1 Capítulo 1 Tensão Problema 1 Determine as

1
Capítulo 1
Tensão
Problema 1
Determine as componentes de tensão no ponto P,
sabendo que este corresponde à sobreposição de dois
estados, A e B, caracterizados geometricamente na
figura ao lado. Exprime os resultados no referencial
relacionado com o estado A.
20
15
40
15
20
30
[MPa ]
estado A
Problema 2
Sabendo as componentes intrínsecas nas duas facetas
que passam pelo mesmo ponto P (veja a figura ao lado),
determine as componentes do tensor das tensões
relativamente ao referencial (x,y), onde os eixos
coordenados são alinhados com a horizontal e a
vertical, respectivamente.
30º
estado B
[MPa ]
?
P
45º
10
30
P
20
60º
Problema 3
O estado plano das tensões num ponto é caracterizado pelo tensor das tensões [σ], cujas componentes
relativamente ao sistema de coordenadas Oxy escrevem-se na forma matricial:
− 30 − 15⎤
[σ] = ⎡⎢
⎥[kPa ] .
⎣ − 15 20 ⎦
Represente as componentes no rectângulo elementar e determine as componentes intrínsecas na faceta
que faz 50º com a horizontal, usando:
a) as relações para o cálculo de vector das tensões;
b) a rotação do sistema de coordenadas;
c) verifique os resultados na circunferência de Mohr.
Problema 4
O estado das tensões num componente mecânico é dado relativamente
ao referencial 0xy na forma matricial:
⎡3xy 5 y 2 ⎤
-4
[σ] = ⎢ 2
⎥ , os coeficientes 3, 5 têm a unidade Nm .
0 ⎦
⎣5 y
Determine:
a) as componentes no centróide;
b) as forças de volume;
c) a carga aplicada nos lados do componente.
Problema 5
Um componente mecânico de espessura 1cm está sujeito ao estado
das tensões bidimensional e uniforme. Sabendo que a carga no lado
vertical é 40N/m na direcção normal (orientada para dentro) e
15N/m na direcção tangencial (orientada para baixo); e no lado
inclinado 50N/m na direcção normal (orientada para dentro), calcule
as outras componentes da carga e verifique o equilíbrio global.
y
6m
60º
x
40
50
4
[dm]
3
15
[N / m]
2
Problema 6
O estado das tensões no ponto P dum corpo contínuo é caracterizado pelo tensor das tensões [σ] cujas
componentes relativamente ao sistema de coordenadas Oxyz escrevem-se na forma matricial:
⎡ 7 0 − 2⎤
[σ] = ⎢⎢ 0 5 0 ⎥⎥[MPa ] .
⎢⎣− 2 0 4 ⎥⎦
Desenhe o paralelepípedo elementar relativamente ao referencial original Oxyz.
Calcule:
a) as componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões, que actua no plano cuja normal
exterior unitária é dada por {n} = (2 / 3;−2 / 3;1 / 3) T ;
r r
b) o ângulo entre t e n .
Problema 7
O estado das tensões no ponto P dum corpo contínuo é caracterizado por tensor das tensões [σ] cujas
componentes relativamente ao sistema de coordenadas Oxyz representam-se no paralelepípedo
elementar de acordo com a figura
z
z
2MPa
1MPa
C
7MPa
15cm
5MPa
3MPa
x
y
10cm
A
5cm B
y
x
Calcule:
a) as componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões, que actua no plano paralelo com o
plano ABC da figura, sabendo que a normal exterior aponta para o primeiro octante.
b) o vector das tensões quando os pontos A, B, C têm as coordenadas (10,5,4), (-20,5,6) e (7,0,0),
respectivamente. Das duas facetas escolha aquela que tem a normal com o primeiro coseno director
negativo.
Problema 8
O estado das tensões no ponto P dum corpo contínuo é caracterizado por tensor das tensões [σ] cujas
componentes relativamente ao sistema de coordenadas Oxyz escrevem-se na forma matricial:
⎡80 25 15⎤
[σ] = ⎢⎢25 60 0 ⎥⎥[kPa ] .
⎢⎣15 0 0 ⎥⎦
a) Calcule a tensão resultante, a tensão normal e a tensão de corte num plano cuja normal faz um
ângulo de 30º com a direcção principal (1) e 80º com a direcção principal (2).
b) Calcule a tensão de corte máxima e a tensão normal que a acompanha na mesma faceta.
3
z
Problema 9
O estado das tensões no ponto P dum corpo contínuo é
caracterizado pelo tensor das tensões [σ], cujas
componentes relativamente ao sistema de coordenadas
Oxyz representam-se no paralelepípedo elementar de
acordo com a figura ao lado.
Escreva as componentes na forma matricial. Calcule a
tensão octaédrica e a tensão de von Mises.
200kPa
800kPa
100kPa
x
y