constante comprimento não

4. ÁNÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
4.1. Introdução
Há muitos problemas de interesse no campo da mecânica dos
fluidos, no mundo real dos projetos, que não podem ser resolvidos
usando apenas as equações diferenciais e integrais.
Muitas vezes é necessário apelar aos métodos experimentais, para
estabelecer relações entre as variáveis de interesse.
Como os experimentos são geralmente muito caros, é necessário
manter o número de ensaios em um nível mínimo.
Isso é feito usando uma técnica chamada análise dimensional a
qual é baseada na noção de homogeneidade dimensional - todos os
termos em uma equação devem ter a mesma dimensão.
Tomando como exemplo a Eq. de Bernoulli
V12 p1
V22 p 2
  z1 

 z2
2g 
2g 
nota-se que a dimensão de cada termo é o de comprimento.
Além disso, fatorando z1 do lado esquerdo e z2 do lado direito, vem:
 V22
 z2
V12
p1
p2

1  

 1
 2gz
z
2gz1 z1

z
2
2

 1
Quando escrita nessa forma, todos os termos da equação de
Bernoulli são adimensionais.
Neste caso, a equação é escrita como uma combinação de
parâmetros adimensionais.
Esta é a idéia básica da análise dimensional, a qual será
apresentada na próxima seção.
Muitas vezes é preciso efetuar experimentos envolvendo objetos
que são muito grandes para serem manipulados em experiências a
um custo razoável.
Exemplo:
• escoamentos em represas;
• interações de ondas com píeres e quebra-mares;
• escoamentos ao redor de submarinos e navios;
• escoamentos subsônicos e supersônicos ao redor de
aeronaves;
• escoamentos ao redor de estádios e edifícios;
• escoamentos através de grandes bombas e turbinas e
• escoamentos ao redor de automóveis e caminhões.
Esses escoamentos são geralmente estudados em laboratórios, em
modelos reduzidos, os quais são menores que o protótipo, o
aparelho em dimensão industrial.
Ver exemplo da Fig. 6.1.
FIGURA 6.1 Modelo em escala
de grandes edifícios.
O que reduz substancialmente os custos quando comparados aos
estudos em escala natural, permitindo a análise de várias
configurações ou condições de escoamento diferentes.
Por outro lado, tem-se também escoamentos de interesse que
envolvem dimensões bastante pequenas, tais como:
• o escoamento ao redor de uma pá de turbina;
• escoamento dentro de um tubo capilar;
• escoamento ao redor de um microrganismo;
• escoamento através de uma pequena válvula de controle e
• escoamento em torno e dentro de uma gotícula em queda.
Esses escoamentos demandam que o modelo seja maior que o
protótipo, de modo que as observações possam ser efetuadas com
um grau de acurácia aceitável.
Semelhança:
é o estudo da previsão das condições do protótipo a partir de
observações de modelos.
Ela será apresentada em seguida à análise dimensional.
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos
da análise dimensional.
4.2. Análise Dimensional
4.2.1 Motivação
No estudo dos fenômenos que envolvem o escoamento de fluidos,
tanto analítica quanto experimentalmente, existem, invariavelmente,
muitos escoamentos e parâmetros geométricos envolvidos.
Com intuito de economizar tempo e dinheiro, deve ser usado um
número mínimo de combinações de parâmetros.
Por exemplo, considere a queda de pressão através da válvula
corrediça da Fig. 6.2.
Figura 6.2 Escoamento por uma válvula gaveta
Pode-se supor que a queda de pressão depende de parâmetros tais
como:
• a velocidade média na tubulação V;
• a massa específica do fluido ;
• a viscosidade do fluido ;
• o diâmetro da tubulação d; e
• a altura da abertura h.
O resultado pode ser expresso como:
p  f ( V, , , d, h)
Em um estudo experimental deste problema, considere uma
estratégia para encontrar a dependência da queda de pressão em
função dos demais parâmetros físicos envolvidos.
Pode-se fixar todos os parâmetros, exceto a velocidade, e investigar
a dependência da queda de pressão com a velocidade média.
Depois o diâmetro poderia ser mudado e a experiência repetida.
Isso levaria ao conjunto de resultados mostrados na Fig. 6.3a.
a) , e h fixos
b) , e d fixos
Figura 6.3 Curvas de queda de pressão versus velocidade
As grandezas físicas da Eq. anterior, podem ser organizadas em
parâmetros adimensionais (os passos necessários para tal serão
apresentados em uma seção subseqüente), como segue:
p
Vd h 

f
, 
2
V
  d
Obviamente essa é uma relação muito mais simples.
Agora, pode-se fazer um experimento com h/d fixo, (h/d = 0,1),
variando Vd/ (isso é conseguido simplesmente variando V),
resultando em uma curva como mostrada na Figura.
p
V2
h
 0,10
d
V d

Em seguida a quantidade h é alterada, de tal forma que h/d = 0,5 e
o teste é repetido.
Finalmente o experimento inteiro é apresentado em uma figura,
como na Fig. 6.4.
Figura 6.4 Queda de pressão adimensional
versus velocidade adimensional
Este artifício reduz em muito o esforço e o custo na determinação
da forma real de f(Vd/, h/d); para tanto pode ser usado apenas
um tubo e uma válvula, com apenas um fluido.
Todavia, não é sempre claro quais parâmetros devem ser incluídos
em uma equação.
A seleção desses parâmetros requer compreensão detalhada da
física envolvida.
Deve-se ter em mente que a seleção dos parâmetros apropriados é
o primeiro passo crucial na aplicação da análise dimensional.
4.2.2 Revisão de Dimensões
Antes de apresentar a técnica de análise dimensional, as dimensões
das quantidades de interesse em um curso introdutório de mecânica
dos fluidos serão revisadas.
Todas as quantidades têm alguma combinação de dimensões de
comprimento, tempo, massa e força, que são relacionadas pela
segunda lei de Newton,


F  ma
Em termos de dimensões,
ML
F 2
T
F
M
L
T




dimensão de força;
dimensão de massa;
dimensão de comprimento; e
dimensão de tempo.
Caso se considerasse situações de escoamento mais complicadas,
tais como aquelas que envolvem interações de campos
eletromagnéticos, ou aquelas que envolvem gradientes de
temperatura, ter-se-ia que incluir as dimensões adicionais
apropriadas.
Porém, neste curso, tais fenômenos não serão apresentados, com
exceção do escoamento compressível de um gás ideal; para esse
caso uma equação de estado relaciona os efeitos térmicos às
dimensões anteriores.
Ou seja:
p  R T
em que T representa a temperatura,
F L3 ML / T 2 L3 L2
[ R T ]  [ p / ]  2  
  2
2
L
M T
L M
em que os colchetes representam "a dimensão de".
Note que a equação de estado não introduz dimensões adicionais.
As quantidades de interesse na mecânica dos fluidos estão
relacionadas com suas respectivas dimensões na Tab. 6.1.
Referência a essa tabela simplificará a escrita das dimensões das
quantidades apresentadas nos problemas.
Tabela 6.1 Símbolos e dimensões usadas na Mec-Flu
Grandeza
Símbolo
Dimensão
Comprimento
l
L
Tempo
t
T
Massa
m
M
Força
F
ML/T2
4.2.3 O teorema  de Buckingham
Em um determinado problema físico, a variável dependente x1 pode
ser expressa em termos das variáveis independentes como:
x1  f (x 2 , x 3 , x 4 ,, x n )
em que n representa o número total de variáveis.
O teorema  de Buckingham [Edgar Buckingham (1867-1940)],
afirma que (n - m) grupos de variáveis adimensionais, chamados
parâmetros , em que m é o número de dimensões básicas
envolvidas nas variáveis físicas, podem ser relacionados por:
1  f1 ( 2 , 3 ,,  n m )
onde 1 inclui a variável dependente e os parâmetros 
remanescentes incluem apenas variáveis independentes
O procedimento usado na aplicação do teorema  é resumido como
segue:
1. Escreva a forma funcional da variável dependente em função das
(n -1) variáveis independentes.
Este passo requer conhecimento do fenômeno físico a ser
estudado.
Todas as variáveis que afetam a variável dependente devem ser
incluídas; estas incluem variáveis geométricas, propriedades do
fluido e efeitos externos que influenciam a variável a ser
estudada (variáveis de controle).
Quantidades que não têm influência sobre a variável dependente
não devem ser incluídas.
Também não devem ser incluídas variáveis que dependam umas
das outras; por exemplo, raio e área não devem ser ambos
incluídas.
2. Identificar as m variáveis repetitivas, isto é, variáveis que serão
combinadas com cada variável restante para formar os
parâmetros .
As
variáveis
repetitivas
selecionadas
das
variáveis
independentes devem incluir todas as dimensões básicas, mas
não devem formar um parâmetro  sozinhas.
Um ângulo não pode ser uma variável repetitiva, já que não tem
dimensões, e forma um parâmetro  sozinho.
3. Formar os parâmetros  combinando as variáveis repetitivas com
cada uma das variáveis remanescentes.
4. Escrever a forma funcional dos (n - m) parâmetros 
adimensionais.
O passo 3 pode ser realizado por meio de um procedimento
algébrico relativamente simples, o qual será ilustrado com um
exemplo.
Suponha que se deseja combinar as variáveis tensão superficial ,
velocidade V, massa específica  e o comprimento l em um
parâmetro , isso pode ser escrito como:
  a Vbcld
O objetivo é determinar a, b, c e d de forma que o monômio seja
adimensional.
Em termos de dimensões, fica:
a
b
c
0 0 0  M   L  M 
M L T   2     3  Ld
T  T L 
a
Ou,
b
M0 L0T0  Ma c Lb3cd T 2a b
Igualando os expoentes,
M: 0a c
L : 0  b  3c  d
T : 0  2a  b
As três equações algébricas são resolvidas, fornecendo :
a  c
b  2c
De modo que:
  l V2 

  
  
c
c
0 0 0  M   L  M 
M L T   2     3  Ld
T  T L 
dc
Um parâmetro adimensional elevado a qualquer potência
permanece adimensional; conseqüentemente pode-se escolher para
“c”, qualquer número, desde que seja diferente de zero.
Geralmente é escolhido como c = 1, dependendo da proporção
desejada.
Selecionando c = 1, o parâmetro  resulta:
 l V2


Observação final:
caso resulte em apenas um parâmetro , a forma funcional afirma
que o parâmetro  deve ser uma constante, já que o lado direito da
equação não tem parâmetros  adicionais.
Assim, o resultado seria uma expressão incluindo uma constante
arbitrária, a qual poderia ser determinada por meio de análise
experimental.
Exemplo 6.1
A força de arrasto FA sobre um cilindro de diâmetro d e comprimento
l deve, ser estudada. Que forma funcional, relaciona as variáveis
adimensionais se um fluido com velocidade V escoa na direção
normal à do cilindro?
Solução:
Em primeiro lugar as variáveis que têm alguma influência sobre a
força de arrasto devem ser identificadas.
Se variáveis que não influenciam a força de arrasto são incluídas,
irão resultar parâmetros  adicionais, que experimentos
demonstrariam não serem importantes.
Por outro lado, se variáveis que influenciem a força de arrasto não
forem incluídas, os experimentos também revelarão o problema.
Experiência, é essencial na escolha das variáveis corretas.
Neste exemplo, serão incluídas como variáveis importantes:
V
 velocidade da corrente livre;

 viscosidade;

 massa específica do fluido;
d
 diâmetro; e
l
 comprimento do cilindro.
Assim, uma relação funcional envolvendo as grandezas físicas pode
ser escrita.
FA  f (d, l, V, , )
Observando esta relação, nota-se que:
n=6
 variáveis físicas envolvidas, e
m=3
 dimensões incluídas.
Portanto resultarão:
m – n = 6 – 3 = 3 parâmetros .
n=3
3 variáveis repetitivas (presentes em todos os parâmetros)
ou grandezas de base, serão necessárias.
As grandezas de base devem ser escolhidas entre as demais,
seguindo a seguinte orientação:
A variável dependente não pode ser tomada como grandeza de
base, pois se o for, irá aparecer em todos os s.
É interessante que uma variável envolvendo uma dimensão
geométrica o seja (escala geométrica).
A velocidade é importante em vista das escalas cinemáticas.
Outra grandeza importante é a massa específica.
Com estas observações, tem-se:
[d] = [L]
3 grandezas de base
[V] = [LT-1]
[] = [ML-3]
Solução pelo método expedito.
Neste método as dimensões devem ser explicitadas em função das
grandezas de base.
Assim:
L=d
T = dV-1
M = d3
Agora, cada uma das demais grandezas, dará origem a um
parâmetro .
A variável dependente dará origem ao parâmetro dependente; para
tanto basta verificar sua dimensão, substituindo as dimensões pelas
grandezas de base.
Então:
FA  1
L=d
[FA] = [MLT-2]
T = dV-1
FA = d3d(d -2V2) = d2V2
M = d3
Portanto, a força de arrasto têm a mesma dimensão do produto de
variáveis - d2V2.
Assim, o cociente resultará adimensional.
1 
FA
 d 2V 2
Os demais parâmetros são obtidos de modo semelhante:
l  2
[l] = [L]
l=d
2 
l
d
  3
[] = [ML-1T-1]
 = d3d-1(d-1V) = dV

3 
Vd
Uma vez que elevar uma parâmetro adimensional a um expoente
qualquer, não altera sua condição adimensional, é interessante
elevar 3 à -1.
Assim:
3 '  (3 ) 1 
Vd
 Re

Finalmente chega-se a seguinte relação funcional.
1  f1 (2 , 3 ' )
ou:
FA
l

f
(
, Re)
1
2 2
d V
d
Exemplo 6.2
A elevação de um líquido em um tubo capilar será estudada. Foi
antecipado que a elevação h dependerá da tensão superficial , do
diâmetro do tubo d, do peso específico do líquido  e do ângulo  de
anexação entre o líquido e o tubo. Escreva uma forma funcional das
variáveis adimensionais.
Solução:
A expressão que relaciona as variáveis físicas pode ser escrita.
h  f (, d, , )
n=5
Portanto:
m=3
Assim, n – m = 5 – 3 = 2 parâmetros .
Contudo, 2 parâmetros são obtidos por simples observação:
1 
h
d
2  
relação entre grandezas de mesma dimensão, e
o ângulo é adimensional.
Como ainda restam duas variáveis físicas independentes, devemos
ter ao menos mais um parâmetro .
Analisando as dimensões, vem:
[]  [M LT 2 L]  [M T 2 ]
[]  [M L T 2 L3 ]  [M T 2 L2 ]
A dimensão destas duas grandezas difere apenas no comprimento,
presente apenas no peso específico.
Considerando o diâmetro como comprimento característico, vem:
[d ]  [ L ]
Observa-se que o peso específico tem a mesma dimensão do
produto:
[]  [M T 2 L2 ]  [ d 2 ]
De modo que:
3 

 d2
E a solução do problema será dado pela relação funcional
h

 f1 ( 2 , )
d
d
4.2.4. Parâmetros Adimensionais Comuns
Considere uma relação relativamente geral entre a queda da
pressão p e um comprimento característico l, uma velocidade
característica V, a massa específica , a viscosidade , a gravidade
g, a tensão superficial , a velocidade do som c e a velocidade
angular , escrita como:
p  f (l, V, , , g, c, , )
Observe que:
n=9
m=3
9 – 3 = 6 s.
l
m = 3  3 grandezas de base

V
[l] = [L] 
L=l
[] = [ML-3] 
M = l3
[V] = [LT-1] 
T = LV-1
1)
[p]  [M L1 T 2 ]
p  l3 l 1 l 2 V 2  V 2
1 
p
V 2
2)
[]  [M L1 T 1 ]
  l3l 1l 1V  lV
2 

lV
3)
[g]  [ L T 2 ]
g  ll 2 V 2  l 1V 2
3 
lg
V2
4)
[c]  [ L T 1 ]
c  l 1V  V
4 
c
V
5)
[]  [ T 1 ]
  l 1V
5 
l
V
[]  [ M T 2 ]
6)
  l3l 2 V 2   l V 2
1 
p
V 2
Eu 
p
 Número de Euler
2
V
2 

lV
Re 
V l
 Número de Re ynolds

3 
lg
V2
Fr 
c
4 
V
5 
l
V

6  2
V l
V
 Número de Froude
lg
V
M
 Número de Mach
c
St 
l
 Número de Strouhal
V
V 2l 
We 
 Número de Weber

6 

V 2l 
O significado físico de cada parâmetro pode ser determinado
observando que cada número adimensional pode ser escrito como a
relação de duas forças.
Observa-se que:
p

2
V
V l
Re 


Eu 
Fr 
V

lg
força de pressão
p A
Eu


força de inércia
V 2 A
V l l V
força de inércia

Re 
 lV
força vis cosa
2
 V  l 2
força de inércia


Fr


 l g  l 2
força d a gravidade


V
M

c
V Vl 2

2
c cl
M 
l
St 

V
l l3

2
V l V
St 
V 2l 
We 


V 2l  l

 l
We 
força de inércia
força d e compressíb ilidade
força centrífuga
força de inércia
força de inércia
força d e tensão sup erfivial
Pensar nos parâmetros adimensionais em termos de relações de
forças permite antecipar quais parâmetros são significativos em um
dado escoamento.
Se forças viscosas são importantes, o número de Reynolds é um
parâmetro adimensional significativo.
Por outro lado, se forças de tensão superficial contribuem para
alterar o escoamento, como na formação de gotas ou no
escoamento em tubos capilares, espera-se que o número de Weber
seja importante.
Análises similares podem ser aplicadas a outras situações de
escoamentos de fluidos.
A Tab. 6.2 resume esta seção.
Parâmetros
Situações importantes
Euler
Escoamento no quais a queda de pressão é
importante
Reynolds
Escoamentos que são influenciados por efeitos
viscosos: esc. internos; esc. na CL
Froude
Escoamentos influenciados pela gravidade:
principalmente esc. de superfície livre
Mach
A compressibilidade é importante nesses
escoamento, especialmente se V > 0,30c
Strouhal
Escoamentos com uma componente “não
permanente” que se repete periodicamente
Weber
A tensão superficial influencia o escoamento; um
esc. com uma interface pode ser desse tipo
4.3. Semelhança
4.3.1 Informação geral
Como afirmado na introdução, semelhança é o estudo da previsão
das condições de um protótipo a partir das observações de
modelos.
Quando soluções, sejam elas analíticas ou numéricas não são
aplicáveis, ou quando os cálculos são baseados em um esquema
simplificado com incertezas, é aconselhável efetuar testes em
modelo, caso os ensaios em escala natural não sejam praticáveis.
Se for decidido que deve ser realizado um estudo em um modelo, é
necessário desenvolver os meios pelos quais uma quantidade
medida no modelo possa ser usada para prever as quantidades
associadas no protótipo.
Pode-se desenvolver tais meios se semelhança dinâmica entre o
modelo e o protótipo for estabelecida.
Isto é, se as forças que agem nas massas correspondentes do
escoamento do modelo e do protótipo estão na mesma razão em
toda a extensão dos campos de escoamento.
Suponha que as forças inerciais, forças de pressão, forças viscosas
e forças de gravidade estejam presentes; então a semelhança
requer que, nos pontos correspondentes dos campos de
escoamento,
(FI ) m (Fp ) m (F ) m (Fg ) m



 const .
(FI ) p (Fp ) p (F ) p (Fg ) p
Essas relações podem ser rearranjadas, tornando:
 FI 
 
    FI  ;
F 
 
 p  m  Fp  p
 FI 
 
    FI  ;
F 
 
   m  F  p
 FI 
 
    FI 
F 
 
 g  m  Fg  p
As quais, no item anterior, mostraram ser:
Eu m  Eu p ;
Re m  Re p ;
Frm  Frp
Se as forças acima forem as únicas presentes, pode-se escrever:
FI  f (Fp , F , Fg )
Reconhecendo que há apenas uma dimensão básica, ou seja, força,
a análise dimensional permite que se escreva a equação anterior
em termos de razões de forças ou seja:
Eu  f (Re, Fr)
Portanto, pode-se concluir que se o número de Reynolds e o
número de Froude são os mesmos no modelo e no protótipo, o
número de Euler também deve ser o mesmo.
Assim, a semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo é
garantida, igualando o número de Reynolds e o número de Froude
do modelo aos do protótipo, respectivamente .
Por outro lado, pode-se escrever a razão da força inercial como:
(FI ) m a m m m

 const .
(FI ) p
a p mp
mostrando que a razão de acelerações entre pontos
correspondentes no modelo e no protótipo é uma constante,
contanto que a relação de massa dos correspondentes elementos
de fluido seja uma constante.
A razão de acelerações pode ser escrita como:
a m Vm2 / l m
 2
 const .
a p Vp / l p
O que mostra que a razão de velocidades entre pontos
correspondentes é uma constante, contanto que a razão de
comprimentos também o seja.
O fato de a razão de velocidades ser uma constante entre todos os
pontos correspondentes dos campos de escoamento, constitui o
enunciado da semelhança cinemática.
A semelhança cinemática impõe um padrão de linhas de corrente
ao redor do modelo igual àquele em torno do protótipo, exceto por
um fator de escala.
A razão de comprimento ser constante entre todos os pontos
correspondentes dos campos do escoamento é uma exigência da
semelhança geométrica.
A semelhança geométrica impõe que o modelo tenha a mesma
forma que o protótipo.
Para garantir semelhança completa entre o modelo e o protótipo é
necessário que:
•
A semelhança geométrica seja satisfeita.
•
A razão de massa dos elementos correspondentes do fluido
seja uma constante.
•
Os parâmetros adimensionais apropriados sejam iguais.
Supondo que haja completa semelhança entre o modelo e o
protótipo, pode-se prever as quantidades de interesse em um
protótipo a partir de ensaios no modelo.
Medindo uma força de arrasto (FA), em um modelo e de modo a
prever a força de arrasto correspondente no protótipo, pode-se
igualar a razão das forças de arrasto às relações de forças de
inércia, como:
( FA ) m ( FI ) m  m Vm2 l 2m


( FA ) p ( FI ) p
 p Vp2l 2p
Caso se queira prever a demanda de potência do protótipo a partir
da potência fornecida ao modelo, deve-se lembrar que potência é
força vezes velocidade, de modo que:

W
( FI ) m Vm  m Vm2 l 2m Vm
m



Wp
( FI ) p Vp
 p Vp2l 2p Vp
Portanto é possível prever uma quantidade do protótipo escolhendo
o fluido modelo (que fornece m/p), a razão de escala (que fornece
lm/lp) e o número adimensional apropriado (que fornece Vm/Vp).
4.3.2 Escoamentos confinados
Um escoamento confinado é um escoamento que não tem
superfícies livres (uma superfície gás-líquido) ou interfaces (dois
líquidos inamissíveis formando uma interface).
É colocado a mover-se dentro de uma região específica; tais
escoamentos incluem escoamentos externos ao redor de objetos,
como aeronaves, edifícios e submarinos, bem como escoamentos
internos em tubulações e condutos.
A gravidade não influencia os padrões do escoamento, em
escoamentos confinados, ou seja, se a gravidade pudesse sofrer
mudanças em magnitude, o padrão de escoamento e as
quantidades associadas ao escoamento não mudariam.
O efeito dominante em escoamentos confinados incompressíveis
(todos os escoamentos líquidos e gasosos nos quais M < 0,3), é o
da viscosidade.
A tensão superficial, obviamente, não é um fator importante como o
seria na formação de uma bolha e, para escoamentos permanentes,
não haveria efeitos não estacionários devido a oscilações no
escoamento.
forças de pressão;
As três forças relevantes são:
forças de inércia; e
forças viscosas.
Assim, em escoamentos confinados, a semelhança dinâmica é
alcançada quando as relações de forças viscosas, forças inerciais e
forças de pressão, entre o modelo e o protótipo, forem as mesmas.
O que leva a concluir que Eu = f (Re).
Ou seja, em um escoamento incompressível confinado o número de
Reynolds é o parâmetro adimensional predominante.
Semelhança de Reynolds.
Se os efeitos de compressibilidade são importantes, o número de
Mach também o é.
Exemplo 6.3
Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma
bomba grande que deve fornecer 1,5 m3/s de água através de um
rotor, de 40 cm de diâmetro com uma elevação de pressão de 400
kPa. Um modelo com um rotor, de 8 cm de diâmetro será usado.
Que vazão deve ser usada e que elevação de pressão é esperada?
O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da
água a ser, bombeada pelo protótipo.
Solução:
Em problema envolvendo escoamento incompressível confinado, a
semelhança dinâmica aproximada é conseguida impondo número
de Reynolds igual para o modelo e o protótipo. Assim,
Vmd m Vpd p

m
p
As temperaturas são iguais, de modo que, m = p, e:
Vm d p 0,40


5
Vp d m 0,08
Conhecida a relação de velocidades, a relação de vazões pode ser
obtida, a partir da equação da continuidade.
2
Qm Vmd 2m
1 1

 5  
Qp
Vpd 2p
 5 5
E a vazão no modelo,
Qm 
Qp
5

1,50
 0,30 m3/s
5
A pressão no modelo é obtida a partir do número de Euler:
 p 
 p 
 2    2 
 V m  V p
Portanto, a pressão para o modelo, será:
 m Vm2
2
p m  p p

400

1

5
 10 000 kPa.
2
 p Vp
Verificou-se que a velocidade no modelo é igual à velocidade no
protótipo multiplicado pela razão de comprimentos.
E que a pressão no modelo é igual à pressão do protótipo
multiplicado pela razão de comprimentos ao quadrado.
Se a razão dos comprimentos fosse muito grande, é óbvio que seria
muito difícil manter a equivalência do número de Reynolds.
Essa observação será discutida, com mais detalhes, mais à frente.
4.3.3 Escoamentos de superfície livre
Um escoamento é dito de superfície livre quando parte do contorno
envolve uma condição de pressão constante (superfície livre).
Inclui escoamentos em canais e represas, como mostra a Fig. 6.5,
escoamentos em portos, escoamentos envolvendo dois fluidos
separados por uma interface, escoamentos ao redor de objetos
flutuantes com ondas e em volta de objetos submersos com a
presença de cavitação.
Figura 6.5 Modelo da represa de Bonneville no rio Colúmbia
Em todos esses escoamentos, a localização da superfície livre e a
velocidade na superfície livre são desconhecidas; a pressão é que
deve ser a mesma na superfície.
Em escoamentos de superfície livre, a gravidade controla a
localização e o movimento da superfície.
Nos escoamentos de superfície livre, uma vez que as forças da
gravidade são das mais relevantes, o número de Froude passa a
ser um dos principais parâmetros.
Se considerarmos escoamentos que não exibem movimentos
periódicos, que têm efeitos de tensão superficial e de
compressibilidade desprezíveis, podemos ignorar a influência de St,
M e We.
Isso deixa apenas os efeitos viscosos a serem considerados.
Existem muitos escoamentos de superfície livre nos quais os efeitos
viscosos são significativos.
Considerando que na maioria dos estudos em modelos a água é o
único fluido econômico a ser usado e, sendo a água o fluido do
protótipo, resulta para semelhança de Froude a seguinte relação.
Vp2
Vm2

l mg m l pg p
1/ 2

Vm  l m 

Vp  l p 
onde se supôs a aceleração da gravidade é a mesma no modelo e
protótipo.
No caso da semelhança de Reynolds (Rem = Rep) e com o mesmo
fluido no modelo e protótipo, tem-se:
Vm l m Vpl p

m
p

Vm l p

Vp l m
Há, portanto, um conflito.
Caso o mesmo fluido seja usado, tanto no modelo quanto no
protótipo, não será possível satisfazer os critérios de semelhança de
Froude e de semelhança de Reynolds, simultaneamente.
Havendo necessidade de que ambos os critérios sejam obedecidos,
não será possível usar o mesmo fluido para o modelo e para o
protótipo (m  p).
Neste caso, o fluido a ser utilizado no modelo, deve ser escolhido
com uma viscosidade m = p(lm/lp)3/2.
Decorrente da condição de Froude e Reynolds constantes.
Provavelmente não será possível conseguir um fluido com essa
viscosidade ou, pelo menos, não será prático.
Portanto, não sendo possível estabelecer simultaneamente,
semelhança de Froude e semelhança de Reynolds em escoamentos
de superfície livre, deve-se estabelecer semelhança de Froude,
sendo os efeitos viscosos determinados por outras técnicas.
Por exemplo, de modo a prever o arrasto em um navio, o arrasto
total sobre o modelo é medido, em seguida o arrasto viscoso é
determinado analiticamente e subtraído do arrasto total,
determinando o arrasto devido à resistência das ondas.
Por exemplo, de modo a prever o arrasto em um navio, o arrasto
total sobre o modelo é medido.
O arrasto viscoso é obtido analiticamente e subtraído do arrasto
total, determinando o arrasto devido à resistência das ondas.
O arrasto associado à resistência das ondas é transposto para o
protótipo, considerando semelhança de Froude.
A seguir o arrasto viscoso é calculado para o protótipo e somado ao
arrasto devido à resistência das ondas, chegando ao arrasto total
para o navio.
Exemplo 6.4
Um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco é usado para
testar a influência de um perfil proposto do barco sobre o arrasto
das ondas. Um arrasto de onda de 30 N é medido no modelo a uma
velocidade de 2,50 m/s. A que velocidade isso corresponde no
protótipo e que arrasto de onda é esperado para o protótipo?
Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do mesmo fluido no
modelo e no protótipo.
Solução:
Trata-se do estudo de modelo de um barco, com efeitos viscosos
desprezíveis. Neste caso, para se obter semelhança dinâmica
aproximada, basta impor Froude igual no modelo e protótipo
(semelhança de Froude).
Frm  Frp 
Vp
Vm

lm g
lp g
lm
Vm

Vp
lp
Para a mesma aceleração da gravidade, a velocidade no protótipo é
determinada.
Vp  Vm
lp
lm
 2,50 20  11,18 m / s
As forças de inércia são sempre de primeira importância (nunca são
negligenciadas). Relacionando com as forças de arrasto, vem:
(FA ) m  m V l

(FA ) p
p V l
2 2
m m
2 2
p p
3
 lm 
1
lm l
   3

l 

lp l
 p
2
m
2
p
(FA ) p  (FA ) m 3  30  203  240 000 N
Ou,
(FA ) p  240 kN
4.3.4 Escoamentos com número de Reynolds alto
Em um escoamento confinado, no qual o número de Reynolds é o
parâmetro adimensional que garante a semelhança dinâmica,
verifica-se que, se o mesmo fluido for usado no modelo e no
protótipo, a velocidade no modelo em estudo será Vm = Vplp/lm.
Portanto, a velocidade no modelo é a velocidade no protótipo
multiplicada pela escala geométrica ( = lp/lm).
Com Isso, em muitas das vezes, a velocidade no modelo assume
valores muito elevados, tornando proibitivo o estudo.
Por outro lado, as pressões encontradas no estudo destes modelos
tornam-se grandes, como mostrado no Exemplo 6.3, afetando,
inclusive, o consumo de energia.
Por causa desses problemas o número de Reynolds pode não ser
alcançado em estudos envolvendo números de Reynolds grandes.
Existem, porém, algumas situações nas quais é necessário impor ao
modelo, o mesmo número de Reynolds observado no protótipo.
Por exemplo, considere uma típica curva do coeficiente de arrasto
CA versus o número de Reynolds, como a da Fig. 6.6.
103
104
105
Re
Figura 6.6 Coeficiente de arrasto versus número de Reynolds
O coeficiente de arrasto é definido por:
CA 
FA
Força de arrasto

2
1
Força de inércia
2 V A
Observa-se que com um número de Reynolds suficientemente alto,
entre 103 e 105, o escoamento é insensível a mudanças do número
de Reynolds; note que o coeficiente de arrasto é essencialmente
constante e independente de Re.
Neste caso a semelhança de Reynolds é garantida, desde Re = 103
e até Re = 105, independentemente do valor de Reynolds.
Assim, se Rep = 105, é apenas necessário que 103 < Rem < 105 para
que os efeitos viscosos sejam equivalentes no modelo e protótipo.
Este fato permite, muitas vezes, que outras condições de
semelhança sejam mantidas; tais como semelhança de Froude ou
semelhança de Mach.
Existem, porém, escoamentos com número de Reynolds alto nos
quais os efeitos de compressibilidade e de superfície livre são
desprezíveis, tais que nem o número de Froude nem o número de
Mach são importantes.
Exemplos incluem escoamentos ao redor de automóveis, grandes
chaminés e dirigíveis.
Para tais escoamentos deve-se apenas garantir que o número de
Reynolds esteja dentro do intervalo no qual o coeficiente de arrasto
é constante.
Deve-se notar que, para números de Reynolds relativamente
grandes (Re > 5·105 na Fig. 6.6), o escoamento também pode ficar
independente do número de Reynolds.
Se este é o caso, é apenas necessário que Rem seja grande o
suficiente.
Exemplo 6.5
Um modelo em escala de 1:10 de um automóvel é usado para medir
o arrasto sobre o design proposto. Ele deve simular o protótipo a
uma velocidade de 90 km/h. Que velocidade deve ser usada no
túnel de vento se os números de Reynolds são igualados? Para
essa condição, qual é a razão das forças de arrasto?
Solução:
Para o mesmo fluido escoando tanto no modelo como no protótipo e
impondo a condição de semelhança de Reynolds (Re = Cte.), vem:
Re m  Re p 
Vm l m Vp l p

m
p
Vm  Vp
lp
lm
 90 10  900 km / h
Essa
velocidade
introduziria,
naturalmente,
efeitos
de
compressibilidade; efeitos esses que não estão presentes no
protótipo.
Portanto, o escoamento no modelo não seria apropriado.
Caso essa velocidade fosse usada no modelo, a razão da força de
arrasto seria:
(FA ) p
(FA ) m

p Vp2l 2p
m V l
2 2
m m

l 2m l 2p
2 2
p m
l l
1
Observa-se assim, que quando o mesmo fluido é usado no modelo
e protótipo e se impõe semelhança de Reynolds, a força de arrasto
sobre o modelo é a mesma que a força de arrasto no protótipo.
Exemplo 6.6
No Exemplo 6.5, caso em que os números de Reynolds foram
igualados, observou-se que a velocidade no modelo em estudo
estava no regime de escoamento compressível (ou seja, M > 0,3 ou
Vm > 360 km/h). Para conduzir um estudo de modelo aceitável,
pode-se usar uma velocidade de 90 km/h em um modelo com
comprimento característico de 10 cm? Suponha que o coeficiente de
arrasto (C A  FA / 12 V 2 A , em que A é a área projetada) é
independente de Re, para Re > 105. Nestas condições, que força de
arrasto no protótipo corresponde a uma força de arrasto de 1,2 N
medida no modelo?
Solução:
O estudo em túnel de vento proposto para o modelo deve ser
conduzido com Vm =90 km/h e lm = 0,1 m.
Usando  = 1,6 x,l0-5 m2/s, o número de Reynolds será de
90 1000
0,10
Vm l m
Re m 
 3600 5  1,56 105
m
1,60 10
O número de Reynolds é maior que 105, portanto, a velocidade
90 km/h é alta o suficiente para garantir semelhança entre o modelo
e o protótipo.
A força de arrasto no protótipo viajando a 90 km/h, que corresponde
a 1,2 N no modelo, é encontrada a partir de
=1=1
(FA ) p
(FA ) m

 p Vp2 l 2p
 m Vm2 l 2m
2
 p Vp2  l p 
   1,20 10 2  120 N.
(FA ) p  (FA ) m
2 
 m Vm  l m 
Neste exemplo foi suposto que o coeficiente de arrasto é
independente de Re, para Re > 105 (CA = Cte.)
Caso o coeficiente de arrasto continuasse variando, para valores de
Re > 105 (o que seria evidente a partir dos dados experimentais), a
hipótese de CA = Cte. não seria válida.
A análise experimental subseqüente, teria de ser modificada de
modo a atender este fato relevante.
4.3.5 Escoamentos compressíveis
Na maioria das situações de escoamentos compressíveis, o número
de Reynolds é tão grande (vide Fig. 6.6) que não é um parâmetro
significativo.
103
104
105
Re
Figura 6.6 Coeficiente de arrasto versus número de Reynolds
Os efeitos da compressibilidade levam ao número de Mach a ser o
principal parâmetro adimensional para estudos de modelos.
Assim, o estudo de um modelo particular, requer
Mm  Mp
ou
Vm Vp

cm cp
Se o estudo do modelo é feito em túnel de vento e o fluido do
protótipo é o ar, pode-se assumir que cm = cp, se a temperatura é a
mesma em ambos os escoamentos.
Para tal caso a velocidade no estudo do modelo é igual à
velocidade associada ao protótipo.
E claro que, se as velocidades do som são diferentes, a razão de
velocidades será diferente da unidade.
Exemplo 6.7
A medida da elevação da pressão desde a corrente livre e até o
nariz de uma seção da fuselagem de uma aeronave é 34 kPa, em
um túnel de vento a 20º C com velocidade do vento de 900 km/h. Se
o teste deve simular o vôo a uma altitude de 12 km, qual é a
velocidade do protótipo e a esperada elevação da pressão no nariz?
Solução:
Do apêndice B, tem-se:
Ar a 20º C, logo m = 1,204 kg/m3.
Ar a 12 km de altitude, logo Tp = 216,7 K e p = 0,3116 kg/m3.
Considerando semelhança de Mach, vem:
Mm  Mp
 Vp  Vm
k R Tp
k R Tm
 900
216,7
 774,0 kn / h.
20  273
O correspondente aumento de pressão no nariz do protótipo é
obtido à partir do número de Euler.
p p
p m

 m Vm2  p Vp2
Explicitando a pressão no protótipo,
p Vp2
2
0,3119  774 
p p  p m

34

  6,514 kPa.
2
m Vm
1,204  900 
4.3.6 Escoamentos periódicos
Em muitos escoamentos tem-se regiões nas quais ocorrem
movimentos periódicos.
Tais escoamentos incluem o movimento periódico do fluido (na
Seção 8.3.2, isso é chamado vórtice de fuga) que ocorre quando um
fluido escoa passando por um objeto cilíndrico tal como uma ponte,
uma torre de TV, um cabo ou um edifício alto, um fluido passando
por uma turbina eólica e o escoamento através de máquinas de
fluxo (turbomáquinas).
Em escoamentos como esses é necessário igualar os números de
Strouhal, que podem ser escrito como
V
Vm
 p
ml m pl p
de modo que
apropriadamente.
o
movimento
periódico
seja
modelado
Além do número de Strouhal, podem existir parâmetros
adimensionais adicionais que devem ser equacionados; em
escoamentos viscosos, o número de Reynolds, em escoamentos de
superfícies livres, o número de Froude, e, em escoamentos
compressíveis, o número de Mach.
Exemplo 6.8
Uma grande turbina de vento, projetada para operar a 50 km/h,
deve ser testada em um laboratório, construindo um modelo em
escala 1:15. Que velocidade deve ser usada no túnel de vento, que
velocidade angular deve ser usada para simular uma velocidade do
protótipo de 5 rpm e que potência de saída é esperada do modelo;
se o protótipo é projetado para fornecer uma potência de saída de
500 kW?
Dados
V

np
Pp

50
15
5
500
1,6010-5
rpm
kW
m/s2
km/h
13,89
m/s
Solução:
A velocidade do ar no túnel de vento deve ser uma velocidade
acima da necessária para fornecer um número de Reynolds
suficientemente grande (105).
Assim, fixando para o modelo a mesma velocidade com a qual o
protótipo vai operar, ou seja, 50 km/h, pode-se calcular o
comprimento característico mínimo, para o modelo, que um número
de Reynolds de 105 exigiria.
Vl
Re 


105  1,60  105
lm 
 0,115
13,89
m.
Obviamente que, em um túnel de vento razoavelmente grande,
pode-se manter um comprimento característico, ou seja, o
comprimento da pá, dessa ordem de grandeza.
A velocidade angular é encontrada igualando os números de
Strouhal. Assim,
Vp
Vm

ml m pl p

Vm l p
nm  np
 5  15  75
Vp l m
rpm.
A potência do modelo é encontrada considerando que potência é
força vezes velocidade, sendo a força dada pela pressão dinâmica
vezes a área.
Pm  m Vm2 l 2m Vm 1

 2
2
2
Pp  p Vp l p Vp 
Pm  Pp
1 500
 2  2,222
2

15
kW.