Princípio de Resolução

Resolução
Aron Sebastian
André Sousa
Vivian Maria
Márcio André
Resolução
Princípio da Resolução
•A resolução na lógica de primeira ordem
•Exemplos
•
Princípio da Resolução
O princípio da resolução é uma regra de
inferência que dá origem a uma técnica de
demonstração por refutação para sentenças e
inferências da lógica proposicional e da lógica de
primeira ordem.
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os
silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única
regra. Para entender como a resolução funciona,
considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica
aristotélica: Todos os gregos são europeus.
Homero é grego.
Então, Homero é europeu.
Ou de maneira mais geral:
X.(P(X) implica Q(X)).
P(a).
Então, Q(a).
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução,
primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma
normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações
se tornam implícitas: quantificadores universais em
variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando
subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores
existenciais são substituídas por funções de Skolem.
¬P(X) V Q(X)
P(a)
Então, Q(a)
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
Então a questão é, como a técnica de resolução
deriva a ultima cláusula a partir das duas
primeiras? A regra é simples:
Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado,
onde uma cláusula é negada e a outra não.
•
Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a
unificação falhar, então você fez uma má escolha de
predicados. Volte para o passo anterior e tente
novamente.)
•
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi
ligada nos predicados unificados também ocorre em
outros predicados nas duas cláusulas, então substitua
pelos seus respectivos termos ligados.
•
Descarte os predicados unificados, e combine o restante
das duas cláusulas em uma nova cláusula.
•
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós
encontramos o predicado ‘P’ na forma negada na
primeira cláusula:
¬P(X)
E em forma não negada na segunda cláusula: P(a)
X é uma variável livre, enquanto a é um átomo.
Unificando os dois obtemos a substituição:
= [(a,X)]
Descartando os predicados unificados, e aplicando a
substituição dos predicados restantes (apenas Q(X),
nesse caso), obtemos a conclusão: Q(a)
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
Para um outro exemplo, considere a forma
silogística:
Todos os políticos são corruptos.
Todos os corruptos são mentirosos.
Então todos os políticos são mentirosos.
Ou de maneira mais geral:
X P(X) implica Q(X)
X Q(X) implica R(X)
Então, X P(X) implica R(X)
A Resolução na Lógica de
Primeira Ordem
Na FNC (Forma Normal Conjuntiva):
¬P(X) V Q(X)
¬Q(Y) V R(Y)
(Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada pra deixar claro que variáveis
em cláusulas diferentes são distintas)
Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na
segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma
variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas
restantes e combinando-as, temos a conclusão:
¬P(X) V R(X)
Exemplos de Resolução






Toda pessoa é sábia ou tucana.
Zé não é tucano. Zé é sábio?
U=pessoas
I[q(x)]=T sse x é sábio
I[p(x)]=T sse x é tucana
I[a]=Zé
Exemplos de Resolução
Cont.



Toda pessoa é sábia ou tucana.
Zé não é tucano. Zé é sábio?
(x)(p(x)v q(x))^ p(a)q(a)
Exemplos de Resolução
Cont.






Por refutação:
((x)(p(x)v q(x))^ p(a)q(a))
(((x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a))
(x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a))
(x)(p(x)v q(x))^ p(a)) ^ q(a))
{[p(x),q(x)], [p(a)], [q(a)]}
Exemplos de Resolução
Cont.






Agora, é só fazer a expansão por
resolução!
1. [p(x),q(x)]
2. [p(a)]
3. [q(a)]
4. [q(a)]
Res(1,2), O1={xa}
5. {}
Res(3,4), O2={xa}
Exemplos de Resolução


Tonha gosta de quem não se valoriza.
Não existe ninguém que se valorize e
que Tonha goste?
Exemplos de Resolução
Cont.



v(x) = x se valoriza
g(x,y) = x gosta de y
a = Tonha (Antônia)
Exemplos de Resolução
Cont.
(x)(v(x)^g(a,x))(y)(v(y)^g(a,y))
(x)(v(x)^g(a,x))(y)(v(y)^g(a,y))
((x)(v(x)^g(a,x)) v (y)(v(y)^g(a,y)))
(x)(v(x)^g(a,x)) ^ (y)(v(y)^g(a,y)))
Conclusões

Dada uma fórmula da lógica de predicados H



H é tautologia D EXISTE uma Expansão por
resolução associada a Hc (forma clausal de H) que
é fechada
H é contraditória (insatisfatível) DH é tautologia
D EXSTE uma Expansão por resolução associada a
Hc (forma clausal de H) que é fechada
H é refutável D TODA Expansão por resolução
associada a Hc (forma clausal de H) é aberta