Reflexão central - Areal Editores, SA

Isometrias do plano
Reflexão Central
Isometrias do plano
Reflexão Central
Na figura, 𝑂𝑀 = 𝑂𝑀’, ou seja, o ponto 𝑶 é o ponto médio do
segmento de reta 𝑀𝑀’ . Diz-se que 𝑀’ é a imagem do ponto 𝑀
pela reflexão central de centro 𝑶.
Dados dois pontos 𝑶 e 𝑴, o ponto
𝑴’ é a imagem do ponto 𝑴 pela
reflexão central de centro 𝑶
quando 𝑶 for o ponto médio do
segmento de reta 𝑀𝑀’ .
A imagem de O pela reflexão central de centro O é o próprio ponto
O.
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Considera o triângulo [𝑨𝑩𝑪] e o ponto 𝑶.
Vamos construir a imagem
[𝑨′𝑩′𝑪′] do triângulo [𝑨𝑩𝑪] pela
reflexão central de centro O,
usando régua e compasso.
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Considera o triângulo [𝑨𝑩𝑪] e o ponto 𝑶.
Traçam-se, usando a régua,
as retas 𝑨𝑶, 𝑩𝑶 e 𝑪𝑶.
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Na reta 𝑨𝑶, marca-se,
usando o compasso, o
ponto 𝑨’ distinto de 𝑨, à
mesma distância de 𝑶 que
𝑨.
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Na reta 𝑩𝑶, marca-se,
usando o compasso, o
ponto 𝑩’, distinto de 𝑩, à
mesma distância de 𝑶 que
𝑩.
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Na reta 𝑪𝑶, marca-se,
usando o compasso, o
ponto 𝑪’, distinto de 𝑪, à
mesma distância de 𝑶 que
𝑪.
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Unindo os pontos
𝑨′ a 𝑩’
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Unindo os pontos
𝑩′ a 𝑪’
Isometrias do plano
Construção de imagens de figuras por reflexão central
Unindo os pontos
𝑪′ a 𝑨’
obtém-se
o
triângulo
[𝑨’𝑩’𝑪’] que é a imagem
do triângulo [𝑨𝑩𝑪] pela
reflexão
central
de
centro 𝑶.
Isometrias do plano
Considera o triângulo [𝑨𝑩𝑪] representado na figura.
1. Copia-o e constrói os transformados 𝐴’, 𝐵’e 𝐶’, respetivamente,
dos pontos 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 pela reflexão central de centro 𝐵.
Isometrias do plano
Considera o triângulo [𝑨𝑩𝑪] representado na figura.
1. Copia-o e constrói os transformados 𝐴’, 𝐵’e 𝐶’, respetivamente,
dos pontos 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 pela reflexão central de centro 𝐵 .
Isometrias do plano
2. Justifica que:
a) os ângulos 𝑨𝑩𝑪 e 𝑨’𝑩’𝑪’
são iguais;
b) o triângulo [𝑨’𝑩’𝑪’] obtido
em 1. é igual ao triângulo
[𝑨𝑩𝑪];
c) a reflexão central de centro
em 𝑩 mantém a distância
entre os pontos 𝑨 e 𝑪;
d) os ângulos
𝑩𝑨𝑪
e
𝑩’𝑨’𝑪’ são iguais.
Adaptado do Caderno de Apoio às
Metas Curriculares do 2.º Ciclo
Isometrias do plano
2. Justifica que:
a) os ângulos
𝑨𝑩𝑪 e
𝑨’𝑩’𝑪’ são iguais;
Os ângulos 𝑨𝑩𝑪 e 𝑨’𝑩’𝑪’ são
iguais, pois são ângulos
verticalmente opostos.
Isometrias do plano
2. Justifica que:
b) o triângulo [𝑨’𝑩’𝑪’] obtido
em 1. é igual ao triângulo
[𝑨𝑩𝑪] ;
Sendo 𝑩 o ponto médio dos
segmentos de reta [𝑨𝑨’] e [𝑪𝑪’],
os lados [𝑩𝑪] e [𝑩𝑪’] são iguais,
assim como os lados [𝑩𝑨] e
[𝑩𝑨’]. Logo, pelo critério 𝑳𝑨𝑳, o
triângulo [𝑨’𝑩’𝑪’] obtido em 1. é
igual ao triângulo [𝑨𝑩𝑪].
Isometrias do plano
2. Justifica que:
c) a reflexão central de
centro em 𝑩 mantém a
distância entre os pontos
𝑨e𝑪;
Se os triângulos [𝑨𝑩𝑪] e
[𝑨’𝑩’𝑪’] são iguais, então os
lados [𝑨𝑪] e [𝑨’𝑪’] são iguais.
Logo, a reflexão central de centro
em 𝑩 mantém a distância entre
os pontos 𝑨 e 𝑪.
Isometrias do plano
2. Justifica que:
d) os ângulos
𝑩𝑨𝑪
𝑩’𝑨’𝑪’ são iguais.
e
Os ângulos 𝑩𝑨𝑪 e 𝑩’𝑨’𝑪’ são
iguais, pois os triângulos
[𝑨𝑩𝑪] e [𝑨’𝑩’𝑪’] são iguais.
Isometrias do plano
Propriedades da reflexão central
Considera o triângulo [𝑨𝑩𝑪].
Os pontos 𝑨’ , 𝑩’ e 𝑪’ são,
respetivamente, as imagens de 𝑨,
𝑩 e 𝑪 pela reflexão central de
centro 𝑶.
Pelo critério 𝑳𝑨𝑳 , os triângulos
[𝑨𝑩𝑶] e 𝑨’𝑩’𝑶 são iguais, pois
𝑨𝑶 = 𝑨’𝑶 , 𝑩𝑶 = 𝑩’𝑶 e os
ângulos 𝑨𝑶𝑩 e 𝑨’𝑶𝑩′ , sendo
verticalmente opostos, são iguais.
Isometrias do plano
Propriedades da reflexão central
Considera o triângulo [𝑨𝑩𝑪].
Daqui se conclui que os
segmentos de reta [𝑨𝑩] e
[𝑨’𝑩’] são iguais, por se oporem a
ângulos iguais em triângulos
iguais.
Observemos que [𝑨’𝑩’] é a
imagem de [𝑨𝑩] pela reflexão
central de centro O .
Isometrias do plano
Propriedades da reflexão central
Numa reflexão central de centro 𝑶:
• a imagem de um segmento de reta é o segmento de reta
cujas extremidades são as imagens das extremidades do
segmento de reta inicial;
• um segmento de reta é transformado num segmento de reta
com o mesmo comprimento.
Isometrias do plano
Reflexão Central
Uma isometria caracteriza-se por preservar as distâncias entre
pontos. Assim, as reflexões centrais são isometrias do plano, pois
mantêm as distâncias entre pontos.
Consideremos novamente
triângulos [𝑨𝑩𝑪] e [𝑨’𝑩’𝑪’].
os
Como anteriormente, podemos
verificar que os segmentos de
reta [𝑩𝑪] e [𝑩’𝑪’] são iguais,
assim como os segmentos de
reta [𝑨𝑪] e [𝑨’𝑪’] também são
iguais.
Isometrias do plano
Reflexão Central
Uma isometria caracteriza-se por preservar as distâncias entre
pontos. Assim, as reflexões centrais são isometrias do plano, pois
mantêm as distâncias entre pontos.
Logo, pelo critério 𝑳𝑳𝑳 , os
triângulos [𝑨𝑩𝑪] e [𝑨’𝑩’𝑪’] são
iguais.
Daqui se conclui, por exemplo,
que os ângulos 𝑪𝑩𝑨 e 𝑪’𝑩’𝑨’ são
iguais, porque se opõem a lados
iguais em triângulos iguais.
Isometrias do plano
Reflexão Central
Numa reflexão central de centro O, um ângulo é transformado
num ângulo com a mesma amplitude.
Isometrias do plano
EXEMPLO:
Desenha a imagem de cada uma das figuras seguintes pela reflexão
central de centro O.
Isometrias do plano
Resolução:
Isometrias do plano
EXEMPLO:
Desenha a imagem de cada uma das figuras seguintes pela reflexão
central de centro O .
Isometrias do plano
Resolução: