
2
4
d
 3  2 cos

dz 

0

dx
 (1  x )
2 3
2004.2 Mostre que
, encontre o resíduo de f(z) no pólo de ordem 2.
 28i
3
z 2  2z


25
C: z 
2
2
5
3
8
2004.2 Se q(t) é a carga em um circuito utilizado para carregar um capacitor. A inversa de
  1

Q( s )  V0  Rs 
 s
  é dada por
  RC
Laplace da carga
a  i
t

1
V0e st
RC
q (t ) 
ds

V
C
(
1

e
).
0
2i a i Rs( s  1 )
RC
u
 (u , v)
x

 ( x, y ) v
x
2004.2Se w = f(z) é analítica numa região R, prove que
i
u
2
y
 f ' ( z) .
v
y
Seja
w  f ( z )  2e 4 z  (1  2i ) , calcule o jacobiano da transformação. Geometricamente o que isso
significa?

a 2  i
( z )  V0  z   
ln z
z  2

2004.2 Seja o potencial complexo
.
a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.
b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.
( z  i)n
1 2n (n  1)3 .
2004.2 Determine o domínio de convergência da série
2004.2 Desenvolva cos(z) em série de Maclaurin.
f ( z) 
cos( z )
z 2 em série de Laurent em torno de z = 0, dizendo o tipo de
f ( z) 
1
1

zn,
(1  z )(2  z ) em 1  z  2 (Sabendo que 1  z 
0
2004.2 Desenvolva
singularidade.
2004.2 Desenvolva
2004.2
Calcule
e zt
dz
 2 2
C z ( z  2 z  2)
z 
, se t > 0 e C é o círculo
z  1.
1
2.
s  10
s ( s  5) 2 ( s  3  2i )3 . Classifique as singularidades
2004.2 Dada a função de circuito
da função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo simples.
2
2005.2 Demonstre que u  3z  5 é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico v e
forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.
H (s) 
iz
 ( z  2)e dz
2005.2 Calcule C
e2z
2005.2
 ( z  1)
C
3
y
ao longo da parábola C definida por
dz
, onde C é o círculo
z  3.
2005.2 Determine o domínio de convergência da série.


( z  2) n 1
n 1 ( n  1) 4
n
1
2005.2 Expanda z ( z  2) em uma série de Laurent válida para
0 z 2
z 2
a)
b)
x2
 2 de (0, 0) a (  , 1).
)
2005.2
H ( s)
X ( s ) , o valor de s
“Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) =
é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a
função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”
H (s) 
25( s  10)
( s  3,5) ( s  8,2  j8,6)3 ( s  8,2  j8,6)
2
A “função de circuito” para um dado circuito é
. Classifique as singularidades da função de circuito e represente no plano complexo.
z 2  2z
2
2
2005.2 Calcule os resíduos de f(z) = ( z  1) ( z  4) .
( z  i)n
1 (n  1)3 .
2005.2 Determine o domínio de convergência da série
2005.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em cada
caso verifique qual a singularidade.
f ( z) 
a)
e2 z
z  13
 1 
f ( z )  ( z  3) sen

z

2


b)
f ( z) 
2005.2 Desenvolva
2005.2 Calcule
1
( z  1)( z  3) em série de Laurent em 1  z  3.
1
e zt
dz
2i C z 2  1
, se t > 0 e C é o círculo
z 3
.
s  25
s ( s  5) 2 ( s  3  2i ) 2 . Classifique as singularidades da
2005.2 Dada a função de circuito
função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo simples.
x
x
2005.2 Demonstre que u  xe cos y  ye sen y é harmônica. Então encontre seu conjugado
H (s) 
harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.
2005.2 Seja w = f(z) = 2z + 3. Encontre os valores de w correspondentes aos pontos
x2 + y2 = 1 e esboce os gráficos dos valores correspondentes nos planos w e z.
2005.2 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R. Sejam C1 e C2 dois
contornos arbitrários em R, ligando z0 a z. Verifique se
2005.2 Calcule
2005.2 Calcule
 ( z  2)e
iz
 f ( z )dz
 f ( z )dz
C1
C2
dz
C
=
y
ao longo da parábola C definida por
e zt
dz
 2
C z  2z  2
.
x
2
 2 de (0, 0) a (  , 1).
1
z 1 i  .
2
, se t > 0 e C é o círculo
2005.2 Seja C o triângulo orientado no sentido positivo de vértices 0, 2i e 2 + 2i. Determine:
z2 1
C 1 2 dz
( z   i)
2
a)
b)
z2  1
dz
2

C ( z  2  i)
(1) n ( z  i ) n
.
1
n
2005.2 Determine o domínio de convergência da série
2005.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em cada
caso verifique qual a singularidade.
e2 z
f ( z) 
z  33
a)
 1 
f ( z )  ( z  3) cos

 z  2
b)
f ( z) 
2005.2 Desenvolva
0 z 2
a)
e2z
2005.2
 ( z  1)
3
1
z ( z  2) em uma série de Laurent válida para
z 2
b)
dz
C
, onde C é o círculo
H (s) 
z  3.
s  25
s ( s  5i ) . Classifique as singularidades da função,
2
2005.2 Dada a função de circuito
represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo duplo.
2005.2 Mostre que:
2
a)
d
 a  b sen
0

b)

 (x

2
2
a2  b2
, se a  b .
dx

 .
2
 4 x  5)
2
2005.2 Determine a região do plano w na qual a região limitada por x = 0, y = 0, x = 2 e y = 1 é
i
4
levada pela transformação w = 3e z [As equações (u, v) ]. Determine o jacobiano da
transformação e interprete o resultado geometricamente.

a2 
( z )  V0  z  
z 

2005.2 Seja o potencial complexo do escoamento de um fluido dado por
.
a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.
b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.
x
2005.2 Demonstre que u  e cos y + x y é harmônica. Então encontre seu conjugado
harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.
1
z é analítica.
2005.2 Verifique se a função
1
C z dz
2005.2 Seja C = C(0, 2). Calcular
. Explique porque o Teorema de Cauchy não vale.
f ( z) 
2005.2 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R. Sejam C1 e C2 dois
 f ( z )dz C f ( z )dz
C1
contornos arbitrários em R, ligando z0 a z. Verifique se
= 2
.
 z  dz.
2
2005.2 Seja C a curva com parametrização dada por z(t) = t2 , 0  t  1. Calcule
e zt
1
z  .
C z 2 ( z 2  2 z  2) dz
2
2005.2 Calcule
, se t > 0 e C é o círculo
C
2005.2 Seja C o triângulo de vértices 0, 3i e 3 + 3i, orientado no sentido positivo. Determine:
z2  1
dz
2

C ( z  1  2i )
z2  1
C ( z  2  i)2 dz
2005.2 Mostre que:
2
a)
d
 cos  2 
0

b)
 ax

2
 2
3
dx

 bx  c
2
4ac  b
2
, sen do a, b e c reais, b 2  4ac.
2005.2 Determine a região do plano w na qual a região limitada por x =1, y = 1 e
x+y=
1 é levada pela transformação w = z2. Determine o jacobiano da transformação e interprete o
resultado geometricamente.
2005.2 Seja o potencial complexo devido a uma fonte em z = - a e um poço em z = a de iguais
za
( z )  k ln

z

a

.
comprimentos k.
a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.
b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.

 1n z  1 n
1
n3

2006.2 Determine o domínio de convergLncia da série:
f ( z) 
2006.2 Espanda
a)
1
(2  z)(3  z)
.
em uma série de Laurent válida para:
z 2
b)
z 3
2006.2 Prove que:
2
a)
0

 
b)
d

3  2 cos  sen
.
dx

ax  bx  c
2
2
4ac  b 2 sendo a, b, c reais e b2  4ac.
F ( s) 
c) a inversa de Laplace da funçno transformada
1
s  1 é f (t )  sin(t ) . Sabendo
2
f (t ) 
1
st
 F ( s)e ds
2i C
, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que
que
envolve os pólos de F(s).
2006.2 Encontre a série de Maclaurin da funçno cos(z) e desenvolva a seguinte funçno em série
de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.
sen( z )
z3
f ( z) 

 1 n z  2 n
1
n

2006.2 Determine o domínio de convergncia da série:
f ( z) 
2006.2 Espanda
a)
.
1
(1  z)(3  z) em uma série de Laurent válida para:
z 1
b)
z 3
2006.2 Prove que:
2
a)
0

0
b)
d

3  2 cos  sen
.
dx


x 1 2 2 .
4
F ( s) 
c) a inversa de Laplace da funçno transformada
f (t ) 
3s  2
s 2  4 é f (t )  3cos(2t )  sin(2t ) .
1
st
 F ( s)e ds
2i C
, onde C é um contorno fechado adequadamente
Sabendo que
escolhido que envolve os pólos de F(s).
2006.2 Determine a regino do plano W na qual a regino limitada por x = 1, y = 1 e x + y = 1 é
2
levada pela transformaçno w = z .
2006.2 Determine o jacobiano da transformaçno e interprete o resultado geometricamente.
2006.2 Determine o potencial complexo para um fluido movendo-se com velocidade constante
V 0 formando um ângulo  com o semi-eixo positivo.
2006.2 Determine o potencial de velocidade e a funçno de corrente.

a 2  i
( z)  V0  z   
ln( z)
z  2

. Determine as linhas
2006.2 Seja o potencial complexo
equipotenciais e as linhas de corrente.
2006.2 Uma regino é limitada por dois condutores cilíndricos concLntricos e infinitos, de raios
r1 e r2 (r1  r2 )
 e
2 , respectivamente. Determine o potencial e
, carregados a potenciais 1
o vetor campo elétrico em qualquer ponto da regino.
Sabendo
que:
   grad  
 ( z )    i  A ln z  B e  1  A ln r1  B e  2  A ln r2  B

r
e
2006.2 Encontre a série de Maclaurin da funçno cos(z) e desenvolva a seguinte funçno em série
de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.
f ( z) 
1  cos( z)
z
( z  i)n
.
 n
3
2006.2 Determine o domínio de convergência da série 1 2 (n  1)
a) Desenvolva cos(z) em série de Maclaurin.
f ( z) 
cos( z )
z 2 em série de Laurent em torno de z = 0, dizendo o tipo de
f ( z) 
1
1
  zn,
1

z

2
(1  z )(2  z ) em
0
(Sabendo que 1  z
b) Desenvolva
singularidade.
c) Desenvolva
2006.2 Calcule
e zt
C z 2 ( z 2  2 z  2) dz
z 
, se t > 0 e C é o círculo
z  1.
)
1
2.
s  10
s ( s  5) 2 ( s  3  2i )3 . Classifique as singularidades da
2006.2 Dada a função de circuito
função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo simples.
2 xy
2
2
2007.2 Demonstre que u  e sen( x  y ) é harmônica. Então encontre seu conjugado
H (s) 
harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z.
2007.2 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R. Sejam C1 e C2 dois
contornos arbitrários em R, ligando z0 a z. Verifique se
2007.2 Calcule
 ( z  2)e
iz
 f ( z )dz
 f ( z )dz
C1
C2
dz
C
=
y
ao longo da parábola C definida por
x
.
2
 2 de (0, 0) a (  , 1).
1 i
(y  x
2
)dz
2007.2
Calcule a integral
:
a) Ao longo do eixo x = 0 e da reta y = 1;
b) Ao longo do eixo y = 0 e da reta x = 1. (veja figura)
e zt
C ( z 2  2 z  2) dz
z 1 i  1
2007.2 Calcule
, se t > 0 e C:
.
0
2007.2 Seja C o quadrado de vértices 0, 3, 3i e 3 + 3i, orientado no sentido positivo. Determine:
a)
z2 1
dz
4

C ( z  4  4i )
z2 1
dz
2

C ( z  1  i ) ( z  2  2i )
b)
x
x
2007.2 (Prova Final) Demonstre que u  xe cos y  ye sen y é harmônica. Então encontre seu
conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.
e2z
2007.2 (Prova Final) Calcule
 ( z  1)
3
dz
, onde C é o círculo
C
z  3.

2007.2 (Prova Final) Determine o domínio de convergência da série
f ( z) 
2007.2 (Prova Final) Desenvolva
2 z 3
1
z  in
n2  1 .
1
( z  3)( z  2) em uma série de Laurent válida para
.
2
2007.2 (Prova Final) Mostre que
d
 a  b sen
0

2
a 2  b2
, se a  b .
F (s) 
2007.2 (Prova Final) Mostre que a inversa de Laplace da função transformada
s
s 1
2
f (t ) 
1
F ( s )e st ds

2i C
é f (t )  cos(t ). Sabendo que
,
adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).
2007.2 (Prova Final) Seja o potencial complexo
linhas equipotenciais e as linhas de corrente.
onde C é um contorno fechado

a 2  i
( z)  V0  z 
ln( z)

z  2

. Determine as
2
2
2007.2 Demonstre que u  ln x  y é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico
v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z.
Obs.
a
2
d
1
 
 arctg    C , a e C cons tan tes.
2

a
a
.
f ( z) 
2007.2 Verifique se a função
1
z é analítica.
1
2007.2 Seja
C : z 1
. Calcular
 z dz
C
. Explique porque o Teorema de Cauchy não vale.
2i
 ( y  x )dz
2
2007.2 Calcule a integral 0
:
a) Ao longo do eixo x = 0 e da reta y = 1;
b) Ao longo do eixo y = 0 e da reta x = 2. (veja figura)
e zt
 ( z 2  2 z  2) dz
z  2.
C
2007.2 Calcule
, se t > 0 e C é o círculo
2007.2 Seja C o triângulo de vértices 0, 3i e 3 + 3i, orientado no sentido positivo. Determine:
a)
z2  1
dz
2

C ( z  4  4i )
b)
z2  1
dz
2

C ( z  1  2i )
(1) n ( z  i ) n
.
1
4
n
2007.2 Determine o domínio de convergência da série
2007.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em cada
caso verifique qual a singularidade.
f ( z) 
a)
e2 z
z  23
 1 
f ( z )  ( z  1) cos

z

1


b)
f ( z) 
2007.2 Desenvolva
a)
z
z ( z  2) em uma série de Laurent válida para
0 z 2
2007.2 Calcule
b)
1
z2  2z
dz
2i C ( z  2) 2 ( z 2  4)
z 2
z 
, onde C é o círculo
3
2 .
F (s) 
s
s 1 é
2
2007.2 Mostre que a inversa de Laplace da função transformada
1
f (t ) 
F ( s )e st ds

2i C
f (t )  cos(t ). Sabendo que
,
onde C é um contorno fechado
adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).
2007.2 Mostre que:
2
d
 cos  2 
a)
0
 2
3 .



b)
dx

x  2x  2
.
2
2007.2 Determine a região do plano w na qual a região limitada por x = 2, y = 0 e
i
x - y = 0 é levada pela transformação
w  2 . e 4 . z  (1  i) .
Determine o jacobiano da transformação e interprete o resultado geometricamente.
Obs.:
u
 (u , v)
x

 ( x, y ) v
x
u
2
y
 f ' ( z) .
v
y
2007.2 Seja o potencial complexo ( z)  ik ln( z), onde k  0.
a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.
b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto. o módulo da velocidade.
Obs.:
( z)    i
   Linhas equipotenciais
   Linhas de corrente
v    ( z)
x
2008.1 Demonstre que u  e cos y + x y é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico
v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.
2008.1 Determine a região do plano W na qual a região limitada por x =1, y =1 e x + y =1 é
levada pela transformação w = z2.
2i
 ( y  x )dz
2
2008.1 Calcule a integral 0
:
a) Ao longo do eixo x = 0 e da reta y = 1;
b) Ao longo do eixo y = 0 e da reta x = 2. (veja figura)
2008.1
Calcule
e zt
C z 2 ( z 2  2 z  2) dz
1
z  .
2
, se t > 0 e C é o círculo
2008.1 Uma elipse C tem a equação z(t) = a cos(wt) + i b sen(wt), onde a, b e w são constantes, a
> b, e t é o tempo. Suponha que z é o vetor posição da partícula movendo-se sobre a curva C.
dz
C z  2bi
Determine a velocidade e a aceleração da partícula para qualquer tempo. Determine
.
2008.1 Seja C o triângulo de vértices 0, 2 e 3i, orientado no sentido positivo. Determine:
a)
z2  1
dz
2

C ( z  1  i)
b)
z2  1
dz
2

C ( z  2  5i )

2008.1 Determine o domínio de convergência da série
1
 z  2i  n
n4
.
2008.1 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em cada
caso verifique qual a singularidade.
a)
e 3z
( z  1) 2 1)
b)
 1 
f ( z)  ( z  2) sen

 z  1
f ( z) 
f ( z) 
2008.1 Desenvolva
a) z  2
z
2z
em uma série de Laurent válida para:
b)
z 2
1
sen( z)
dz

2
2

i
C ( z  2) z
2008.1 Calcule
, onde C é o círculo
z 
3
2 .
F ( s) 
1
1  s2
2008.1 Mostre que a inversa de Laplace da função transformada
é
1
f (t ) 
F ( s )e st ds

2i C
f (t )  sen(t ) . Sabendo que
,
onde C é um contorno fechado
adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).