+ ) f(x)

50
40
41,5
30
35,4
28,2
20
23,4
10
15,5
1,4
Q1/95
4,5
Q2/95
8,2
Q3/95
0
Q4/95
ADSD
Introdução às
Variáveis Aleatórias
Q1/96
Q2/96
Q3/96
Q4/96
Q1/97
Millions of $
48,0
ADSD
Revisão da Teoria das Probabilidades
Experiência real de uma situação probabilística
1) conjunto de possibilidades;
2) agrupamento de possibilidades em classes (resultados)
3) frequência relativa das classes (fc)
fc = no de vezes que o resultado cai na classe c /
no de experimentos realizados
Deve existir um limite para fc quando o no de experimentos  
ADSD
Modelo Matemático
1) Espaço amostral (S)
S: conjunto de possibilidades exaustivas, mutuamente
exclusivas dos experimentos realizados.
w: ponto amostral - um elemento de S
2) Uma família de eventos ( )
e = {e1, e2, e3, ..} cada evento é um conjunto de pontos
amostrais {w}
(Evento eqüivale à classe)
ADSD
Modelo Matemático
3) Uma medida de probabilidade P
P: Mapeamento dos eventos para os reais.
É equivalente à freqüência relativa
P[A]: número associado ao evento A
Axiomas para P
a) 0 P[A] 1
b) P[S] = 1
c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos:
P [A B] = P[A] + P[B]
A tripla (S,
, P) forma um sistema de probabilidade.
ADSD
Probabilidade Condicional
Probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B
tenha ocorrido.
P[A / B] = P[A B] / P[B], P[B] # 0
Independência Estatística
Dois eventos A e B são estatisticamente independentes
P[A B] = P[A] P[B]
P[AC] = P[A] P[C]
P[BC] = P[B] P[C]
P[ABC] = P[A] P[B] P[C]
Para n eventos, a extensão é evidente.
ADSD
mais ....
Para dois eventos independentes: P[A / B] = P[A]
(B não influencia A)
Eventos são mutuamente exclusivos se: A B =
Eventos são exaustivos se: A B = S
Eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos:
AB=
e A
B=S
ADSD
Teorema da Probabilidade Total
n
P[B] =
P[Ai B]
i=1
onde {Ai} são mutuamente exclusivos e exaustivos
Desenvolvendo ...
P[Ai B] = P[Ai / B] P[B]
= P[B / Ai] P[Ai]
n

P[B] =
P[B / Ai] P[Ai]
i=1
Permite calcular a prob.
de um evento conhecendo
apenas as probs.
condicionais
ADSD
Teorema da Bayes
n
P[Ai / B] = (P[B / Ai] P[Ai]) / (
P[B / Aj] P[Aj] )
j=1
onde {Ai} são mutuamente exclusivos e exaustivos
Permite
condicionais
ADSD
Variáveis Aleatórias (VAs)
VA: Variável cujos valores dependem de uma experiência
probabilística, ou
Uma função que atribui os elementos do Espaço Amostral (S)
em pontos da reta dos Reais (R)
w
S
w: ponto amostral
X’(w)
R
ADSD
Variáveis Aleatórias (VAs)
w
S
w: ponto amostral
X’(w)
R
X’(w): valor da VA
quando o resultado
do experimento é w
Ex. 01: A função de probabilidade (P)
cada x R tem uma probabilidade associada (X
Ex. 02: Lançamento de uma moeda
[0,1]).
$$
100
$$
S = [ todos os possíveis resultados do lançamento da moeda}
= {Cara, coroa}
P = atribuição de prob. aos eventos (elementar, se a moeda não
for viciada}
P(cara) = P(coroa) = 1/2
S
Cara
1/2
Coroa
1/2
$$
100
$$
Diagrama de Venn
Definição de X’(w)
-5, w  cara
Cara
Coroa
X’(w) =
+5, w  coroa
X’(w)
-5
X’(w)
+5
R
ADSD
Classificação de VAs
Domínio de uma VA: conjunto S
Imagem de uma VA: subconjunto do Reais (valores atribuídos a X’)
A classificação de uma VA é conforme as características de sua
imagem
 Discreta
 Contínua

Mista
ADSD
VA Discreta: sua imagem consiste de um subconjunto dos Reais
com um número de elementos finito ou infinito contável (por
convenção, os valores são inteiros positivos)
VA Contínua: sua imagem consiste de um intervalo contínuo finito
ou infinito na reta dos Reais.
VA Mista: sua imagem possui características de VA discreta e de
VA contínua.
ADSD
Caracterização de VAs
Os valores de uma VA são determinados por uma função de
distribuição de probabilidades.
Exemplos:
1) VAs de um sistema supermercado


tempo de interchegada de fregueses
tempo de atendimento no caixa
2) Num sistema RCs


tempo de interchegada de pacotes em um roteador
tempo de permanência de pacotes em um roteador
ADSD
Como representar a distribuição de probabilidade
de uma VA?
Queremos descrever a probabilidade que a VA (X’(w)) assuma
valores conforme uma dada distribuição de probabilidade.
Solução:
Função Distribuição de Probabilidade (FDP) ,
também denominada Função Cumulativa de
Probabilidade.
ADSD
Função de Distribuição de Probabilidade (FDP)
A probabilidade que um valor de uma distribuição será menor ou
igual ao argumento da função para todos os valores possíveis da
distribuição.
F(X) = P[X’
x] = Prob [w : X’(w)
x]
Obs.: Notação usada para F(X): F X’(x)
ADSD
Propriedades da FDP
a) F(x)  0
b) F() = 1
c) F(- ) = 0
d) Se b > a
e) F(b)
(1)
F(b) - F(a) = P[a <x
F(a) se a
b]
b.
F(x) é uma função não negativa, monotonicamente crescente
com limites 0 e 1 e -  e +  respectivamente, contínua à
direita.
ADSD
$$
F(x)
Propriedades da FDP
100
1
a) F(x)  0
b) F() = 1
c) F(-) = 0
d) Se b > a
e) F(b)
$$
1/2
(1)
-5
F(b) - F(a) = P[a <x
F(a) se a
0
+5
b]
b.
F(x) é uma função não negativa, monotonicamente crescente
com limites 0 e 1 e -  e + , respectivamente, contínua à
direita.
x
ADSD
Função Densidade de Probabilidade (fdp)
f(x): derivada de FDP (muito usada)
f(x)
d /dx F(x)
De (1) e (2) temos: f(x)
Para f( ) = 1
Para a < b
(- , +)
F(x) =
f(x) x (2)
0 (a derivada de uma função não
decrescente é sempre positiva)
F(x) =
(- , +)
P[a <x b] =
Obs.: Notação usada para f(x): f x’
f(x) dx = 1
(a,b)
f(x) dx
ADSD
Interpretação de f(x)
f(x)
x
f(x1)
x1 x1+  x
F(x1): maior concentração
de probabilidades.
x
f(x) mostra onde se concentram as probabilidades.
f(x) = lim
= lim
x 0
x 0
P[x < x’ x+ x ] / x
[F(x+ x ) - F(x)] / x
f(x) = /  x F(x), já conhecido
ADSD
VAs Discretas
Geralmente, X ’assume valores inteiros positivos.
F(X’= k), k = 0,1,2,3,....
F(x) tem forma de escadaria com descontinuidade nos pontos
k = 0,1,2,3,...
P[X’= k] = valor da descontinuidade (salto) em X’= k
P[X’= k] = F[k] - F[k-1]
P[X’= k] = f(x)  F(x) =
P[ X’= k]
k  x
, se x = a
Obs.: Função Impulso
 (x-a) =
0 , se x # a
e
( -, +)
(X) = 1
ADSD
VAs Contínuas
F(x) é uma função contínua de x
F(x) pode ter pontos onde não é diferenciável, mas esses pontos
devem ser contáveis.
F(x) =
( -, x)
f(t) dt
f(x) =  F(x) /  x
ADSD
Medidas Importantes associadas às VAs
Esperança (média ou valor esperado): medida da tendência
central de uma VA.
VA Discreta:
E[X] =  k. P[ X’= k]
k=x
VA Contínua: E(X) = 
(-
,+
)
x. f(x) x
Variância (medida do espalhamento ou da variação de
possíveis valores ao redor da média)
2=
Desvio Padrão:
E[X2] - (E[X)]2
= (raiz quadrada da variância)
ADSD
Medidas Importantes associadas às VAs
A média e a variância são também denominadas 1o e 2o
Momentos de X’, respectivamente.
E[Xn] = enésimo Momento de X
VA Discreta:
E[Xn] =
kn. P[ X’= k]
k = x
VA Contínua: E(Xn) =
(-
,+
)
xn. f(x) x
ADSD
VAs Discretas - Exemplos
$$
F(x)
Ex. Mostrar a FDP e fdp
associadas ao experimento
Lançamento de uma moeda
F(x) =  P[ X’= k]
k= x
1/2
-5
0
1
-5
1/2
P[k] 1/2
+5
1/2
1
$$
1
f(x) = P[X’= k]
k
P[k]
100
1/2
-5
+5
x
f(x)
1/2
0
+5
x
ADSD
Exemplos de fdp (FDP) mais conhecidas
ADSD
VAs Discretas - Distribuição de Poisson
f(x)
e- x / x!, para x = 0,1,2, ...
f(x) =
0, de outra forma
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
O número de chegadas em um intervalo de tempo dado tem
distribuição de Poisson se:
 O intervalo de tempo entre chegadas é exponencialmente
distribuída, e
 as chegadas ocorrem uma de cada vez
5
x
ADSD
VAs Discretas - Distribuição de Poisson ( )
F(x)
e- x / x!, para x = 0,1,2, ...
f(x) =
0, de outra forma
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
x
Parâmetros:
Média: 
Variânçia: 2 = 
Variação: 0,1,2...
Freqüentemente usada para modelar
o número de eventos aleatórios que
ocorrem em um intervalo de tempo fixo.
ADSD
VAs Discretas - Distribuição de Poisson ( )
f(x)
 = 1,0
 = 2,0
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
x
0
1
f(x)
0,8
3
4
5
f(x) = e- x / x!,
 = 4,0
0,6
2
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
x
ADSD
VAs Contínuas - Distribuição Uniforme
no intervalo a, b.
F(x)
1
F(x) =
0,
(x-a)/(b-a),
1,
se x < a
se a  x  b
se x  b
0
a
b
x
a
b
x
f(x)
f(x) =
axb
de outra forma
1/(b-a), se
0,
1/(b - a)
0
ADSD
VAs Contínuas - Distribuição Uniforme (a,b)
F(x)
1
Parâmetros:
Média: E[X]= (a+b)/2
Variância: 2 = (b-a)2 / 12
Variação: [a,b]
0
a
b
x
a
b
x
f(x)
1/(b-A)
0
ADSD
VAs Contínuas - Distribuição Uniforme (a,b).
F(x)
1
Os valores compreendidos no
intervalo a, b são equiprováveis.
0
a
b
x
a
b
x
f(x)
Usada quando não se tem
conhecimento da VA, conhecendo
apenas seus limites
1
0
ADSD
VAs Contínuas - Distribuição Triangular
f(x)
f(m)
(2(x-a))/((m-a)(b-a))
se a  x  m
f(x) =
(2(b-x))/((b-m)(b-a))
se m < x  b
0, de outra forma
0
a
m
b
x
ADSD
VAs Contínuas - Distribuição Triangular (a,m,b)
Média:
E[X] = (a+m+b)/3)
Variância: 2 = (a2+ m2 + b2 - ma - ab - mb) / 18
Variação: [a,b]
Usada quando é possível
determinar o valor mais
provável da VA, além dos
seus valores mínimos e
máximos, e quando uma
função linear parece
apropriada para a descrição.
f(x)
f(m)
0
a
m
b
x
ADSD
VAs Contínuas - Dist. Exponencial
0,
se x < 0
1 - e- x ,
se x  0
F(x) =
e-x,
se x  0
0,
de outra forma.
f(x) =
(
= média da distribuição)
ADSD
Distribuição Exponencial se ...
• A prob. de ocorrer um evento em um intervalo de tempo  t
pequeno é proporcional ao tamanho desse intervalo;
• a prob. de ocorrência de mais de um evento nesse intervalo é
nula, e
• os eventos são independentes.
A Distribuição de Probabilidades Exponencial representa a
distribuição dos intervalos de tempo entre ocorrências de
eventos aleatórios distintos sucessivos, descrevendo um
processo completamente desordenado (pior hipótese).
ADSD
Distribuição
Exponencial ( )
(fdp)
Média:

Variância: 2 (grande)
Variação: 0 a +
Uma propriedade importante da distribuição exponencial é que ela
não tem memória.
Veremos mais adiante detalhes sobre essa distribuição, muito
importante na Teoria das Filas..
ADSD
Distribuição Exponencial ( )
Uma propriedade importante da Dist. Exponencial é que ela não
tem memória.
Para t  0 e to  0, P(X >t+to \ X > t) = P(X >to)
Prova: Temos (probabilidade condicional):
P(X > t+to \ X > t) = P(X > t+to) / P(X > t)
= (1 - P(X  t+to)) / (1 - P(X  t))
= (1 - (1- e-
= e-
(t+to)
(t+to)
/ e-
)) / ( 1 -(1- e-
t = e- to =
t
))
P(X >to) c.q.d.
ADSD
Distribuição Exponencial ( )
Uma propriedade importante da dist. Exponencial é que ela não
tem memória.
Para t  0 e to  0, P(X >t+to \ X > t) = P(X >to)
ADSD
Distribuição Normal (ou Gaussiana)
1
f ( x) 
e
 2
Média:
Variânçia: 2
Desvio padrão:
 1  x   2 
 
 
2


 

,   x  
f(x)
ADSD
Distribuição Normal ou Gaussiana ( , )
 tem a vantagem de ser matematicamente tratável
 é uma boa aproximação para a Dist. de Poisson, quando a
média é alta.
Teorema do Limite Central
A distribuição da média ou da
soma de n observações
independentes, de qualquer
distribuição, se aproxima de
uma distribuição normal,
quando n tende a infinito.
f(x)
ADSD
Distribuição
Normal ( , )
(fdp)
Média: 
Variânçia: 2
: desvio padrão
Variação:(- , + )
ADSD
Exemplo 01:
Considere experimentos referente ao arremesso de um dado.
Seja X o número de marcas mostrado na face superior do dado quando
este é arremessado.
Assume-se que a probabilidade de uma dada face ocorrer
em um arremesso é proporcional ao número de marcas que ela possui
1) Mostre a FDP e a fdp associadas a esse experimento
2) Encontre a média e a variância desse experimento.
ADSD
Exemplo 01:
Xi
1
2
3
4
5
6
f(x1) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21
f(x1) 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 21/21
Média: E[X] = k. P[ X’= k]
= 1(1/21)+2(2/21)+ ...+(6/21) = 991/21 = 4,33
Variância:
2
= E[X2] - (E[X)]2
= ( 12(1/21) + 22(2/21)+ ... 62(6/21)) - (4,33)2
= 2,22
Desvio Padrão:
= ¯2,22 = 1,49
ADSD
Exemplo 01:
F(x)
X: VA discreta
A dist. de prob. para o experimento
é a seguinte:
f(x)
Xi
1
2
3
4
5
6
f(x1) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21
f(x1) 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 21/21
ADSD
Exemplo 02:
A vida de um dispositivo de raio laser usado para detectar fissuras em
asas de aeronaves pode ser representada por uma VA contínua X,
com seguinte fdp:
1/2 e-x/2, x
0
f(x )=
0, de outra forma.
1) Mostre a FDP e a fdp associadas a vida desse dispositivo
2) Qual a probabilidade da vida do dispositivo se limitar no
intervalo de 2 a 3 anos?
3) Qual a prob. dessa vida durar no máximo 2 anos ?
4) Qual a prob de vida do dispositivo sabendo-se que já se
passou um ano de uso?
4)Encontre a média e a variância desse experimento.
ADSD
Exemplo 02:
1) Encontre a FDP associada a vida desse dispositivo
F(x) = 1/2
(0,x)
f(x)
e-x/2 dt = 1- e-x/2
ADSD
Exemplo 02:
2) Qual a probabilidade da vida do dispositivo se limitar no
intervalo de 2 a 3 anos?
P( 2 X 3) = F(3) - F(2) = ( 1- e-3/2 ) - ( 1- e-1 )
= e-3/2 + e-1 = -0,223+0,368 = 0,145
3) Qual a prob. dessa vida durar no máximo 2 anos?
P( 0 X 2) = F(2) - F(0) = F(2) = 1- e-1 = 0,632
ADSD
Exemplo 02:
4) Qual a probabilidade de vida do dispositivo durar mais de 4 anos
sabendo-se que já se passou 2 anos de uso?
P( X > 4 \ X > 2) = P( X > 2) = 1 - P(X
Temos: F(x) = 1/2
(0,x)
2) =
e-x/2 dt = 1- e-x/2
P( 0 X 2) = F(2) - F(0) = 1 - e-1 = 0,632
Logo: P( X > 4 \ X > 2) = 1 - 0,632 = 0,368
Observe: Mesmo tendo passado 2 anos, a probabilidade do
dispositivo ter sobrevida de mais anos é a mesma (propriedade sem
memória da distribuição exponencial).
ADSD
Exemplo 02:
5)Encontre a média e a variância desse experimento.
Média = E[X] = 1/2
(0,
)
x e-x/2 dx = - x.e-x/2
= 0 + 1/(1/2) e-x/2
Variância:
2
(0,
)
(0,
)
,+
(0,
)
e-x/2 dx
= 2 anos
= E[X2] - (E[X)]2
= 1/2
(0,
) x2
e-x/2 dx = - x2.e-x/2 (0,
= 8 - 22 =4 anos
Desvio Padrão: = ¯4 = 2 anos
)
,+ 2
(0,
)
e-x/2 dx
ADSD
No módulo “Geração de Valores Aleatórios” veremos
métodos que atribuem valores a uma VA conforme
uma dada distribuição de probabilidade.
Aguardem !
ADSD
Continuamos na
próxima aula