Diapositivo 1
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Autores: Miguel Pereira 9ºB nº11 e Sofia Figueiredo 9ºB nº15 Ano Lectivo 2005 2006 Área de Projecto Métodos de resolução de Sistemas Podem-se resolver pelos métodos Método de substituição Método de tentativa erro Método gráfico No nosso trabalho só vamos apresentar o método de substituição e o método gráfico. Vamos trabalha-lo enumerando os passos a seguir e efectuando a sua resolução na coluna ao lado. Método de substituição Passos a seguir Resolução 1. Escolher a incógnita (x ou y) numa equação (deves escolher a incógnita que facilite os cálculos) x y 5 x y 7 Escolhemos x na 1ª equação 2. Resolver a equação em ordem à incógnita x 5 y escolhida _______ 3. Substituir na outra equação x pelo seu valor ___________ y 5 y 7 4. Resolver equação do 1º grau _______ ___________ ______ ____ 2 y y y 7 5 2 y 2 y 1 2 5. Substituir o valor de y na 1ª equação x 5 (1) x 5 1 x 6 y 1 ______ ____ 6. Apresentar a solução do sistema ( x, y ) (6,1) Nota informativa: Antes de aplicar-mos o método, por vezes, é aconselhável colocar-mos o sistema na forma canónica: ax by c a ' x b ' y c ' Método gráfico Passos a seguir 1. Resolver a duas equações em ordem a y 2. Apresentar dois pontos para cada recta Resolução x y 5 x y 7 y 5 x y 5 x y 7 x y 7 x x y=5-x x Y=-7+x 0 5 0 -7 4 1 3 -4 A (0,5) B ( 4,1) 3. Representar as duas rectas num referencial 4. Apresentar a solução do sistema que são as coordenadas do ponto de intersecção. ( x, y ) (6,1) C (0,7) D (3,4) Classificação de sistemas Os sistemas classificam-se como as equações, como podemos ver: Sistemas Possíveis Determinadas Impossíveis Indeterminadas Sistemas possíveis e determinados Exemplo x 3 y _________ x y 3 _____ 3 y y 1 _______ x y 1 2 y 1 3 _____ ____ x 3 1 x 3 1 _______ 2 y 2 y 1 y 1 2 y 2 y 1 ( x, y ) (2,1) Graficamente y 3 x x y 3 y 3 x y 1 x y 1 x x y 1 x y=3-x x y=-1+x 0 3 0 -1 3 0 4 3 A (0,3) B (3,0) C (0,1) D ( 4,3) Conclusão: Quando as rectas são concorrentes, o sistema é possível e determinado. Sistemas impossíveis Exemplo ___________ x y 2 x 2 y y 2 y 4 ________ x y 4 _________ y y 4 2 _____ 0 y 2 Equação impossível, então o Sistema é impossível Graficamente x 2 y y 2 x y 4 x x y 4 x y=2-x x y=4-x 0 2 0 4 2 0 1 3 A (0,2) B ( 2,0) C (0,4) D (1,3) Conclusão: Quando as rectas são paralelas, o sistema é impossível. Sistemas possíveis e indeterminados Exemplo ______________ x 2 y 2 x 2 y 2 2(2 2 y ) 4 4 y ________ 2 x 4 4 y _____ 0 y 0 Equação possível e indeterminado , então o Sistema é indeterminado Graficamente y 1 x 2 y 2 2 y 2 x 2 x 4 4 y 4 y 4 2 x y 1 x Y= 1- 0 1 2 0 x 2 A (0,1) B ( 2,0) Conclusão: Quando as rectas são concorrentes o sistema é possível e indeterminado. x 2 x 2 Em Síntese (Conclusões) 1. Em sistemas possíveis e determinados as rectas são concorrentes, ou seja, intersectam-se num único ponto. 2. Em sistemas impossíveis as rectas são paralelas, ou seja, nunca se intersectam, por mais que as prolongue-mos. 3. Em sistemas possíveis e indeterminados as recta são coincidentes, ou seja, por mais que as prolongue-mos estão sempre uma “decima” da outra Problemas envolvendo Sistemas 1) Determine os valores de x e y, sabendo que a figura representa, respectivamente um triângulo equilátero: 2 y x 6 y x 6 y 2 y x 4 y x x 5y 6y 5 y 6 y 4 4 1 ____ 1 ______ 0 y 0 x 5y 4 6y 2y+x __________ 4 y 20 y 24 y 0 O sistema é possível e indeterminado, ou seja, o problema tem infinitas soluções. 2) A diferença das idades de dois irmãos é 10. A idade do mais velho é igual ao dobro da idade que o mais novo terá daqui a 10 anos. Qual é a idade de cada um? 2.1) Escreva um sistema de equações que traduza algebricamente o problema. x y 10 x 2( y 10) 2.2) Resolva o sistema e classifique-o x y 10 x 2( y 10) y 10 20 ________ 2( y 10) y 10 2 y 20 y 10 ____________ _____________ y 10 _____ ________ x 20 20 ________ x 2( 10 10) x, y 0,10 O sistema é possível e determinado 2.3) O problema é possível? O problema é impossível, porque não há idades negativas. 1. Classifica o seguinte sistema 10x y 20 3y 2x 50 A Sistema possível e determinado B Sistema possível e indeterminado C Sistema impossível Ir para o seguinte desafio 2. Para representar rectas através de sistemas , resolvemos por qual método? A Método de substituição B Método de tentativa erro C Método gráfico Ir para o seguinte desafio 3. Num sistema possível e determinado qual é a posição relativa das rectas? A As rectas coincidentes B As rectas paralelas C As rectas concorrentes Ir para o seguinte desafio 4. Qual dos gráficos pertence a sistemas possíveis e determinados? A B C Ir para o seguinte desafio 5. Qual é a formula pela qual nos devemos “guiar” para representar-mos a forma canónica? A B C ax by c ax c b ax b dy c ax cy b ax by c a ' x b ' y c ' Ir para o seguinte desafio 6. A idade do Ricardo é tripla da idade do seu irmão Afonso. Daqui a cinco anos a soma das duas idades é tripla da idade actual do mais velho. Qual o sistema que o representa, se x corresponder á idade do Ricardo e y á idade do Afonso? A x 3 y x 5 y 5 3x B x y 3 x 5 y 3 y C x 3 y x 5 y 5 3x Ir para o seguinte desafio 7. O Vítor tem um terreno rectangular onde normalmente joga futebol. Inspirado no seu terreno inventou o seguinte problema: “Se aumentasse o comprimento em 5 m e se diminuísse a largura em 5m, a área não se altera. Se aumentasse 5m a cada uma das dimensões, a área aumentaria 200m 2.” Quais as dimensões do terreno do Victor? A x 5 y 5 ( y 5)( x 5) 200 B C x 5 y 5 ( y 5)( x 5) 200 x 5 y 5 ( y 5)( x 5) 200
