doc - Plato

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2004 - período diurno
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Guia de trabalho
TÓPICO I. FUNDAMENTOS, LEIS BÁSICAS E ALGUNS MOVIMENTOS SIMPLES NA
MECÂNICA CLÁSSICA - FORMALISMO NEWTONIANO
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tempo previsto: ~3,5 semanas
Prof. Maria José Bechara
I.1 Conceituação de espaço, tempo e movimento na mecânica clássica.
I.2 As leis básicas do movimento na mecânica newtoniana e o determinismo na mecânica
clássica.
I.3 O problema geral da solução da equação do movimento de um ponto material.
I.4 Revisitando as forças constantes e os movimentos que elas promovem.
I.5 Movimentos com forças dependentes apenas da velocidade 0 as forças viscosas.
Forças dependentes apenas do tempo.
I.6 Forças que dependem apenas da posição e o conceito de força conservativa.
I.7 Simetrias no sistema f´sico e as leis de conservação no movimento de uma partícula conservação da quantidade de movimento, momento angular e energia mecânica.
I.8 A análise qualitativa dos movimentos unidimensionais com forças conservativas, a partir
da energia potencial.
I.9 O uso da conservação da quantidade de movimento no estudo dos movimentos de
corpos com variação de massa com o tempo: foguetes, esteiras e similares.
I.10 Alguns movimentos simples (re)visitados
I.11 Limitações da mecânica clássica.
Livros textos:
1. Jeryy B. Marion e Stephen T. Thornton (M&T) em " Classical Dynamics of
|Particles and Systems" da Saunders College Publishing, 4a ediçao; Cap. 2 e/ou
2. Keith R. Symon (S) em "Mecânica" da Editora Campus; Cap. 1, seções 2.1 a
2.5; seção 3.11, 3.12 e 3.17; seções 4.1 a 4.5.
referência de apoio:
3. H. Moyses Nussenzveigh (N) em "Curso de Física Básioca 1 - "Mecânica" da
Editora Edgard Blucher Ltada.
outras referências:
3. T.B.Kible - "Mecânica Clássica"
4. H. Goldestein - "Classical Mechanics"
Mecânica I - lista tópico I
Segue abaixo uma seleção de questões que devem ser resolvidas de forma refletida
pelos estudantes para conferir o entendimento no assunto. Há muitas outras questões
interessantes nos capítulos dos textos recomendados. Estas questões indicam o
mínimo a ser trabalhado.
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QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO I
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Questão 1.
Quais as principais características do espaço e do tempo na mecânica clássica não
relativística? O que muda neste conceito na mecânica relativísitca?
Questão 2.
As leis de Newton valem para todos os corpos em movimento? Se for negativa, diga as
condições da validade da mecânica newtoniana. Para qualquer resposta argumente.
Questão 3.
O que você entende por referenciais inerciais ?
Questão 4.
(a) O que você entende por transformações do espaço e do tempo e por princípio de
relatividade na mecânica clássica?
(b) E por transformações de espaço e tempo para dois referenciais?
Questão 5.
(a) O que são grandezas invariantes para dois referenciais inerciais? Dê dois exemplos no
caso da física clássica não relativística.
(b) O que são leis físicas covariantes para referenciais inerciais? Dê dois exemplos.
Questão 6.
Das grandezas: vetor posição, velocidade, massa, energia mecânica, força, aceleração,
energia potencial, energia cinética, quais dependem do particular observador inercial?
Justifique.
Questão 7.
Enuncie as três leis de Newton, explicando o significado de cada uma delas.
Questão 8.
(a) O que você entende por determinismo na mecânica clássica?
(b) Discuta como as leis de Newton são compatíveis com a id
Questão 9.
2
Mecânica I - lista tópico I
1 
 1
Um corpo de massa m é lançado do chão com velocidade v  v0 
i
j  onde i e um
2 
 2
versor na horizontal, no sentido da direita, e j um versor na vertical, no sentido para cima.
Despreze o efeito da resistência do ar.
(a) Escreva a velocidade de lançamento deste corpo para um observador O que se move,
v
em relação ao chão, com velocidade V  o i .
2
(b) Escreva a força sobre o corpo para o observador em repouso no chão e para o
observador O do item a.
(c) Determine o vetor posição do corpo para um observador em repouso em relação ao chão,
que toma o ponto de lançamento como origem, e para o observador O (do item a) que no
instante t = 0 tem a origem do seu sistema de referência no ponto de lançamento do
corpo.
(d) Faça um esboço da trajetória do corpo para o observador em repouso em relação ao
chão e para o observador O. Justifique seu esboço e desenhe em ele a velocidade inicial
e a velocidade no ponto mais alto da trajetória em relação ao chão.
Questão 10.
Dois blocos de massas diferentes estão conectados por
uma corda passando por uma polia (veja a figura ao lado).
A corda e a polia possuem massas desprezíveis. Se o
coeficiente de atrito cinético é k, qual é o ângulo  do
plano que permite que as massas se movam com
velocidade constante?
Questão 11.
Uma partícula de massa m, em repouso, sofre a ação de uma força constante F 0 durante um
intervalo de tempo t (não há força fora do intervalo de tempo t).
(a) Determine a posição x e a velocidade v da partícula durante e após a ação da força. Faça
os gráficos de x(t) e v(t) em função do tempo.
(b) Qual é a variação do momento linear no intervalo de tempo t?
Questão 12.
Um bloco de massa m desliza sobre uma
superfície na ausência de atrito, como
mostrado na figura ao lado. O bloco é
liberado de uma altura h em relação ao
ponto A.
(a) Qual é a força que a superfície exerce
sobre o bloco no ponto A?
3
Mecânica I - lista tópico I
(b) Qual é a força que a superfície exerce sobre o bloco no ponto B?
(c) Qual é a velocidade que o bloco deixa a superfície no ponto B?
(d) Qual é a distância x, em relação ao ponto A, que o bloco atinge o chão (y=0) após deixar
o ponto B.
(e) Esquematize a energia potencial U(x) para o bloco. Indique a energia total no seu
esquema.
Questão 13.
Uma criança desliza um bloco de massa m = 2kg sobre um chão de cozinha engordurado (ou
seja, você pode desprezar o atrito). A velocidade inicial do bloco é de 4 m/s e o bloco atinge
uma mola, de constante K = 6 N/m. Qual é a máxima compressão da mola? Qual seria o
resultado se o bloco deslizasse sobre uma superfície rugosa com coeficiente de atrito
cinético k = 0.2?
Questão 14.
Um motorista de automóvel desce uma rampa 8% inclinada, freia e derrapa 30 m antes de
atingir um carro estacionado. Um advogado contrata um especialista, que mede o coeficiente
de atrito cinético entre os pneus e o asfalto e obtêm o valor k = 0.45. O advogado está
correto em acusar o motorista de exceder o limite de velocidade de 40 km/h? Explique.
Questão 15.
Uma partícula de massa m se move verticalmente sob ação da força da gravidade e de uma
força viscosa Fv ( v )  bv .
(a) Determine a velocidade em função do tempo
(b) Determine a posição da partícula em função do tempo.
m
e t pequeno .
(c) Discuta o movimento nos casos em que : t 
b
(d) Discuta o movimento no caso em que b  0 .
Questão 16.
Um corpo se move em um meio viscoso cuja força de atrito é proporcional a uma potência da
n
velocidade: F ( v )  b v . No instante inicial a velocidade é v0. Descreva o movimento
posterior nos casos em que n é par e impar.
Questão 17 (2.39 do M&T).
Um barco de massa m e velocidade inicial v0 é freado por uma força de atrito F ( v )  bev
onde  e b são constantes positivas.
(a) Determinar o movimento do barco (ou seja escreva a equação de movimento e resolva-a
para achar x(t)).
(b) Determine o tempo e a distância requerida até o barco parar.
Questão 18 (9 do Cap. 2 do S).
4
Mecânica I - lista tópico I
Um cabo de guerra é seguro por dois grupos de cindo homens cada um. Cada homem pesa
70kg e pode puxar o cabo inicialmente com uma força de 100N. Inicialmente os dois grupos
estão compensados, mas quando os homens cansam, a força com que cada um puxa o cabo
decresce de acordo com a relação F( t )  ( 100 N )e t  , onde o tempo médio para atingir o
cansaço é de 10s para um grupo e 20s para o outro. Determine o movimento. Suponha que
nenhum dos homens solte o cabo. Qual a velocidade final dos dois times? Qual das
suposições é responsável por este resultado não razoável?
Questão 19. (10 do Cap.2 do S)
Uma partícula inicialmente em repouso é sujeita a partir do instante t = 0 a uma força
F ( t )  Foe  t cost  
(a) Encontre o seu movimento.
(b) Como dependerá a velocidade final de  e de ? (Sugestão: A álgebra se simplifica se
cos(t+) for escrito em termos de funções exponenciais complexas).
Questão 20.
Uma partícula de massa m = 1kg está sujeita a uma força unidimensional F ( t )  k t e t ,
onde k  1 N / s e   0.5 s 1 . Se a partícula está inicialmente em repouso, calcule e
grafique, com o auxílio de um computador, a posição, a velocidade e a aceleração da
partícula em função do tempo.
Questão 21.
Diga quais da seguintes forças são conversativas e determine a energia potencial para as
que o forem:
(a) Fx  6 abz 3 y  20bx 3 y 2
F y  6 abz 3 x  10bx 4 y
(b) Fx  18 abz 3 y  20bx 3 y 2 Fy  18 abz 3 x  10bx 4 y

(c) F  Fx x x̂  Fy  y  ŷ  Fz z ẑ
Fz  18 abxyz 2
Fz  6 abxyz 2
Questão 22.
Determine a energia potencial de cada uma das seguintes forças, no caso das conservativas:
(a) Fx  axe R
F  bye  R
Fz  cze  R onde R  ax 2  by 2  cz 2

    y
(b) F  Af A  r onde A é um vetor constante e f s  é qualquer função apropriada de
 
s  A r
 

 
(c) F  r  A f A  r
Questão 23.
1
1
Considere uma partícula de massa m, sujeita a uma força externa: F ( x )   2  3 .
x
x
(a) Determine a energia potencial U(x) e esboce seu gráfico.
(b) Descubra se há pontos de equilíbrio da partícula – Quais são esses pontos e qual o
respectivo valor da energia.





5
Mecânica I - lista tópico I
(c) Discuta quais são os intervalos de energia em que a partícula pode ter movimento
oscilatório, livre ou nenhum movimento
(d) Quais são os pontos de retorno do movimento?
(e) Determine o período do movimento oscilatório, e em particular o movimento de pequenas
oscilações.
Questão 24. (22do Cap. 2 do S)
Uma partícula  é mantida num núcleo
atômico pelo potencial mostrado na figura ao
lado. (a)Descreva os possíveis movimentos.
(b)Escreva analiticamente uma função V(x)
que tenha essa forma geral, tendo os
valores –V0 em x=0 e V1 em x=x1, e (c)
calcule a força correspondente.
Questão 25.(23 do Cap. 2 do S)
a
.
x3
(a) Encontre o potencial V(x). Descreva a natureza das soluções e encontre a solução x(t).
Uma partícula está sujeita a uma força F ( x )  kx 
(b) Você pode dar uma interpretação do movimento quando E 2>>ka?
Questão 26.
Duas partículas de massa m1 e m2 movem-se ao longo de uma reta. A energia potencial de
k
interação mutua é V x1 , x2  
, com x1 e x2 sendo as abcissas das partículas e k
x1  x2 2
uma constante positiva. Determine x1(t) e x2(t) sabendo que
x1 t  0   x0
x2 t  0   0
x1 t  0   0
x2 t  0   0
Questão 27.(27 do Cap. 2 do S)
Uma partícula de massa m se move num poço de potencial dado por V  x   
Vo a 2 a 2  x 2 
8a 4  x 4 
(a, Vo constantes > 0).
(a) Faça um esboço de V(x) e F(x).
(b) Discuta qualitativamente os possíveis movimentos de uma partícula sujeita a este poço
de potencial.
(c) Calcule a freqüência para o movimento de pequenas oscilações em torno do(s) ponto(s)
de equilíbrio estável(eis).
(d) Uma partícula começa a se mover a uma grande distância do poço de potencial com
velocidade v0, em direção a ele. Ao passar pelo ponto x = a sofre uma colisão na qual
perde uma fração  de energia cinética. Calcule:
(d1) o valor mínimo de  para que a partícula fique presa no poço.
6
Mecânica I - lista tópico I
(d2) o valor mínimo de  para que fique presa em um lado do poço.
(d3) Calcule os pontos de retorno supondo  = 1.
Questão 28.
Um pêndulo balístico usado para medir a velocidade
de uma bala é construído
suspendendo-se um bloco de madeira de massa M por uma corda de comprimento l. O
pêndulo encontra-se inicialmente em repouso na vertical. Uma bala de massa m é
disparada de encontro ao bloco e se incrusta nele. O pêndulo começa a balançar é se eleva
ate que a corda faça uma ângulo máximo  com a vertical. Determine a velocidade inicial da
bala em termos de M, m, l e , aplicando as leis de conservação apropriadas .
Questão 29.
Um foguete é lançado verticalmente, com massa inicial de valor m0. A velocidade de ejeção
dm
dos gases (relativa ao foguete) é constante e igual a u e a razão de ejeção da massa
é
dt
constante. Depois que uma massa m foi ejetada do foguete, ele fica sem combustível.
Desprezando a resistência do ar e considerando constante a aceleração da gravidade,
determine as equações de movimento do foguete. Mostre que se m 0, u e m são fixos,
dm
quanto maior
, maior será a altura alcançada pelo foguete.
dt
Questão 30.
Um foguete, lançado verticamente da superfície da Terra, tem massa total inicial m0 e massa
de combustível mc. O impulso do motor do foguete é F0 e a velocidade de exaustão dos
gases é . Deduza, em função dos parâmetros dados e da aceleração da gravidade g
(admitida constante) , os seguintes ítens:
(a) A expressão da velocidade do foguete no instante em que o combustível termina.
(b) A altura atingida pelo foguete no mesmo instante.
(c) A altura máxima atingida pelo foguete
Questão 31.
Um foguete de dois estágios foi construído com capacidade para acelerar uma carga de
100 kg. Até uma velocidade de 6000m/s em vôo livre no espaço livre (sem força
gravitacional). (Num foguete de dois estágios, o primeiro é abandonado quando acaba o
combustível, mais antes que o segundo estagio seja ligado). Suponha que o combustível
usado possa atingir uma velocidade de exaustão de 1500m/s e que a estrutura do foguete
implica que o seu peso vazio (sem combustível ou carga ) pesara 10% a mais de que o
combustível que ele pode carregar. Determine a melhor escolha para as massa dos dois
estágios, de forma que o peso total no lançamento seja mínimo. Mostre que é impossível se
construir um foguete de um estagio que possa realizar este trabalho.
Questão 32.
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Mecânica I - lista tópico I
Um lançador de projeteis desenvolvido no ano 2013, pode lançar projeteis esféricos de
104Kg com uma velocidade inicial de 6.000m/s. Para testes os objetos são lançados
verticalmente.
(a) Desprezar a resistência do ar e assumir uma aceleração da gravidade constante .
Determinar a altura máxima que pode alcançar o projetil.
(b) Se o objeto têm um raio de 20cm e a resistência do ar é proporcional ao quadrado da
velocidade do objeto com cw = 0.2, determinar a altura máxima atingida. Considere que
densidade do ar é constante.
(c) Considere a variação da aceleração da gravidade com a altura e encontre novamente a
altura máxima.
(d) Considere que a densidade do ar diminui com à altura. Podemos representar a
densidade do ar por log 10 (  )  0 ,05h  0 ,11 , onde  e a densidade em kg/m2 e h a altura
em km. Determinar a altura máxima que o objeto pode atingir .
Questão 33.(2.50 do M&T)
Uma gota de água caindo na atmosfera é de forma esférica. Quando a gota passa através de
uma nuvem ela adquire massa numa razão proporcional à sua seção reta. Considere uma
gota de raio inicial r0, entrando na nuvem com velocidade v0. Supondo que não há força
resistiva mostre que:
(a) O raio cresce linearmente com o tempo.
(b) Se r0 é desprezível, então a velocidade aumenta linearmente com o tempo dentro da
nuvem.
(c) Encontre a velocidade da gota no ponto no qual sua massa duplicou.
Questão 34.
Considere um projétil atirado da origem de um sistema de coordenadas (considere g
constante). Mostre diretamente que a taxa de variação temporal do momento angular em
relação à origem é igual ao momento da força (ou torque) em relação a origem.
Questão 34. (2.22 do M&T)
O movimento de uma partícula carregada num campo eletromagnético pode ser obtido a
partir da força de Lorentz que atua sobre ela. Se o campo elétrico e magnético são dados


respectivamente pelos vetores E e B , a força sobre uma partícula de massa m e carga q

que tem a velocidade v é dada por :


 
F  qE  qv  B
sendo v<<c (c é a velocidade da luz).
(a) Se há um campo elétrico e se a partícula entra no campo magnético (de módulo
constante) na direção perpendicularmente às linhas do fluxo magnético, mostre que
a trajetória é uma circunferência de raio r dado por:
8
Mecânica I - lista tópico I
r
mv
v

qB wc
qB
é chamada de a freqüência ciclotron.
m



(b) Escolha B na direção do eizo z e defina o plano E e B como o plano (y,z) de forma que:





e
E  E y j  Ez k
B  Bk
onde wc 
(Mostre que a componente z do movimento é dado pela relação:
qE z 2
t
2m
z (t )  z0 (t ) 
onde z(0) = z0 e z(0)  z0 .
(c) Obtenha as expressões para as componentes x e y da velocidade x (t ) e y (t ) .
Mostre que a média temporal dessas componentes de velocidade são:
Ey
,
 x 
 z  0
B
(Mostre que o movimento é periódico e então faça a média num período)
(d) Mostre que nas condições iniciais:
x ( 0) 
E
A
, x (0) 
B
wc
, y (0)  0
valem as equações:
x(t ) 
Ey
A
cos wc t 
t
wc
B
e
y (t ) 
A
sen wc t
wc
9
e
y (0)  A