x, yex

Resistências dos Materiais
TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES
Introdução Geral
Todas as fórmulas fundamentais para determinar das tensões em uma
seção de um elemento estrutural já foram bem estabelecidas em capítulos
anteriores:
• Fórmulas que permitem a determinação das tensões normais;
• Fórmulas que permitem a determinação das tensões de cisalhamento;
• Superposição ou composição de tensões.
1
No entanto, em certos casos, tensões normais e de cisalhamento podem agir
SIMULTANEAMENTE em um elemento de uma peça estrutural.
EX.: eixo circular que transmite torção com uma força normal (todos os seus
elementos com exceção dos situados no centro das seções) estão
SIMULTANEAMENTE submetidos a tensões de cisalhamento devido a torção
e a tensões normais, devido à força normal.
tensões normais e tensões de
cisalhamento
ESTADO DE TENSÃO
2
3
• O estado de tensão mais geral em um ponto
qualquer (Q) pode ser representado por 6
componentes:
 x , y , z
tensão normal
 xy ,  yz ,  zx tensão de cisalhamen to
• O mesmo estado de tensão é representado
por um conjunto de componentes diferentes
se o sistema de eixos rotacionar.
4
Portanto, o principal objetivo dessa primeira parte dos estudo de
transformação
de
tensões
é
determinar
DE
QUE
MANEIRA
SE
TRANSFORMAM AS COMPONENTES DAS TENSÕES QUANDO OCORRE
UMA ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS.
5
Estado Plano de Tensão
Nossa dedução da lei de transformação das tensões se voltará principalmente
para o ESTADO PLANO DE TENSÕES
• O ESTADO PLANO DE TENSÃO ocorre quando
duas faces do elemento cúbico são livres de
tensões.
• Para o exemplo ilustrado, se adotarmos o eixo z
perpendicular a essas duas faces teremos:
 x ,  y ,  xy
e
 z   zx   zy  0.
6
• O estado plano de tensões ocorre numa
placa fina submetidas a forças atuando
no ponto central.
• O estado plano de tensões também ocorrem nas
três faces de um
elemento estrutural ou
componente de máquina, i.e., em algum ponto da
superfície não submetido a força externa.
7
A ideia é determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento,
referentes a rotação do cubo elementar, no plano.
8
• Considerar a condição para o equilíbrio de um
elemento prismático com faces perpendiculares ao
eixos x, y e x`
F
x
F
y
 0   x A   x A cos   cos    xy A cos  sin 
  y A sin  sin    xy A sin   cos 
 0   xy A   x A cos  sin    xy A cos   cos 
  y A sin   cos    xy A sin  sin 
• As equações podem ser reescritas para o campo de tensões:
 x 
 y 
 x  y
2
 x  y
 xy  
2


 x  y
2
 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sen 2
cos 2   xy sen 2
sen 2   xy cos 2
9
Direção e Intensidade da Máxima Tensão Normal
O interesse é geralmente dirigido à determinação dos maiores valores
possíveis das tensões normais (tensões principais) e os planos sobre os
quais ocorrem essas tensões (planos principais).
 x 
 y 
 x  y
2
 x  y
 xy  
2


 x  y
2
 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sin 2
sin 2   xy cos 2
Estas equações se relacionam com
as equações paramétricas de uma
circunferência.
cos 2   xy sin 2
( x  xc ) 2  ( y  y c ) 2  R 2
onde
centro  ( xc ; y c )
raio  R
10
Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de
abscissa x’ e ordenada x’y’, para qualquer valor do parâmetro , vamos
sempre obter um ponto que se encontra em uma circuferência.
 x  y 

 x  y
2
  x ' 
   x ' y '  
2 
2


Fazendo
 x  y
 méd 
2
2
 x  y
R  
2

Tem  se
2

   2 xy

2

   2 xy

 x '   méd 2   2 x ' ý '  R 2
11
Ponto A =
máximo valor da
tensão
mínimo
tensão
normal.
Ponto B =
valor da
normal.
Para esses mesmos pontos, a tensão de
cisalhamento é nula.
 máx   méd  R
 min   méd _ R
 max, min 
tan 2 p 
 x  y
2
2 xy
 x  y
 x  y
 
2

2

   xy2

( define dois ângulos defasados de 90 o )
12
Direção e Intensidade da Máxima Tensão de Cisalhamento
Ponto D e E = corresponde ao máximo valor
da tensão de cisalhamento.
  y 
2
   xy
 max  R   x
2


 x  y
tan 2 s  
( define dois ângulos defasados em 90 o )
2 xy
2
E a tensão que correspond e à condição de tensão de cisalhamen to máxima é,
 méd 
 x  y
2
OBS: tg 2c é o inverso negativo de tg 2s
Os planos de máxima tensão de
cisalhamento formam ângulos de 45 com os
planos principais.
13
Exemplo 01
SOLUÇÃO:
• Encontrar a orientação para as tensões
principais:
tan 2 p 
Para
o
estado
de
tensão
mostrado, determine:
2 xy
 x  y
• Determinar as tensões máxima e mínima:
 max, min 
a) o plano principal;
b) a tensão principal;
c) a tensão de cisalhamento e a
correspondente tensão normal.
• Calcular
máxima
a
x  y
2
2
 x  y 
2
   xy
 
2


tensão
de
cisalhamento
2
 x  y 
2
   xy
 max  
2


x  y
 
2
14
Solução:
• Encontrar a orientação do elemento
das tensões principal,
2 xy
2 40 
tan 2 p 

 1.333
 x  y
50   10 
 x  50 MPa
 y  10 MPa
 xy  40 MPa
2 p  53.1
e
180 o  53,1o
 p  26,6 o
e
90 o  26,6 o
 p  26.6, 116.6
• Determinar as tensões principais
 max, min 
x  y
2
 20 
2
 x  y 
2
   xy
 
2


302  402
 max  70 MPa
 min  30 MPa
15
• Cálculo de tensão de cisalhamento
máxima
2
 x  y 
2
   xy
 max  
2



 x  50 MPa
 y  10 MPa
 xy  40 MPa
 max  50 MPa
302  402
 x  y
 50   10  
tan 2 s  
 

2 xy
2

40


2 s  - 36,87 o e
 p  18,430
180 o  36,87 o
90 o  18,43 o
e
 s  18.4, 71.6
• A correspondência tensão normal é,
    méd 
 x  y
2

50  10
2
   20 MPa
16
Exemplo 02
Uma força horizontal P de 150lb é
aplicada
na
extremidade
D
da
e
de
alavanca ABD. Determine:
(a)
as
tensões
normal
cisalhamento em um elemento no
ponto H, possuindo lados paralelos
aos eixos x e y;
(b) os planos principais e as tensões
principais no ponto H.
17
Solução:
• Determinar uma força equivalente no
sistema no centro da seção transversal
passando por H
P  150 lb
T  150 lb 18 in   2.7 kip  in
M x  150 lb 10 in   1.5 kip  in
• Tensões normais e de cisalhamento em
H:
y 
1.5 kip  in 0.6 in 
Mc

1  0.6 in 4
I
4
 xy  
2.7 kip  in 0.6 in 
Tc

1  0.6 in 4
J
2
 x  0  y  8.84 ksi  xy  7.96 ksi
18
• Determinação dos planos principais e das tensões principais.
Planos Principais:
2 7,96
tan 2 p 

 1,8
 x   y 0   8,84
2 xy
2 p  61
180 o  61o
e
 p  30,5 o
e
90 o  30,5 o
Então
 p  30,5 o e 59,5 o
Tensões Principais
 max, min 
x  y
2
2
 x  y 
2
   xy
 
2


19
Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser
utilizado para determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam
num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X,
20
Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro básico:
• Define-se o elemento com as tensões ,x, y e xy ;
• Adota-se o sistema de eixos ( ;  ) paralelos aos eixos xy;
• Marcam-se no sistema os pontos X = (x ; - xy ) e Y = (y ; xy ) ;
• Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo σ no ponto C;
• Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY.



(y ; xy )
(y ; xy )
(y ; xy )

(x , -xy )
C

(x , -xy )
C

(x , -xy )
21
 x'

 2
2



Fazendo
2x   y
(xméd
 xc )  ( y  y c ) 2  R 2
2
onde
2
 x(x ; yy ) 2
centro
c
c   xy
R  
raio  R 2 
Tem  se


 x'   méd 2   2 x' ý '  R 2
centro = ( méd ; 0)
 med 
 x  y
2
 x  y
R  
2

 méd 
 x  y
2
2

   xy2

22
Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr
Planos Principais e Tensões Principais
Normais:
 max, min   med  R
tan 2 p 
2 xy
 x  y
Cisalhamento:
 máx  R
23
• Com o Círculo de Mohr definido, outros
estados
de
tensões
em
outras
orientações podem ser descrito.
• Para o estado de tensões um ângulo 
com relação aos eixos xy, constrói-se um
novo diâmetro x’y’ com ângulo de 2
com os eixos xy.
• As
tensões
cisalhamento
normal
são
e
de
obtidas
das
coordenadas X’Y’.
24
• Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial
x 
P
,  y   xy  0
A
 x   y   xy 
P
2A
• Círculo de Mohr para carregamento de torção
Tc
 x   y  0  xy 
J
x y 
Tc
 xy  0
J
25
Exemplo 03
Para o estado de tensão mostrado, determine:
a) o plano principal;
b) a tensão principal;
c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.
26
SOLUÇÃO:
• Construção do círculo de Mohr
 med 
 x  y

50   10  20 MPa
2
2
CF  50  20  30 MPa FX  40 MPa
R  CX 
302  402
 50 MPa
• Tensões principais
 max  OA  OC  CA  20  50
 max  70 MPa
 max  OB  OC  BC  20  50
 min  30 MPa
• Planos principais
FX 40

CF 30
2 p  53.1
tan 2 p 
 p  26.6
27
• Tensão máxima de cisalhamento
 s  71.6
 max  R
 
 max  50 MPa
   20 MPa
med
28
Exemplo 04
Determinar, para o estado plano
de tensão indicado:
a) os planos principais e as
tensões principais;
b) as componentes de tensões
que se exercem no elemento
obtido rodando-se o elemento
dado de 30º, no sentido horário
SOLUÇÃO:
• Construção do circulo de Mohr
 med 
R
 x  y
2

100  60
 80 MPa
2
CF 2  FX 2

202  482
 52 MPa
29
• Tensões e plano principais
XF 48

 2.4
CF 20
2 p  67.4
tan 2 p 
 max  OA  OC  CA
 80  52
 max  132 MPa
 max  OA  OC  BC
 80  52
 min  28 MPa
30
•Componentes de tensões após rotação
de 30º
Os pontos X’e Y’, que correspondem as
tensões no elemento girado de 30º, são
obtido girando XY, no sentido antihorário de 2=60o
  180  60  67.4  52.6
 x  OK  OC  KC  80  52 cos 52.6
 y  OL  OC  CL  80  52 cos 52.6
 xy  KX   52 sin 52.6
 x  48.4 MPa
 y  111.6 MPa
 xy  41.3 MPa
31