Colecção de problemas resolvidos

Mecânica dos Fluidos I
Aula 9
Turma 3305
Prof. António Sarmento
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Problema 10.1 (Colecção de problemas resolvidos)
Um cilindro de diâmetro D oscila com frequência f quando sujeito a um escoamento uniforme
de velocidade U (uma situação não-estacionária).
a) Através de uma análise directa das equações de Navier-Stokes, mostre que o número
de Strouhal S=fD/U é uma medida da razão entre as forças não-estacionárias e as
forças de inércia que actuam no fluido.
b) Uma haste de um bandeira com um diâmetro de 0,15 m e um comprimento de 8 m
oscila no seu segundo modo de oscilação com uma frequência de 10 Hz (ar: =1,6 10-5
m2/s). Estime a velocidade do vento nestas condições (resolução por método iterativo).
Notas:
1. Reconheça que a força não estacionária é o termo da aceleração local (que pode ser
vista como uma força por unidade de massa).
2. Reconheça que a força de inércia é o termo da aceleração convectiva.
Metodologia
1. Escolha uma velocidade de referência, uma dimensão de referência e um tempo de
referência característicos deste escoamento.
2. Crie variáveis adimensionais à custa das variáveis de referência acima indicadas.
3. Introduza as variáveis adimensionais acima referidas nos termos da força nãoestacionária e da força de inércia e note que os termos resultantes são compostos por
coeficientes com dimensões (as escalas desses termos) que multiplicam termos sem
dimensões.
4. Divida a escala da força não-estacionário pela escala da força de inércia e reconheça
que o coeficiente adimensional resultante é uma medida da razão das duas forças
referidas, isto é, que dá a resposta à questão colocada.
Problema 10.7 (Colecção de problemas resolvidos)
Suponha que ma quantidade de energia E é rapidamente libertada na atmosfera, criando uma
explosão pontual. A experiência mostra que nesses casos o raio R da região de alta pressão
resultante depende do tempo t, bem como da energia E e da densidade do ar .
a) Usando o teorema de Buckingham, deduza uma equação para R em função de t, E e .
b) Mostre que a velocidade da frente de onda V diminui com o aumento de R.
c) A pressão relativa p na zona de alta pressão (no interior à onda de pressão) depende
de t, E e . Mostre que p é proporcional a R-3. Desenhe qualitativamente a evolução
de pressão num ponto da atmosfera ao longo do tempo.
Notas
1. Note que se diz que R=R(t,E,).
Metodologia
1. Determine o número de dimensões fundamentais que aparecem no problema.
2. Escolha as variáveis primárias do problema.
3. Adimensionalize as variáveis restantes e conclua sobre a resposta à alínea a).
4. Utilize a definição de velocidade para a relacionar com o raio da explosão R cuja
expressão foi determinada na alínea anterior.
5. Substitua na expressão anterior o tempo em função do raio utilizando a equação
deduzida na alínea a).
6. Com base na equação resultante do último passo, mostre que a velocidade da explosão
varia com R-3/2 .(resposta à alínea b)).
7. Repita os passos 1 a 3, determine o grupo adimensional de p e conclua que é
constante, donde obtém a resposta à alínea c).
Problema 10.8 (Colecção de problemas resolvidos)
Um navio de 35 metros de comprimento foi projectado para ter uma velocidade de cruzeiro de
11 m/s (cerca de 21 nós). Com vista a conhecer a sua resistência ao avanço (que vai
determinar as características do hélice e do motor), construiu-se um modelo com 1 metro de
comprimento que se pretende ensaiar num tanque de ensaios (onde se mede a força necessária
pata rebocar o modelo a uma velocidade constante). Admitindo que se pretende respeitar a
semelhança dinâmica em termos do número de Froude, calcule:
a) A velocidade de reboque;
b) A relação entre as forças de resistência no modelo e no protótipo;
c) A razão enter as forças no modelo e no protótipo.
d) Se pretendesse fazer ensaios de ocorrência de cavitação no modelo, que número
adimensional deveria respeitar? Se pudesse controlar a pressão ambiente deveria
aumentá-la ou reduzi-la para garantir condições de semelhança dinâmica no modelo e
no protótipo? Qual a pressão no modelo sabendo que no protótipo a pressão à
superfície livre é patm=100 kPa e que para a água em condições à temperatura ambiente
é pv=3447 Pa.
Notas
1. Num problema de superfície livre as forças mássicas (associadas à geração de ondas)
desempenham normalmente um papel mais relevante que as viscosas, pelo que o
número de Froude é, em geral, mais importante que o de Reynolds.
2. Em condições de semelhança dinâmica todas as variáveis adimensionais são idênticas;
3. O número de Froude é F  U gD , em que U, D e g são, respectivamente, a
velocidade de referência, a dimensão de referência e a aceleração da gravidade.
4. A cavitação é a ocorrência de vaporização de líquido associada à existência de zonas
de baixa pressão.
Metodologia
1. Iguale o número de Froude no modelo e no protótipo e obtenha a velocidade de
reboque do modelo;
2. Adimensionalize a força de resistência, note que se o número de Froude for o mesmo
no modelo e no protótipo há condições de semelhança dinâmica e, dessa forma,
determine a relação entre as resistências no modelo e no protótipo.
3. Note que a potência é dada pelo produto da força de resistência e velocidade do casco.
4. No caso da cavitação, reconheça que a variável relevante é p-pvap. Adimensionalize
esta variável e reconheça que ela deve ser a mesma para garantir condições de
semelhança (i.e. que a cavitação ocorrerá para valores idênticos desta variável
adimensional). Usando a razão entre a velocidade no modelo e no protótipo calculada
estime a pressão à superfície livre no modelo.