Distribuição Normal

DistribuiçãoNormal
1
ExploraçãodeDadosUnivariados
• 
• 
• 
• 
Façasempreumgráficodeseusdados
ü Emgeral,ramo-e-folhasouumhistograma
Procureumpadrãoglobaledesviosacentuados
ü Outliers
Calcule um resumo numérico para descrever
medidasdeposiçãoededispersão
Àsvezes,opadrãoglobaldeumgrandenúmerode
observações é tão regular que pode ser descrito
porumacurvasuave
2
Histograma+CurvadeDensidade
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
• 
Curvadescrevetodaadistribuiçãoemumaúnicaexpressão
ü Maisfácilparatrabalhar
A curva é um modelo matemáIco (Área sob a curva é
exatamente1)
ü descriçãomatemáIcaidealizada
Densidade
• 
−2
0
2
4
Dados
3
CurvadeDensidade
• 
• 
A curva é denominada função densidade de
probabilidade
Propriedades:
ü Está sempre sobre ou acima do eixo horizontal
(zero)
ü Temáreaexatamenteiguala1entreelaeoeixo
horizontal(zero)
4
Probabilidadeentredoispontos
•  Aprobabilidadeentre2pontoséigualàáreasoba
curva,entreosdoispontos
P{5 ≤ X ≤ 8}
5
CurvasNormais
• 
• 
Éumaclasseimportantedecurvasdedensidade
CaracterísIcas:
ü Sãosimétricas,unimodaisetemformadesino
ü Descrevemdistribuiçõesnormais(gaussianas)
6
FunçãodeDensidadedaNormal
ü Ográficotemoformatodesino
ü Parâmetrosdadistribuiçãonormal:
ü Média(µ)
ü Desvio-padrão(σ)ouvariância(σ2)
f(x)
Densidade da distribuição Normal
µ
x
7
CaracterísGcas
ü Simétricaemtornodamédia(µ)
ü áreaantesdeµ=áreadepoisdeµ=0,5
ü média=mediana=moda
ü Varianosreais
ü Parâmetrodelocação:µ
ü Parâmetrodeescala:σ(σ2)
8
ExemplosdeGráficosdaNormal
N(0,1)
N(3,1)
N(14,0.25)
N(14,4)
0.4
0.2
0.0
f(x)
0.6
0.8
N(µ,σ2)
0
5
10
15
20
x
9
MedidasdeIncerteza
• 
Áreasdeintervalos
ü µ±σ≈68%
ü µ±2σ≈95%
ü µ±3σ≈99,7%
10
DistribuiçãoNormalPadrão
0.1
0.2
0.3
0.4
Densidade da distribuição Normal
0.0
• 
Z~N(0,1)
ü Média(µ)=0
ü Desvio-padrão(σ)=1
Valoresdeáreatabelados
f(x)
• 
−4
−2
0
x
2
4
11
TabeladaNormal
12
DistribuiçãoNormal–CálculodeProbabilidades
• 
SejaavariávelaleatóriaZ~N(0,1)
ü CalculeP{Z<–1,96}
ü Roteiro:
ü Esboceacurvanormal
ü Traceumalinhaparaz=–1,96
ü Verifiqueaáreaquesedesejacalcular
ü DetermineaáreaaparGrdatabela
13
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
ü ÁreasobacurvaparaZ<–1,96:
14
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
0.2
0.1
0.025
0.0
Densidade
0.3
0.4
ü P{Z<–1,96}=0,0250
−1.96
0.00
x
15
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
0.2
Densidade
0.3
0.4
CalculeP{–1,96<Z<1,96}
0.1
0.95
0.0
P{–1,96<Z<1,96}=0,9750–0,0250=0,9500
−1.96
0.00
1.96
x
16
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
• 
ÁreasobacurvaparaZ<1,96
17
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
CalculeP{Z>1,96}
0.4
• 
0.2
0.1
0.025
0.0
Densidade
1 – 0,9750 =
0,0250
0.3
Tabela:
P{Z<1,96} =
0,9750
0.00
1.96
x
18
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
• 
Probabilidadeemalgunsintervalos
Intervalo
–1<Z<1
–2<Z<2
–3<Z<3
Probabilidade
19
CálculodeProbabilidadepelatabeladaNormalPadrão
Determinarx,talqueP{Z>x}=0,05
Tabela: Valor mais próximo de P{Z<x} = 0,9500
0.2
0.1
Densidade
0.3
0.4
• 
ü  P{Z<1,65}=0,9505
0.0
0.05
ü  P{Z<1,64}=0,9495
0.000
1.645
x
20
IntervalosSimétricosemTornodeZero
Probabilidade
90%
95%
99%
Intervalo
21
OutrasDistribuiçõesNormais
• 
• 
• 
CasoGeral:
ü Média:µ
ü Desvio-padrão:σ
Transformação:
Mesmos procedimentos após transformação
(tabelaNormalPadrão)
22
ConversãonaNormalPadrão
P{µ<X<x}=P{0<Z<z}
Z
X
• 
23
Exemplo
• 
Asalturasdemulherescom18a24anosdeidadeé
aproximadamente normal com média 164 cm e
desvio-padrão6,4cm.
X:alturademulheresentre18e24anos(cm)
X~N(164,6.4)
24
Exemplo(2)
ü Encontre a proporção de mulheres com altura
inferiora172cm
µ = 164
Densidade
σ = 6.4
164
172
Altura (cm)
25
Exemplo(3)
ü Padronização
x−µ
σ
172 −164
=
= 1, 25
6, 4
z=
ü Pelatabela
P{Z<1,25}=0,8944
P{X<172}=0,8944=89,44%
ü Qual o valor de altura que delimita 5% das mulheres
maisaltas?
X = µ + Zσ = 164 +1, 645(6, 4) = 174, 5cm
26
AplicaçõesdaDistribuiçãoNormal
• 
• 
Usadacomoummodeloparaestudarumagrande
variedadedevariáveis
ü O b j e I v o : r e s p o n d e r q u e s t õ e s s o b r e
probabilidadesrelacionadasaessasvariáveis
Exemplos:
ü Alturahumana
ü Inteligência
27
0.10
DistribuiçãoNormaldeAltura,porSexo
0.06
0.04
0.02
0.00
Densidade
0.08
Mulheres
Homens
140
150
160
170
180
Altura (cm)
28