Distribuição Normal - Professor Ubiratan

ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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Variáveis
1) Variáveis discretas – São aquelas que caracterizam valores
que podem ser contados.
Ex.: Número de pessoas que acessam um caixa
eletrônico em uma determinada data e horário.
Exemplos de distribuição de probabilidades discretas
 Binomial
 Poisson
 Hipergeométrica
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2) Variáveis contínuas – São aquelas que caracterizam um
processo de medição, podendo assumir qualquer valor num
intervalo contínuo.
Ex.: Temperatura de uma peça
Exemplos de distribuição de probabilidades contínuas
 Normal
 Uniforme
 Exponencial
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Também chamada de distribuição de Gauss.
É a distribuição contínua mais utilizada no estudo da
estatística. Sua utilização se deve ao fato da maioria das
variáveis serem poderem ser caracterizadas por sua
distribuição e por poder ser utilizada para fazer aproximações
para várias distribuições de probabilidades discretas.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Propriedades:
1. Simétrica
2. Apresenta um formato de sino
3. Sua amplitude é infinita
4. Suas medidas de tendência central são coincidentes, ou
seja, média, mediana e moda
5. É fortemente caracterizada por sua média μ e seu desvio
padrão σ
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Variando-se a média e o desvio padrão, obtém-se diferentes
distribuições normais.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A variação da média μ desloca a distribuição para a
direita ou para a esquerda.
A variação do desvio padrão σ altera a amplitude da
distribuição.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL
1
f(X) 
e
2π σ
1  (X μ) 
 

2 σ 
2
Onde X é qualquer valor no intervalo contínuo de −∞ a ∞.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
O cálculo da probabilidade é feito através da área sob a
curva da distribuição até o valor de X.
Pela utilização da fórmula, o cálculo é feito através de
uma integral definida desde −∞ até X
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A probabilidade de qualquer valor individual é zero.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Etapas para cálculo da probabilidade normal:
1) Transformar a variável aleatória (X) em variável aleatória
normal padronizada, ou seja, calcular a diferença (Z) entre
o valor de X e a média aritmética μ, expressando o valor em
unidades de desvio padrão σ.
X−μ
Z=
σ
Z terá sempre μ = 0 e σ = 1
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Ex.:
Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e
desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Ex.:
Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e
desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.
X  μ 200  100
Z

 2,0
σ
50
O resultado significa que X = 200 está 2,0 desvios-padrão (2,0
incrementos de 50 unidades) acima da média 100
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Função Densidade de Probabilidade Normal Padronizada:
1
f(Z) 
e
2π 
Z2

2
Onde Z é qualquer valor na distribuição normal padronizada
(valores acima da média são positivos e valores abaixo da média
são negativos
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A área total sob a curva é 1, com metade desse valor acima da
média e metade abaixo.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Tabela de distribuição normal padronizada
A tabela irá fornecer a probabilidade de ocorrência do valor de
Z, desde −∞ até Z, isto é, a área sob a curva desde −∞ até Z.
Ex.: Calcular P(Z < 2).
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EXERCÍCIOS:
1) Considere uma distribuição normal padronizada, com média
aritmética igual a zero e desvio-padrão igual a um.
 Qual é a probabilidade de que Z seja menor que 1,59?
 Qual é a probabilidade de que Z seja maior que 1,68?
 Qual é a probabilidade de que Z esteja entre 1,59 e 1,68?
 Qual é a probabilidade de que Z esteja entre -1,59 e 1,68?
 Entre que dois valores de Z (simetricamente distribuídos em
torno da média aritmética) estarão contidos 68,26% de todos
os valores possíveis de Z?
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2) Considere uma distribuição normal padronizada. Qual é o
valor de Z para uma probabilidade:
 menor que 95%?
 maior que 90%?
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
3) Em um curso de Estatística, um conjunto de notas de provas finais foi
considerado como normalmente distribuído, com uma média igual a 6,7 e
um desvio-padrão igual a 1,8.

Qual é a probabilidade de se obter uma nota maior do que 7,4 nessas
provas?

Qual é a probabilidade de se obter uma nota igual ou menor do que 9,0?

Que percentagem de alunos tirou entre 5,3 e 8,9?

Apenas 5% dos alunos que fizeram essas provas obtiveram pontuação
mais alta de que nota?
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
4) Considere uma distribuição normal, com média igual a 85 e
desvio-padrão igual a 17. Qual é o valor de X para uma
probabilidade:
 menor que 99%?
 maior que 80%?
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
5) Os salários dos gerentes de bancos se distribuem
normalmente, com média de $ 14.500 e desvio-padrão
de $ 2.100. Qual é a percentagem de gerentes que
recebem:


menos de $ 12.350?
entre $ 13.400 e $ 16.570?