Matriz

ÁLGEBRA MATRICIAL

Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m
linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros maiores ou
iguais a 1.

O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de
linhas e colunas existentes na matriz, por esse motivo denominada
matriz (lê-se m por n) ou matriz de ordem
.

Dada a matriz A do tipo
, denomina-se o elemento
ao
componente da matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde
.
Continua
Continuação

Uma matriz é representada da seguinte maneira:

Seja a matriz
.
a)
Se m = 1 e n > 1, a matriz
é chamada matriz linha.
b)
Se m > 1 e n = 1, a matriz
é denominada matriz coluna.
Continua
Continuação
c)
Se m = n, a matriz
é dita matriz quadrada de ordem m.
d)
Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de
elementos dessa matriz
, tais que i = j.
e)
Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de
elementos dessa matriz
, tais que i + j = n + 1.
Continua
Continuação
f)
Matriz diagonal é uma matriz quadrada, onde aij = 0 para
,
isto é, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal
são nulos.
g)
Matriz nula é a matriz em que todos os seus elementos são nulos.
Notação:
.
h)
Matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da
diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são todos nulos.
Notação: In, onde n indica a ordem da matriz.

Duas matrizes
são iguais quando
aij = bij para todo i = 1, ... , m e todo j = 1, ... , n.

Dadas duas matrizes
, denomina-se soma
ou adição da matriz A com a matriz B, e indicada por A+ B, a
matriz
, tal que
Definição: Dada a matriz
matriz B, tal que A + B = 0.
Notação: B = –A.
Definição: Dadas duas matrizes
.
, chama-se matriz oposta de A a
,
denomina-se diferença da matriz A com a matriz B, e indicada por
A – B, a matriz soma de A com a oposta de B (A – B = A +(–B)).
Operações com Matrizes:
Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair
matrizes de mesma ordem.
Dadas as matrizes
 2 5
 1 6 
A
 , B   5 2 


 3 4 
e
 8 4 
C 
 , calcule:
 2 6
 2 5   1 6   8 4 
A B C  



 3 4   5 2   2 6 
 2 5   1 6   8 4   7 15 





 3 4   5 2   2 6   0 4 

O produto de um escalar (ou número real) k pela matriz
, cuja notação é
, é a matriz obtida
multiplicando-se cada elemento de A por k
.

Dada a matriz
, tal que
, denomina-se transposta de A a matriz
.
Para determinar a matriz transposta da matriz A, basta trocar suas
linhas por colunas ou suas colunas por linhas. A notação utilizada é
.

Dadas duas matrizes
de A por B a matriz
onde:
, chama-se produto
, tal que:
Exemplo
Amxn . Bnxp  Cmxp
 0 1
 1 2 3 
  1.0  2.(3)  3.4 1.1  2.5  3.2 

   3 5   

0

4

2
0.0

4
x
(

3)

2
x
4
0.1

4.5

2.2

  4 2 



0  6  12 1  10  6 


0

12

8
0

20

4


 6 17 


4

24



Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz inversível se existir uma
matriz B, tal que
. A matriz B é dita inversa de A.
Uma matriz não inversível é denominada singular.
Notação: B =A–1
Matriz Inversa: A1
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à
matriz identidade.
1
A . A I
 4 2
1
 , determine A
Sendo A  
 5 3
det A = 12 – 10
det A = 2
3

3

2




1
2
 3  2  2

A

2


  
5


  5 4    5 4 
2

2 
 2

 1

2 


O determinante de uma matriz é um escalar obtido dos elementos da
matriz, mediante operações específicas. Os determinantes são
definidos somente para matrizes quadradas.
Indicamos o determinante da matriz
por:

O determinante da matriz
é dado por:
Ex:
2 3
1 4
det = 2 . (- 4)  1.(3)
 8  3
 5

O determinante da matriz
é dado por:

A Regra de Sarrus é utilizada, unicamente, para determinantes de
matrizes de 3a ordem.

Repetimos, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas dessa
matriz.

Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se os
elementos segundo as setas situadas na direção da diagonal
principal: a11a22a33; a12a23a31;a13a21a32.

Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando-se os
elementos de acordo com as setas situadas na direção da diagonal
secundária: –a13a22a31; –a11a23a32;–a12a21a33.
Continua
Continuação

Observe o esquema a seguir:
Determinante de uma matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
Ex:
3 1 2
4 3 1
1 6 5
3 1 2 3 1
4 3 1 4 3
1 6 5 1 6
det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6-(-1).(-3).(2)-6.1.3-5.4.1
=-45-1+48-6+18-20
=-42
Menor Complementar (Dij)
É o determinante da matriz obtida após ser
eliminada a linha e a coluna do elemento aij
considerado.  0 1 2 
Ex. Sendo A   3 4 5  , calcule D12
 2

3 5
2 1
7
1
det = 3 + 10
det = 13
D12 = 13
Cofator
i j
Cij  (1) . Dij
 0 1 2 
Ex. Dada a matriz A   3 4 5  , calcule C21
 2 7 1


1 2
C21  (1) .D21  C21  (1) .
7 1
2 1
3
C21  (1).[1  14]  C21  15
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Ex:
1)
2)
1 3 5
2 9 8  0
0 0 0
1 0 5
2 0 8 0
5 0 16
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
3)
1
2
9
0
8
1
3
2
1
2
9
0

8
1
9
9
6
3
4)
1 0  2  0
4 8 8
0
L1  L 3
2.C1  C 3
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
5)
6)
1 6 9
3 5 0 0
4 11 9
L1  L 2  L 3
1
3
5
0
3
1
7
9
0
7
7
8
0
2.C1  C 2  C 3
7 5 9 0
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras
filas paralelas.
Outras propriedades:
Ex:
1)
2 3
 18  12  6
4 9
2)
a b c
Se x y z  10,
r s t
2 4
 18  12  6
3 9
a
então b
c
det( A)  det( A )
t
x r
y s  10
z t
Outras propriedades:
Ex:
2 0 0
5 3 0  2.3.7  42
7 9 7
1)
2 7 8 0
2)
0
5 8 6
0
0 3 5
0
0 0 2
 2.5.3.2  60
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
Ex:
1)
2)
2 5
 18  15  3
3 9
5 2
 15  18  3
9 3
a b c
Se x y z  5,
r s t
r s t
então x y z  5
a b c
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o
determinante troca de sinal
Outras propriedades:
Ex:
1)
2 3
6
4 9
5.2 3
 5.6  30
5.4 9
a b c
a
b
c
2) Se x
y z  10, então 7.x 7. y 7.z  7.10  70
r s t
r
s
t
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o
determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
Ex:
1)
2)
2 3
6
4 9
5.2 5.4
 5 2 .6  150
5.3 5.9
Se A é 3x3 com det(A)  5, então
3
det(2.A)  2.det(A)  8.5  40
det(kA)  k n det( A), onde n é a ordem de A
Outras propriedades:
Ex:
3 2
 4 1
 e B  
.
Sejam A  
5 7
 2 3
Quanto vale det(A.B)?
detA  11
detB  10
det(A.B)  11.10  110
det( AB)  det( A) det( B)
Consequência :
A.A -1  I
 det(A.A-1 )  det(I)
 det(A).det(A-1 )  1
 det(A-1 )  1/detA
Ex:
 2 5
 é :
O determinan te da inversa de A  
 3 9
det(A-1 )  1/detA  1/3
• det(A-1)=1/detA
Teorema Fundamental de Laplace
O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma
fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
1
3
0
4
2
1
0
5
1
2
2
0
0
4
1
1
D = 0 ∙ C31 + 0 ∙ C32 + 2 ∙ C33 + 1 ∙ C34
∙ (-26 + 33) = 7
=
1
C33 =
D33
C33 = (-1)6 ∙ 1 2 0 1 2
3 1 4 3 1
4 5 1 4 5
0 -20 -6 1 32 0
(-1)(3+3) ∙
Teorema Fundamental de Laplace
O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma
fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
1
3
0
4
2
1
0
5
1
2
2
0
0
4
1
1
D = 0 ∙ C31 + 0 ∙ C32 + 2 ∙ C33 + 1 ∙ C34
∙ (-14 + 31) = -17
=
1
C34 =
D34
C34 = (-1)7 ∙ 1 2 1 1 2
3 1 2 3 1
4 5 0 4 5
-4 -10 0 0 16 15
(-1)(3+4) ∙
Teorema Fundamental de Laplace
O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma
fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
1
3
0
4
2
1
0
5
1
2
2
0
0
4
1
1
D = 0 ∙ C31 + 0 ∙ C32 + 2 ∙ C33 + 1 ∙ C34
D = 2 ∙ 7 + 1 ∙ (-17)
D = 14 – 17
D=-3
Ex. Cálculo o determinante da matriz A.
 3 1
0 0
A
5 3

0 4
2
4
2
3
5
0 
1

1
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domain
Equações Lineares
UM POUCO DA HISTÓRIA
Gottfried W. Leibniz
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domain
Documentos históricos comprovam que
antigas civilizações orientais, como babilônica e a
chinesa, já trabalhavam com equações lineares.
Já o interesse dos matemáticos ocidentais
pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir
de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz (16461716), que estabeleceu condições para associar o
sistema de equações lineares a um determinante. Em
1858, o matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895)
notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares
representando, em forma de matrizes, os dados
extraídos de sistemas de equações.
Arthur Cayley
Equações Lineares
APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES
A aplicação de equações e sistemas lineares
é fundamental na resolução de problemas que
envolvem equações com muitas incógnitas.
Problemas desse tipo se apresentam por exemplo,
na distribuição de energia elétrica, no
gerenciamento das linhas de telecomunicações e na
logística para transporte de mercadorias em uma
região.
Acompanhe a situação a seguir
Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100,00 de sua
conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10,00, R$ 20,00, e R$
50,00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque?
Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio
de equação linear.
Chamando de x o número de células de R$ 10,00, y o
número de células de R$ 20,00 e z o número de células de R$
50,00, podendo associar essa situação à equação 10x + 20y + 50z
= 100.
A equação 10x + 20y + 50z = 100 é chamada equação
linear.
Equações Lineares
 De maneira geral, se 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , 𝑏 são constantes reais e
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 são variáveis reais, uma equação linear é do
tipo.
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 nsão MATEMÁTICA
as incógnitas;
Ensino Médio, 2° ano
 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 são os coeficientes;
Matrizes: Operações
 𝑏 é o termo independente.
Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40,
temos.Ensino Médio, 2° ano
MATEMÁTICA,
Equações Lineares
 x, y e z são as incógnitas;
 4, 9 e 8 são os coeficientes;
 40 é o termo independente;
Soluções de uma equação linear
 Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40
x=1
y=4
z=0
x=3
y=2
z=1
4.1 + 9.4 + 8.0 = 40 (Verdadeira)
MATEMÁTICA
Ensino Médio, 2° ano
4.3Matrizes:
+ 9.2 + 8.1 ≠Operações
40 (falsa)
Sistemas Lineares
 Um sistema de 𝑚 equações lineares com 𝑛 incógnitas (𝑚, 𝑛 ≥ 1) é
conjunto de 𝑚 equações lineares, cada uma delas com 𝑛 incógnitas,
consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do
seguinte modo
𝛼11 𝑥1 + ⋯ + 𝛼1𝑛 𝑥𝑛
𝛼21 𝑥1 + ⋯ + 𝛼2𝑛 𝑥𝑛
𝑆:
⋮
𝛼𝑚1 𝑥1 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑛 𝑥𝑛
=
=
⋮
=
𝛽1
𝛽2
.
⋮
𝛽𝑚
MATEMÁTICA
 Uma solução do sistema acima
uma 𝑛2-°upla
EnsinoéMédio,
ano 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 de números
reais que é solução de cada uma das equações do sistema.
 Se 𝛽𝑖 = 0,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, chamamos 𝑆 de homogêneo.
Matrizes: Operações
Forma Matricial
𝛼11 𝛼12 … 𝛼1𝑛
𝑥1
𝛽1
𝛼21 𝛼22 … 𝛼2𝑛
𝑥2
𝛽2
⋮
⋮
⋱
⋮ · ⋮ = ⋮
𝛼𝑚1 𝛼22 … 𝛼𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝛽𝑚
𝐴
𝑋
𝐵
Regra de Cramer
Se o sistema linear 𝐴𝑋 = 𝐵 é tal que 𝐴 é 𝑛 × 𝑛 é
invertível, então a solução do sistema é dada por
𝑥𝑗 =
det(𝐴𝑗
det(𝐴
, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛,
em que 𝐴𝑗 é a matriz que se obtém de
𝐴 substituindo-se a sua 𝑗-ésima coluna por 𝐵.
Soluções de um sistema linear por Cramer

𝑥
−2𝑥
−𝑥
− 3𝑦
− 3𝑦
+ 2𝑦
+ 𝑧
− 𝑧
− 𝑧
= −2
= −4
= 1
𝐴1
1 −3 1
A = −2 −3 −1
−1 2 −1
−2
𝐴1 = −4
1
−3
−3
2
1
−1
−1
1
𝐴2 = −2
−1
−2 1
−4 −1
1 −1
5
= −1
−7
−1 6
0 −1
1 −9
1
𝐴3 = −2
−1
−3 −2
−3 −4
2
1
𝐴−1
Escalonamento
• Método de Eliminação de Gauss (Seção 4)
• A matriz Inversa e escalonamento (Seção 5)
http://www.dm.ufscar.br/~sadao/download/?file=student/escalonamento.pdf