matriz apresentação

Matrizes
Definição
Mat
Fis
Qui
João
7,0
5,0
6,0
Maria
9,0
4,0
5,0
Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas
(horizontais ) e colunas (veticais)
 7 5 6

A  
 9 4 5
Matrizes
Classificação
Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas
 2  1


4 0 
Matriz Retangular : número de linhas é diferente do
números de colunas
4
1 2 0
Matrizes
Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por
aij, onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os
elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os
elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal
secundária.
Matrizes
Igualdade de Duas Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se
somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
Matrizes
Tipos de Matrizes
Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a
matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A
serão as colunas de At e vice-versa
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é
do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A
será o elemento aji de At .
Matrizes
Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus
elementos são iguais a zero.
0 0 0 
0

0 0 0 
Matrizes
Operações com Matrizes
Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que
elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo
número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij + bij
Exemplo:
Matrizes
Operações com Matrizes
Subtração: Para subtrairmos duas matrizes A e B basta
que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o
mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij – bij Exemplo:
Matrizes
Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como
sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado
por cada um dos elementos da matriz dada. Exemplo : Dada a
matriz A , calcule 3.A
Matrizes
Operações com Matrizes
Igualdade de matriz
Para igualarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do
mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a igualdade da matriz A, com matriz B se cada
elemento aij da matriz A ,for igual ao elemento
bij na
matriz B.
Exemplo: determine o valor de x , y e z tal que matriz A
seja igual matriz B
Matrizes
Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p,
chama-se produto da matriz A pela matriz B que se
indica C = A . B a matriz m x p definida por
Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o
número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p
respectivamente, então o produto C = A . B existe e é
uma matriz do tipo m x p,
Matrizes
Operações com Matrizes
Multiplicação de matriz por matriz
Procedimento : multiplica-se os elementos da linha ,
pelos elementos da coluna , somando esses produtos
Exemplo:
Dadas as matrizes
Matrizes
Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:
aij  i  2 j se i  j

bij  3i  j se i  j
 a11 a12
A
a21 a22
a13 

a23 
1  2.1 3.1  2 3.1  3  1 5 6
A



3.2  1 2  2.2 3.2  3  7  2 9
Matrizes
04.21. Quantas matrizes existem de
ordem 2 com elementos de números
naturais tais que:
Exercício Resolvido
6 5
X X 

5 8
t
Solução:
a b 
a c 
t
Chamaremos de X  
eX 


c d 
b d 
 a b   a c   6 5
Substituíndo temos 





 c d   b d  5 8 
 2a b  c  6 5
b  c 2d   5 8

 

Matrizes
04.21. Quantas matrizes existem de
ordem 2 com elementos de números
naturais tais que:
Solução:
2a = 6 a=3
2d = 8 d=4
b+c=5
Lembrando a análise combinatória
OOOOOO+
p
5 ,1
6
6!

6
5!1!
Exercício Resolvido
6 5
X X 

5 8 
t
Matrizes
Produto de Matrizes
Matriz Identidade
Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os
elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais
elementos são iguais a zero.
1 0
I2  

0 1 
1 0

I 3  0 1
0 1
Obs: A matriz identidade é o
elemento neutro da
multiplicação ou seja:
0

0
0
A.I=I.A=A
Matrizes
Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como
sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado
por cada um dos elementos da matriz dada.
Exemplo
2
A
0
6
3A  
0
1 4

3 5
3 12

9 15
Matrizes
Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como
sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado
por cada um dos elementos da matriz dada.
Exemplo
2
A
0
6
3A  
0
1 4

3 5
3 12

9 15
Matrizes
Observações
 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em
que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se
comutam.
 Quando A . B for diferente de B . A temos que
(A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
 Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2