- Engenharia Química-UFCG

Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias – CCT
Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ
Métodos Numéricos
para Engenharia Química
Aula 02
Prof. Nilton Silva
Aproximações de Funções
Há basicamente dois tipos de problemas de aproximações:
i)
encontrar uma função “mais simples”, como um polinômio,
para aproximar uma função dada de forma explícita;
ii)
encontrar e ajustar a “melhor” função a dados (ou pontos)
discretos.
Aproximações de Funções
Há basicamente dois tipos de problemas de aproximações:
Aproximações de Funções
• Existem inúmeras formas de aproximar uma função dada, f(x), por funções
“mais simples” ou com propriedades mais interessantes (diferenciação,
integração, etc.), tais como:
– aproximação polinomial:
n
f ( x)  pn ( x)   ci x i
i 0
– séries de potências:
f ' ' ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n
2
n!
– frações continuadas:
f ( x)  b0 ( x) 
a1 ( x)
a2 ( x )
b1 ( x) 
a3 ( x)
b2 ( x) 
b2 ( x)  ...
Aproximações de Funções
• Existem inúmeras formas de aproximar uma função dada, f(x), por funções
“mais simples” ou com propriedades mais interessantes (diferenciação,
integração, etc.), tais como:
– funções racionais:
n
pn ( x )

qn ( x )
f ( x) 
i
a
x
 i
i 0
m
j
b
x
 j
j 0
– séries de Fourier:
n
f ( x)  a0   (ak cos(kx)  bk sen(kx))
k 1
Aproximações de Funções
Séries de potências
Se f(x) é uma função contínua com n derivadas contínuas no intervalo [a, b],
ou seja, f  Cn[a, b] e f(n+1)(x) existe em [a, b] e x0  [a, b], então:
f ( x)  pn ( x)  Rn ( x)
Onde pn(x) é o polinômio de Taylor de grau n:
(k )
n
f ( n ) ( x0 )
f
( x0 )
pn ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n  
( x  x0 ) k
n!
k!
k 0
e Rn(x) é o erro de truncamento (ou resto) da série com   [x0, x].
f ( n 1) [ ( x)]
Rn ( x) 
( x  x0 ) n 1
(n  1)!
Quando x0 = 0, tem-se o polinômio de Maclaurin e para n  ∞ pn(x) é a
série de Taylor (ou Maclaurin, x0 = 0).
Aproximações de Funções
Séries de potências
Exemplo:
f ( x)  cos( x), n  2, x0  0.
Da aproximação em série de potencia, onde:
f ( x)  pn ( x)  Rn ( x)
n
f ( n ) ( x0 )
f ( k ) ( x0 )
n
pn ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 )  ... 
( x  x0 )  
( x  x0 ) k
n!
k!
k 0
Sendo:
f ' ( x)   sen( x), f ' ' ( x)   cos( x), f (3) ( x)  sen( x)
Para x0 = 0, tem-se:
f ( x0 )  1, f ' ( x0 )  0, f ' ' ( x)  1
Logo:
x2
p2 ( x )  1 
2
x3
R2 ( x)  sen( )
6
Aproximações de Funções
Exemplo:
x2
f ( x)  cos( x), n  2, x0  0. p2 ( x)  1 
2
x3
R2 ( x)  sen( )
6
Os polinômios de Taylor concentram sua precisão próxima ao ponto x0. Porém,
uma boa aproximação deve ser relativamente precisa ao longo de todo o intervalo
[a, b].
Exercícios
Implementar o algoritmo abaixo para aproximar f(x) = ex em
polinômio de Taylor com critério de convergência  para
determinar o grau do polinômio:
• No final do algoritmo S contém o valor aproximado de ex e n o
número de termos necessários (grau de pn(x)).
Exercícios
Implementar o algoritmo abaixo para aproximar f(x) = ex em
polinômio de Taylor com critério de convergência  para
determinar o grau do polinômio: