Força exercida por um fluido sobre uma esfera

Módulo 6
Força exercida por um fluido sobre
uma esfera
Velocidade terminal
Em Mecânica de Fluidos, como aplicação da análise
dimensional estudou-se a força (de arrasto, Fa) exercida por
um fluido em escoamento a uma velocidade U sobre uma
esfera fixa, diâmetro dp, mergulhada no escoamento.
Conclui-se que
U dp
Fa

  
   Re 
2
2


U d p


No caso particular de um escoamento muito viscoso, Re < 0,2, a
partir das equações conservativas do escoamento, Stokes
deduziu uma expressão para a força de arrasto
Fa  3  U d p
1
Para toda a gama do número de Reynolds da partícula é usual
representar
Fa
Fa
1

 R  C D  U 2
 d2
A
2
4 p
em que A` é a área projectada da partícula, R`é a força de arrasto
por unidade de área projectada da partícula e CD o coeficiente de
arrasto. O coeficiente de arrasto é uma função do número de
Reynolds da partícula, Rep.
CD  f Re
Há gráficos (Coulson I, Foust ou WWWR) e expressões de
ajuste que traduzem esta funcionalidade ao longo dos diferentes
regimes de escoamento
CD
0,2
Rep
2
Expressões de ajuste de resultados experimentais
CD 
CD 
24
Re p
24 

1  0,15 Re 0,687 
p
Re p 

Re p  0,2
0,2  Re p  985
CD  0,44
985  Re p  2 105
CD  0,1
2 105  Re p
Stokes
Schiller e Naumann
Newton
Velocidade terminal de uma partícula esférica
A velocidade terminal de uma partícula é a velocidade
uniforme a que uma partícula acaba por se deslocar em
queda livre através de um fluido em repouso (ou em
ascensão se a partícula for menos densa que o fluido)
A condição de velocidade uniforme verifica-se quando a
soma de todas as forças que se exercem numa partícula é nula
(1ª lei de Newton)
3
As forças que se exercem sobre uma partícula são a força de arrasto
no sentido contrário ao deslocamento, a força da gravidade e a
impulsão
Em queda livre

1
Fa  d 2p C D  f U 2
2
4



Fg  d 3p   p    g
f

6

1

1

Fa  Fg 
d 2p C D  f U 2t  d 3p   s   f  g


2
4
6

Fa  Fg 
d 2p C D  f U 2t  d 3p   s   f  g


2
4
6
4
d
3 p
s   f
f
g
1
2
Ut
 CD
CD 
Processo Iterativo para determinar
a velocidade terminal!!! Mas....


f  Re p



 f d pU t







4
Multiplicando ambos os membros da equação pelo número de
Reynolds terminal da partícula ao quadrado, resulta

4
3
 f   s  

f
f

g


d 3p
 CD Re 2p
No 1º termo da igualdade está representado um novo
grupo adimensional designado por número de Galileu
(Ga)
4
Ga  CD Re 2p
3
Recorrendo às expressões de CD em função do número de
Reynolds da partícula resulta
Ga  18 Re p
Ga  3,6
Ga  18 Re p  2,7 Re p1,687
3,6  Ga  105
Ga 
1 2
Re
3 p
105  Ga
5