Trabalho realizado pela força de atrito
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ENERGIA Energia Trabalho de uma força constante Energia cinética Trabalho e energia cinética Trabalho de uma força constante (graficamente) Trabalho de uma força variável Teorema do trabalho e da energia cinética Energia potencial Conservação da energia mecânica Energia potencial elástica Forças conservativas e forças não- conservativas Potência 1 ENERGIA As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton. vi 0 vf ? 2 ENERGIA Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos problemas inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que na física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton é relevante também na mecânica quântica, relatividade , eletromagnetismo, etc. 3 ENERGIA Importância do conceito de energia • • • • Processos geológicos Balanço energético no planeta Terra Reações químicas Funções biológicas (máquinas nanoscópicas) energia armazenada e energia libertada • Balanço energético no corpo humano Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de sistema é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema 4 TRABALHO Quando empurramos uma caixa ela se desloca nós realizamos um trabalho sobre a caixa a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse F W Fd d Trabalho realizado por uma força constante F m d W ( F cos )d O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é x W F d Fd cos O trabalho é uma grandeza escalar A unidade de trabalho no SI é o joule (J) 5 Exemplo 1: Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento forem 0º, 60º, 90º, 135º, 180º. W F d Fd cos W 12 N 7 m cos0 o 84 J W 12 N 7 m cos60 o 42 J W 12 N 7 m cos90 o 0 J W 12 N 7 m cos135o 42 2 J W 12 N 7 m cos180 o 84 J 6 ENERGIA CINÉTICA A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma velocidade escalar v é 1 K m v2 2 v A energia cinética é uma grandeza escalar A unidade da energia cinética no SI é o joule (J) 7 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA v0 F m d Da segunda lei de Newton v x v v 2a x d 2 2 0 1 m (v 2 v02 ) Fx d 2 Fx ma x ax Fx m Fx v v 2 d m 2 2 0 1 1 m v 2 mv 02 Fx d 2 2 O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo “Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia 8 Exemplo 2: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na superfície da Terra v Fg v0 Fg d Se o corpo se eleva duma altura d : W Fg d Fg d cos W mgd cos mgd cos 180 mgd 0 o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia mgd da energia cinética do objeto durante a subida. 9 Exemplo 3: Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura? W (10.2 kg) ( 9.8 m/s 2 ) (1.0 m ) 100 J Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso? (vi 0) 1 1 1 1 2 2 2 K m v f mv i m v f 0 m v 2f W 2 2 2 2 2W vf m 2 100 J 4.4 m/s 10.2 kg 10 Exemplo 4: Trabalho de forças constantes considerando o atrito Modelo para resolver o problema: N F1 fa mg Trabalho realizado pelos carregadores: d Wc Fd Trabalho realizado pela força de atrito: Wa f a d c mgd Se o carrinho se desloca com velocidade constante: K 0 e força resultante é nula, pois não há aceleração: F F f 1 a 0 ( isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: Wc Wa 0 ) 11 TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE W Fx onde F x F x x x0 W x0 x O trabalho é a área sob a curva da força F 12 TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL (1-D) Considere F F (x) a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m. Dividimos o intervalo (x2-x1) em um número muito grande de pequenos intervalos xi . Então: W F ( xi )xi i No limite de N e F x x i i i x 0 : x2 F ( x)dx x1 x2 e W F ( x)dx x1 O trabalho é a área sob a curva da força F(x) 13 TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável Seja F F (x) a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m x2 W F ( x)dx x1 Integrando entre o estado inicial e o estado final xf xf xf xf xf 2 vf dv v W F ( x)dx madx m adx m dx m vdv m dt 2 xi xi xi xi xi 1 m(v 2f vi2 ) W K 2 esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema 14 vi ENERGIA POTENCIAL Muitas vezes o trabalho executado por uma força aplicada a um corpo não leva a um aumento da energia cinética do corpo Porque existem outras forças que podem executar um trabalho negativo de mesmo valor 15 Por exemplo Supomos um corpo que é puxado lentamente para cima, por uma força sobre um plano inclinado, com velocidade constante. Não considere o atrito. Fap 16 Forças que atuam sobre o bloco: mg O peso: Fap A normal: N A força aplicada: Fap mg N v constante Análise das forças na direção do eixo x Fap v mg sin F x 0 Fap mg sin 0 Fap mg sin 17 Fap v mg sin Fap mg sin O trabalho realizado pela força aplicada, quando desloca o corpo ao longo da distância s é: W Fap s Fap s cos Fap s cos 0 W Fap s W (mg sin ) s W (mg )( s sin ) h s W mgh Não há aumento de energia cinética porque a velocidade é constante e Wpeso mgh Se soltarmos o bloco, transformamos o trabalho da força aplicada em energia cinética. E nesse caso o trabalho do peso é positivo e igual a mgh Podemos utilizar a atração gravitacional da Terra sobre o bloco para armazenar o trabalho realizado, que posteriormente pode ser utilizado para imprimir ao bloco energia cinética Dizemos então que o bloco que se encontra numa altura h tem um energia potencial mgh em relação à posição inicial 18 Na verdade o conceito mais geral de energia potencial se aplica a um sistema de partículas que interagem entre si: Duas esferas exercem forças gravitacionais de atração entre si : F F Se aplicarmos uma força externa sobre cada uma delas tal que Fap F separamos as duas esferas com aceleração nula, e executamos um trabalho sobre o sistema Fap F F Fap Recuperamos esse trabalho se largarmos as duas esferas elas serão aceleradas uma para a outra e as suas respetivas energias cinéticas aumentam F F O trabalho executado aumenta a energia cinética e diminui a energia potencial. 19 Se uma das esferas for muito maior do que a outra, como é o caso da Terra e uma laranja, por exemplo, desprezamos o movimento da Terra. Podemos separar esse par de corpos levantando a laranja e libertamos o par deixando cair a laranja Superfície da Terra Vemos que a descrição em que associamos a energia potencial a uma só partícula é uma simplificação A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros F2 F2 F1 F1 F3 F3 Se a configuração mudar, a energia potencial também pode mudar 20 FUNÇÃO ENERGIA POTENCIAL, U (DEFINIÇÃO PARA1D) VARIAÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL: x U x0 x U x U x0 W F ( x)dx x0 Normalmente consideramos x0 como uma configuração de referência fixa x U ( x ) U ( x0 ) F ( x )dx x0 dU F dx É importante observar que é preciso que a força seja uma função apenas da posição (configuração). Não se pode definir U(x) em outros casos por exemplo a força de atrito de um corpo e um fluido (que depende da velocidade como veremos em fluidos) Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Então, pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência: U x0 0 21 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por Supomos que m é a massa de um livro Tomando como referência para U, o ponto y0 0 U(0)=0 Calculamos y Fg Fg mg U y mgy U ( y) : y U ( y ) U ( y0 ) F ( y )dy y0 y U ( y) 0 (mg )dy mgy 0 U ( y ) mgy que é a energia gravitacional do livro em y potencial O trabalho da força da gravidade será W Fg d mg e y ye y mgy ey y0 0 solo O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J) 22 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Do teorema do trabalho e da energia cinética para uma força que só depende da posição: W K Como e U ( x f ) U xi W 1 1 2 m v f mvi2 W 2 2 1 2 1 2 U xi U x f mv f mvi 2 2 Emecânica 1 m v 2 U (x) constante 2 U ( xi ) U x f W podemos igualar as duas expressões 1 2 1 mvi U xi mv 2f U x f 2 2 a energia mecânica total não varia ! Emecânica K U g essa equação é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Emecânica K U g 24 Exemplo 6 : Conservação da energia mecânica E mec K U g 25 Exemplo 7 : Conservação da energia mecânica para um carro que desce um plano inclinado 26 Exemplo 8 : Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa, como indica a figura abaixo. Qual a velocidade do carrinho no ponto C? Não há atrito. Emecânica K U g 10 m/s A C Emecânica Emecânica 1 1 2 2 m v mgh mv A K U K U A C mghC 2 2 2 1 2 2 2 vC2 m v A mghA mghC v v 2ghA 2 ghC A C m2 A A g B C g vC v A 2 g (hA hC ) 2 vC 10 2 2 9.8(5 8) vC 100 58.8) 6.4 m/s 27 Exemplo 9: Conservação da energia mecânica para um pêndulo simples. 28 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA x U x0 x U x U x0 W F ( x)dx x0 U (0) 0 A configuração de referência é x0= 0 e Substituindo a força elástica F ( x) kx x U ( x) 0 (kx)dx 0 1 2 U ( x) kx 2 na integral x 1 2 U ( x) k xdx kx 2 0 é a energia potencial elástica 29 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA A energia mecânica para o sistema bloco-mola Emec 1 1 2 m v k x 2 constante 2 2 v 0 e x A E 1 2 kA 2 v vmax e x 0 E 1 2 mvmax 2 1 2 kA 2 1 2 v vmax e x 0 E mvmax 2 1 v 0 e x A E kA2 2 v 0 e x A E 30 FORÇA CONSERVATIVA Forças conservativas conservada forças para as quais a energia mecânica é O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajetória, depende apenas das configurações inicial e final uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero. Exemplos de forças conservativas • Força gravitacional • Força elástica • Força unidimensional que só dependa da posição: F(x) 31 Exemplo 10: Trabalho de forças conservativas. L B d A C Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito fechado A B C indicado: WA WB WC mgd mgL sin 0 mgd mgd 0 32 FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajetória Exemplo de força não-conservativas: Força de atrito. 33 Exemplo 11. A Força de atrito é uma força não conservativa. Watrito ( A B) Fatrito ds Fatrito LAB C Watr A B fatr ds f atr LAB C reta c mgd c mg d / 2 semi-círculo Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo 34 POTÊNCIA Em aplicações práticas, principalmente na engenharia de máquinas, é mais importante saber a rapidez com que um trabalho é feito do que a quantidade do trabalho realizado. Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como W P t A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero: P lim t 0 W dW t dt Unidade de P no SI: J/s = watt (W) A potência pode ser definida também como sendo a força multiplicada pela velocidade. Sabendo que W F dr dW dr P F dt dt o segundo termo é a velocidade e P F v 35 A unidade de potência cavalo-vapor (horsepower) Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão. A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W v = 1,0 m/s m ~ 76 kg Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência: Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW: 1 kWh (10 3 W)(3600 s) 3.6 10 6 J 36 Exemplo 12: 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995) Potência do corredor de 100 m rasos: 2,110 4 J P100 2100 W 10s Potência do corredor de maratona: 5,910 6 J Pmar 816 W 26060 s 37
