Revisão sobre a distribuição normal

Distribuição Normal
É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros
fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. É Também conhecida como
distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.
Características
1) Valores da variável aleatória x mais próximos da média ocorrem com maior freqüência;
2) Valores da variável aleatória x simétricos em relação à média ocorrem com mesma
freqüência;
3) A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo x tem área unitária.
4) Sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:
2
f(x)
5) A média é dada por

1
 2
1  x  
 

e 2   ;  x 
e a variância por
d
 2 ( x )   2 , ou seja, X  N ( ;  2 ) .
x .
7) Os pontos de inflexão são x     e x     .
8) A curva é simétrica em relação a  .
6) O máximo de f(x) é o ponto
Cálculo de Probabilidades
A probabilidade de
p( a  x  b ) é igual a área sob a curva definida pelo intervalo  a ; b  .
No entanto, o cálculo desta área é bastante complicado.
Para superar tal dificuldade, utilizaremos a distribuição normal padrão Z, com média
0 e
( z )  1 . A transformação da distribuição normal X com média  e desvio padrão  em uma
distribuição normal Z é feita através da fórmula:
z
x

Pode-se mostrar que a distribuição normal Z possui média 0 e variância 1. De fato,
1
1
 x  1
E(z)  E
  E(x  )  E(x)    (  )  0 e ainda


   
1
 x  1 2
 2 ( z)   2 
 ( x )   2 () 
 2  1 .

2
2


 



A função densidade de probabilidade da distribuição normal Z é dada por:
2
1  z2
f ( z) 
e
,z
2
Exercícios
1) Se a variável x admite distribuição normal com média 30 e desvio-padrão 3, calcule:
a)
P(30  x  36)
b)
P ( x  38)
c) P (32
 x  35)
2) Sabendo-se que
p ( z  a )  0,3 , determine o valor de a.
3) Sabendo-se que
p ( z  a )  0,9 , determine o valor de a.
d) P ( x
 26)
e)
p ( x  30)
4) As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60m
e desvio-padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
a) entre 1,50 e 1,80m;
b) mais de 1,75m;
c) menos de 1,48m.
Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos?
5) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio-padrão 45
dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:
a) entre 700 e 1000 dias;
b) mais que 800 dias;
c) menos que 750 dias.
d)exatamente 1000 dias.
Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos
componentes?
6) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3kg e desvio-padrão
5,5kg. Encontre o número de alunos que pesam:
a) entre 60 e 70kg;
b) mais que 63,2kg.
7) Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desviopadrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados
recebem a nota F. Encontre o mínimo para receber A e mínimo para passar, não receber F.
8) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou
que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48000 km e desvio-padrão 2000km.
Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a) dure mais que 46000km;
b) dure entre 45000 e 50000km.
9) X é uma variável aleatória contínua, tal que X = N(12;25). Qual a probabilidade de uma
observação ao acaso:
a) ser menor do que -3;
b) cair entre -1 e 15.
10) Um fabricante de baterias sabe, por experiência passada, que as baterias de sua fabricação
têm vida média de 600 dias e desvio-padrão de 100 dias, sendo que a duração tem
aproximadamente distribuição normal. Oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca as
baterias que apresentam falhas nesse período. Fabrica 10000 baterias mensalmente. Quantas
deverá trocar pelo uso da garantia, mensalmente?
11) Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com
média de 150000km e desvio-padrão de 5000km. Qual a probabilidade de que um carro,
escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure:
a) Menos de 170000 km?
b) Entre 140000 km e 165000km?
12) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média
300 h e desvio-padrão 20 h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 h para
uma das unidades, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?
13) Uma variável aleatória x distribui-se normalmente com média 80 e variância 9. Calcule o
intervalo central que contém :
a) 50% dos valores da variável
b) 90% dos valores da variável
c) 68,268% dos valores da variável
14)Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostraram que o lucro realizado
distribui-se normalmente com média 48000 u.m. e desvio-padrão 8000 u.m.. Qual a
probabilidade de que:
a) Na próxima semana o lucro seja maior que 50000 u.m.?
b) Na próxima semana o lucro esteja entre 40000 u.m. e 45000 u.m.?
15) O departamento de marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais
eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam
normalmente com média 240000 u.m. e desvio-padrão 30000 u.m.. Qual o volume de vendas
mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado?
16) Uma máquina produz um tubo de plástico rígido cujo diâmetro admite distribuição normal
de probabilidades, com média 100 mm e desvio-padrão 0,5 mm. Os tubos com diâmetro menor
que 98,2 mm ou maior que 100,6 mm são considerados defeituosos, e devem ser reciclados.
Qual a proporção da produção que deverá ser reciclada?
17)
Uma
variável
p ( x  60)  0,05
e
aleatória
x
com
distribuição
normal
de
p ( x  45)  0,15 . Caracterize esta distribuição.
probabilidades
apresenta