1 Lista de exercícios de Mecânica

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE
2003
período noturno
Profa. Maria José Bechara
TÓPICO I. FUNDAMENTOS, LEIS BÁSICAS E ALGUNS
MOVIMENTOS SIMPLES NA MECÂNICA CLÁSSICA
tempo previsto: ~3,5 semanas
I.1 Conceituação de espaço, tempo e movimento na
mecânica clássica
I.2 As leis básicas do movimento na mecânica
newtoniana e o determinismo na mecânica clássica.
I.3 O problema geral da solução da equação do
movimento de um ponto.
I.4 Revisitando as forças constantes e os movimentos que
elas promovem.
I.5 Movimentos com forças dependentes apenas da
velocidade - as forças viscosas; forças dependentes
apenas do tempo.
I.6 Forças que dependem apenas da posição e o conceito
de força conservativa.
I.7 Simetrias no sistema físico e as leis de conservação no
movimento de uma partícula - conservação de
quantidade de movimento, momento angular e energia
mecânica.
I.8 A análise qualitativa dos movimentos unidimensionais
com forças conservativas, a partir da energia potencial.
I.9 O uso da conservação da quantidade de movimento
nos movimentos de corpos com variação de massa no
tempo: foguetes, esteiras e similares.
I.10 Alguns movimentos simples (re)visitados
I.11 Limitações da mecânica clássica.
Referências obrigatórias:
1. Jerry B. Marion e Stephen T. Thornton (M&T) em
“Classical Dynamics of Particles and Systems” da
“Saunders College Publishing”, 4a. edição; Cap 2 e/ou
2. Keith R. Symon (S) em “Mecânica” da Editora
Campus; Cap.1, Seções 2.1 a 2.5, Seção 3.11 e 3.12
e 3.17. Seções 4.1 a 4.5 .
referência de apoio:
3. H. Moysés Nussenzveigh (N) em “Curso de Física
Básica 1 - Mecânica” da Editora Edgard Blucher Ltda.
outros textos:
4.T. B. Kibble; “Mecânica Clássica”.
4. H. Goldestein; “Classical Mechanics”.
Mecânica I - lista tópico I
QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO I
Segue abaixo uma seleção de questões que devem ser
pensadas e resolvidas pelos estudantes para testar seu
entendimento no assunto. Há muitas outras no final dos
capítulos dos textos recomendados.
Questão 1.
Das grandezas: (a)vetor posição, (b) velocidade, (c) massa, (d)
energia mecânica, (e) força, (f) aceleração, (g) energia
potencial, (h) energia cinética, quais dependem do particular
observador inercial? Justifique.
Questão 7.
Enuncie as três leis de Newton, explicando o significado de
cada uma delas.
Quais as principais características do espaço e do tempo na
mecânica clássica não relativística?
Questão 2.
As leis de Newton valem para todos os corpos em movimento?
Se sua resposta for positiva, argumente. Se for negativa, diga
as condições da validade da mecânica newtoniana.
Questão 3.
Questão 9.
(a) O que você entende por determinismo na mecânica
clássica?
(b) Discuta como as leis de Newton são compatíveis com a
idéia de determinismo apresentada no item (a)
Questão 8.
Um corpo de massa m é lançado do chão com velocidade
O que você entende por referenciais inerciais?
Questão 4.
(a) O que você entende por princípio de relatividade na
mecânica clássica?
(b) E por transformações de espaço e tempo para dois
referenciais?
Questão 5.
 v  v 
v 0 i 0 j
2
2
onde i e um
versor na horizontal, no sentido da direita, e j um versor na
vertical, no sentido para cima. Despreze o efeito da resistência
do ar.
(a) Escreva a velocidade de lançamento deste corpo para um
observador O que se move, em relação ao chão, com
v
velocidade V  o i .
2
(a) O que são grandezas invariantes para dois referenciais
inerciais? Dê dois exemplos.
(b) O que são leis físicas covariantes para referencias inerciais?
Dê dois exemplos.
Questão 6.
(b) Escreva a força sobre o corpo para o observador em
repouso no chão e para o observador O do item a.
(c) Determine o vetor posição do corpo para um observador em
repouso em relação ao chão, que toma o ponto de
2
Mecânica I - lista tópico I
lançamento como origem, e para o observador O (do item a)
que no instante t = 0 tem a origem do seu sistema de
referência no ponto de lançamento do corpo.
(d) Faça um esboço da trajetória do corpo para o observador
em repouso em relação ao chão e para o observador O.
Justifique seu esboço e desenhe nele a velocidade inicial e
a velocidade no ponto mais alto da trajetória em relação ao
(b) Qual é a variação do momento linear no intervalo de tempo
t?
Questão 12. (2.25 de M&T)
Um bloco de massa m desliza sobre uma superfície na
ausência
de
atrito,
como
mostrado
na
chão.
Questão 10. (2.32 de M&T)
figura ao lado. O
bloco é liberado
de uma altura h
em relação ao
ponto A.
(a) Qual é a
força que a
Dois blocos de massas
diferentes estão conectados
por uma corda passando por
uma polia (veja a figura ao
lado). A corda e a polia
possuem
massas
desprezíveis. Se o coeficiente
de atrito cinético é k, qual é o
ângulo  do plano que permite que as massas se movam com
velocidade constante?
Questão 11. (7 do Cap.2 do S)
Uma partícula de massa m, em repouso, sofre a ação de uma
superfície exerce sobre o bloco no ponto A?
(b) Qual é a força que a superfície exerce sobre o bloco no
ponto B?
(c) Qual é a velocidade que o bloco deixa a superfície no ponto
B?
(d) Qual é a distância x, em relação ao ponto A, que o bloco
atinge o chão (y=0) após deixar o ponto B.
força constante F0 durante um intervalo de tempo t (não há
força fora do intervalo de tempo t).
(a) Determine a posição x e a velocidade v da partícula durante
e após a ação da força. Faça os gráficos de x(t) e v(t) em
função do tempo.
(e) Esboce num gráfico a energia potencial U(x) versus x para
o bloco. Indique no seu gráfico a energia mecânica do bloco.
Questão 13.
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Mecânica I - lista tópico I
Uma criança desliza um bloco de massa m = 2kg sobre um
chão de cozinha engordurado (ou seja, você pode desprezar o
atrito). A velocidade inicial do bloco é de 4 m/s e o bloco atinge
uma mola, de constante K = 6 N/m. Qual é a máxima
compressão da mola? Qual seria o resultado se o bloco
deslizasse sobre uma superfície rugosa com coeficiente de
atrito cinético k = 0.2?
instante inicial a velocidade é v0. Descreva o movimento
posterior nos casos em que n é par e impar.
Questão 17. (2.39 do M&T)
Um barco de massa m e velocidade inicial v0 é freado por uma
força de atrito F ( v )  bev onde  e b são constantes
positivas.
(a) Determinar o movimento do barco (ou seja escreva a
Questão 14.
Um motorista de automóvel desce uma rampa 8% inclinada,
freia e derrapa 30 m antes de atingir um carro estacionado. Um
advogado contrata um especialista, que mede o coeficiente de
atrito cinético entre os pneus e o asfalto e obtêm o valor
k = 0.45. O advogado está correto em acusar o motorista de
exceder o limite de velocidade de 40 km/h? Explique.
equação de movimento e resolva-a para achar x(t)).
(b) Determine o tempo e a distância requerida até o barco parar.
Questão 18. (9 do Cap.2 do S)
Um cabo de guerra é seguro por dois grupos de cindo homens
cada um. Cada homem pesa 70kg e pode puxar o cabo
inicialmente com uma força de 100N. Inicialmente os dois
grupos estão compensados, mas quando os homens cansam, a
Questão 15.
Uma partícula de massa m se move verticalmente sob ação da
força da gravidade e de uma força viscosa Fv ( v )  bv .
(a) Determine a velocidade em função do tempo
(b) Determine a posição da partícula em função do tempo.
(c) Discuta
o
movimento
nos
casos
em
que:
m
t 
e t pequeno .
b
(d) Discuta o movimento no caso em que b  0 .
Questão 16.
Um corpo se move em um meio viscoso cuja força de atrito é
n
proporcional a uma potência da velocidade: F ( v )  b v . No
força com que cada um puxa o cabo decresce de acordo com a
relação F( t )  ( 100 N )e t  , onde o tempo médio para atingir o
cansaço é de 10s para um grupo e 20s para o outro. Determine
o movimento. Suponha que nenhum dos homens solte o cabo
(g = 9,8m/s2). Qual a velocidade final dos dois times? Qual das
suposições é responsável por este resultado não razoável?
Questão 19. (10 do Cap. 2 do S)
Uma partícula inicialmente em repouso é sujeita a partir do
instante t = 0 a uma força F ( t )  Foe  t cost  
(a) Determine o seu movimento.
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Mecânica I - lista tópico I
Considere uma partícula de massa m, sujeita a uma força
1
1
externa: F ( x )   2  3 .
x
x
(a) Determine a energia potencial U(x) e esboce seu gráfico.
(b) Descubra se há pontos de equilíbrio da partícula – Quais
são esses pontos e qual o respectivo valor da energia?
Justifique.
(c) Discuta quais são os intervalos de energia em que a
(b) Como dependerá a velocidade final de  e de ? (Sugestão:
A álgebra se simplifica se cos(t+) for escrito em termos de
funções exponenciais complexas).
Questão 20 .
Uma partícula de massa m = 1kg está sujeita a uma força
unidimensional F ( t )  k t e t , onde k  1 N / s e   0.5 s 1 .
Se a partícula está inicialmente em repouso, calcule , com o
auxílio de um computador, a posição, a velocidade e a
partícula pode ter movimento oscilatório, livre ou nenhum
movimento.
(d) Quais são os pontos de retorno do movimento? Justifique.
(e) Determine o período do movimento oscilatório, e em
particular o movimento de pequenas oscilações.
aceleração da partícula como função do tempo. Faça um gráfico
de cada uma destas grandezas físicas em função do tempo.
Questão 21.
Diga quais da seguintes forças são conversativas e determine a
energia potencial para as que o forem:
(a) Fx  6 abz 3 y  20bx 3 y 2
F y  6 abz 3 x  10bx 4 y
(b) Fx  18 abz 3 y  20bx 3 y 2
Fy  18 abz 3 x  10bx 4 y
Fz  18 abxyz 2
Questão 24. (22 do Cap. 2 do S)
Uma partícula  é
mantida
num
núcleo
atômico
pelo
potencial
V(x)
está
mostrado
na
Fz  6 abxyz 2

(c) F  Fx x x̂  Fy  y  ŷ  Fz z ẑ
Questão 22.
Determine a energia potencial de cada uma das seguintes
forças,
no
R
Fx  axe
caso
Fy  bye
das
R
que
Fz  cze
R
são
conservativas:
figura ao lado. (a)
Descreva
os
possíveis
movimentos da partícula. (b)Escreva analiticamente uma função
V(x) que tenha essa forma geral, tendo os valores –V0 em x=0 e
onde R  ax 2  by 2  cz 2
Questão 23.
5
Mecânica I - lista tópico I
V1 em x=x1. (c) Calcule a força correspondente a este
potencial.
Questão 25. (23 do Cap. 2 do S)
a
Uma partícula está sujeita a uma força F ( x )  kx  3 .
x
(a) Encontre o potencial V(x). Descreva a natureza das
soluções para todo x.
(d) Uma partícula começa a se mover a uma grande distância
do poço de potencial com velocidade v0, em direção a ele.
Ao passar pelo ponto x = a sofre uma colisão na qual perde
uma fração  de energia cinética inicial. Calcule:
(d1) o valor mínimo de  para que a partícula fique presa
no poço.
(d2) o valor mínimo de  para que fique presa em um
(b) Determine a posição em função do tempo x(t).
(c) Você pode dar uma interpretação do movimento quando
E2>>ka?
Questão 26.
Duas partículas de massa m1 e m2 movem-se ao longo de
uma reta. A energia potencial de interação mutua é
k
, com x1 e x2 sendo as abcissas das
V x1 , x2  
x1  x2 2
partículas e k uma constante positiva. Determine x1(t) e x2(t)
sabendo que
x1 t  0   x0
x2 t  0   0
x1 t  0   0
x2 t  0   0
lado do poço.
(d3) Calcule os pontos de retorno supondo  = 1.
Questão 28.
Um pêndulo balístico usado para medir a velocidade de uma
bala é construído suspendendo-se um bloco de madeira de
massa M por uma corda de comprimento l. O pêndulo
encontra-se inicialmente em repouso na vertical. Uma bala de
massa m é disparada de encontro ao bloco e se incrusta nele.
O pêndulo começa a balançar é se eleva ate que a corda faça
uma ângulo máximo  com a vertical. Determine a velocidade
inicial da bala em termos de M, m, l e , aplicando as leis de
conservação apropriadas .
Questão 29.
Um foguete é lançado verticalmente, com massa inicial de valor
m0. A velocidade de ejeção dos gases (relativa ao foguete) é
dm
constante e igual a u e a razão de ejeção da massa
é
dt
constante. Depois que uma massa m foi ejetada do foguete,
ele fica sem combustível. Desprezando a resistência do ar e
considerando constante a aceleração da gravidade, determine
Questão 27. (27 do Cap. 2 do S)
Uma partícula de massa m se move num poço de potencial
Vo a 2 a 2  x 2
dado por V  x   
(a, Vo constantes > 0).
8a 4  x 4




(a) Faça um esboço de V(x) e F(x).
(b) Discuta qualitativamente os possíveis movimentos de uma
partícula sujeita a este poço de potencial.
(c) Calcule a freqüência para o movimento de pequenas
oscilações em torno do(s) ponto(s) de equilíbrio estável(eis).
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Mecânica I - lista tópico I
as equações de movimento do foguete. Mostre que se m 0, u e
dm
m são fixos, quanto maior
, maior será a altura alcançada
dt
pelo foguete.
Questão 30.
Um foguete, lançado verticalmente da superfície da Terra, tem
massa total inicial m0 e massa de combustível mc. O impulso do
motor do foguete é F0 e a velocidade de exaustão dos gases é
mínimo. Mostre que é impossível se construir um foguete de um
estagio que possa realizar este trabalho.
Questão 32.
Um lançador de projeteis desenvolvido no ano 2013, pode
lançar projeteis esféricos de 104Kg com uma velocidade inicial
de 6.000m/s. Para testes os objetos são lançados
verticalmente.
. Deduza, em função dos parâmetros dados e da aceleração
da gravidade g (admitida constante) , os seguintes itens:
(a) A expressão da velocidade do foguete no instante em que
o combustível termina.
(b) A altura atingida pelo foguete no mesmo instante.
(c) A altura máxima atingida pelo foguete
Questão 31.
(a) Desprezar a resistência do ar e assumir uma aceleração da
gravidade constante . Determinar a altura máxima que pode
alcançar o projetil.
(b) Se o objeto têm um raio de 20cm e a resistência do ar é
proporcional ao quadrado da velocidade do objeto com c w =
0.2, determinar a altura máxima atingida. Considere que
densidade do ar é constante.
Um foguete de dois estágios foi construído com capacidade
para acelerar uma carga de 100 kg. Até uma velocidade de
6000m/s em vôo livre no espaço livre (sem força gravitacional).
(Num foguete de dois estágios, o primeiro é abandonado
quando acaba o combustível, mais antes que o segundo estagio
seja ligado). Suponha que o combustível usado possa atingir
uma velocidade de exaustão de 1500m/s e que a estrutura do
(c) Considere a variação da aceleração da gravidade com a
altura e encontre novamente a altura máxima.
(d) Considere que a densidade do ar diminui com à altura.
Podemos
representar
a
densidade
do
ar
por
2
log 10 (  )  0 ,05h  0 ,11 , onde  e a densidade em kg/m e h
a altura em km. Determinar a altura máxima que o objeto
pode atingir .
foguete implica que o seu peso vazio (sem combustível ou
carga ) pesara 10% a mais de que o combustível que ele pode
carregar. Determine a melhor escolha para as massa dos dois
estágios, de forma que o peso total no lançamento seja
Questão 33. (2.50 do M&T)
Uma gota de água caindo na atmosfera é de forma esférica.
Quando a gota passa através de uma nuvem ela adquire massa
numa razão proporcional à sua seção reta. Considere uma gota
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Mecânica I - lista tópico I
 mv
v
r 

qB wc
de raio inicial r0, entrando na nuvem com velocidade v0.
Supondo que não há força resistiva mostre que:
(a) O raio cresce linearmente com o tempo.
(b) Se r0 é desprezível, então a velocidade aumenta linearmente
com o tempo dentro da nuvem.
(c) Encontre a velocidade da gota no ponto no qual sua massa
duplicou.
qB
é a frequência ciclotron.
m

(b) Escolha B na direção do eixo z e defina o plano constante


E e B como o plano yz., de forma que:





e
E  E y j  Ez k
B  Bk
onde wc 
Questão 34.
Considere um projétil atirado da origem de um sistema de
coordenadas (considere g constante). Mostre diretamente que a
taxa de variação temporal do momento angular em relação à
origem é igual ao momento da força (ou torque) em relação a
origem.
Questão 35. (2.22 do M&T)
Mostre que a componente z do movimento é dada por:

z (t )  z (0)  z (0)t 
qEz 2
t
2m
(c) Obtenha as expressões para as componentes x e y da


velocidade ( x(t ) e y (t ) ). Mostre que a média temporal
destes componentes de velocidade são:
O movimento de uma partícula carregada num campo
eletromagnético pode ser obtido a partir da força de Lorentz que
atua sobre ela. Se o campo elétrico e magnético são dados


respectivamente pelos vetores E e B respectivamente, a
força sobre uma partícula de massa m e carga q que tem a

velocidade v é dada por :


 
F  qE  qv  B

 x 
Ey
B

e  y  0
(Mostre que o movimento é periódico e então faça a média num
período)
sendo v<<c (velocidade da luz).
(a) se não há campo elétrico e a partícula entra no campo
magnético perpendicularmente à direção do campo, mostre
que a sua trajetória é uma circunferência de raio r dado por:
8