Propriedades da Distribuição Normal

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal (ou Gaussiana) com parâmetros
μ (‒∞ < μ < ∞) e σ2 (σ > 0) se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
(
1
f ( x )=
e
σ √2 π
−
[
1 x− μ
2 σ
])
2
, −∞< x< ∞
→
X ~ N ( μ , σ 2).
f (x )
x
μ
Figura 1 – Gráfico da Distribuição Normal
1. Vamos mostrar que f(x) é uma função densidade de probabilidade. Obviamente, f(x) ≥ 0
(isso pode ser facilmente percebido analisando-se o gráfico da distribuição, apresentado na
Figura 1). Devemos ainda verificar que a sua integral, no intervalo de ‒∞ a ∞, vale 1. Fazendo t = (x‒ μ)/σ, tem-se:
1
σ √2 π
(
∫e
∞
−
[
1 x− μ
2 σ
])
2
−∞
1
dx =
√2 π
∞
∫
( ) dt= I.
e
−t 2
2
−∞
O artifício empregado para calcular essa integral é calcular I2:
1
I =
2π
2
( )
( )
(
∫ e dt ∫ e ds= 21π ∫ ∫ e
∞
−∞
−t 2
2
∞
−s2
2
−∞
∞
∞
2
2
−(s + t )
2
) dsdt.
−∞ −∞
Introduzindo coordenadas polares:
s=rcos( α )
t=rsen(α ) .
Assim, o elemento de área dsdt se torna rdrdα. Como s e t variam entre ‒∞ e ∞, r varia entre
0 e ∞, enquanto α varia entre 0 e 2π. Portanto,
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Estatística Básica – Instituto de Ciências Agrárias da UFMG – Renato Dourado Maia
1
2π ∞
1
I =
2π
∫∫
2
0
( ) drd α =
re
−r
2
2
0
1
2π
2π
∫
∞
( )
−e ∣
−r
2
2
1
0 dα=
2π
0
2π
∫ d α =1.
0
Assim, I = 1, como se queria mostrar.
2. Vamos examinar o aspecto do gráfico de f(x). Ele apresenta a bem conhecida forma de sino,
mostrada na Figura 1. Visto que f(x) depende de x somente por meio da expressão (x‒μ2),
torna-se evidente que o gráfico de f(x) será simétrico em relação μ. O parâmetro σ também
pode ser interpretado geometricamente: para x = μ, o gráfico de f(x) é descendente, de concavidade para baixo. Quando x → ±∞, f(x) → 0, assintoticamente. Visto que f(x) ≥ 0 para
todo x, isso significa que, para valores grandes de x (positivos ou negativos), o gráfico de
f(x) tem a concavidade para cima. O ponto no qual a concavidade muda é denominado ponto
de inflexão, e será localizado pela resolução da equação f ''(x) = 0. Ao fazer isso, verificamos
que os pontos de inflexão ocorrem para x = μ ± σ. Portanto, se σ for relativamente grande, o
gráfico de f(x) tende a ser “achatado”, enquanto se σ for pequeno, o gráfico tende a ser bastante “pontiagudo”.
3. Em complemento à interpretação geométrica dos parâmetros μ e σ, o seguinte significado
probabilístico pode ser associado a essas quantidades. Consideremos
1
E ( X )=
σ √2 π
(
∫ xe
∞
−
[
1 x− μ
2 σ
])
2
dx.
−∞
Fazendo-se z = (x ‒ μ)/σ, tem-se:
1
E ( X )=
√2 π
( )
∫ (σ z + μ )e dz =
∞
(− )
1
1 ∞ (− 2 )
σ ∫ ze 2 dz + μ
∫ e dz = μ .
√ 2 π −∞
√ 2 π −∞
⏟
⏟
2
∞
−
z
2
−∞
z
2
z
I
2
II
O termo I vale 0, pois o integrando g(z) é uma função ímpar (possui a propriedade g(z) = ‒
g(‒z)). O termo II representa a área total sobre a fdp Normal e, por isso, é igual à unidade e,
portanto, E(X) = μ.
Consideremos agora
1
E ( X )=
σ √2π
(
∫x e
∞
2
2
−
[
1 x− μ
2 σ
])
2
dx.
−∞
Fazendo-se, novamente, z = (x ‒ μ)/σ, tem-se:
1
E ( X )=
√2 π
2
( )
∫ (σ z + μ ) e dz
2
∞
2
−
z
2
−∞
1 ∞ 2 (− 2 )
1 ∞ (− 2 )
1 ∞ (− 2 )
2
=σ
∫ z e dz + 2 μ σ √ 2 π −∞
∫ ze dz + μ √ 2 π −∞
∫ e dz .
√ 2 π −∞
⏟
⏟ ⏟
z
2
z
2
z
2
2
I
II
III
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2
O termo II vale 0, pois o integrando g(z) é uma função ímpar (possui a propriedade g(z) = ‒
g(‒z)). O termo III representa a área total sobre a fdp Normal e, por isso, é igual à unidade.
Para calcular o termo I, utiliza-se integração por partes:
( )=dv
ze
2
−
z
2
2
z=u →
∞
−∞
2
2
−
z
2
−
z
2
−
z
2
∣
( )
( )
∫ z e dz = −z( e2 π )
√
2
1
√ 2π
( )
v =−e
dz =du
∞
1 ∞ (− 2 )
+
∫ e dz =0+ 1=1
√ 2 π −∞
−∞ ⏟
z
2
IV
O termo IV representa a área total sobre a fdp Normal e, por isso, é igual à unidade.
Logo,
E ( X 2)=σ 2+ μ 2 .
Portanto,
Var ( X )=E ( X 2 )−μ 2=(σ 2+ μ 2 )−μ 2=σ 2 .
Resumindo:
•
Os parâmetros μ e σ2, que caracterizam a distribuição Normal, são a média e a variância, respectivamente.
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