Operações com vetores

Movimento Circular Uniforme
1
f 
T
s
v
t
s para uma circunferência pode ser escrito como
C  s  2. .r
s
v
t
2. .r
v
t
No entanto, se período é o tempo de uma volta temos
2. .r
v
T
Dividir por T é igual a
multiplicar por f
1
f 
T
v  2. .r. f


t
Para uma volta
 = 2 
t = T (período)
2

T
Ou, como f = 1/T
  2 . f
2. .r
v
T
2.
v
.r
T
 2. 
v
.r
 T 
v  .r
Três tipos básicos de acoplamentos
• Por correias ou correntes.
va = vb
ωaRa = ωbRb
faRa = fbRb
Fa< fb
Ta> Tb
Três tipos básicos de acoplamentos
• Por catracas
• Sentidos opostos
va = - vb
ωaRa = ωbRb
faRa = fbRb
Fa< fb
Ta> Tb
Três tipos básicos de acoplamentos
• Por Eixos
• Mesmo Sentido
va < vb
fa
Ra
fb
Rb
ωa = ωb
fa = fb
Ta = Tb
Transmissão de MCU
Polia
Engrenagens
Correm juntas
Correm juntas
Mesmo sentido de Sentido oposto
de giro
giro
Mesma
Mesma
velocidade linear velocidade linear
VA = VB
VA = VB
2. .RA. f A  2. .RB . f B
2. .RA. f A  2. .RB . f B
RA. f A  RB . f B
RA. f A  RB . f B
Eixo
Giram Juntas
Mesmo Sentido
de Giro
Mesma
velocidade
angular
A =  B
V A VB

R A RB
02) Na temporada automobilística de Fórmula 1
do ano passado, os motores dos carros de
corrida atingiram uma velocidade angular de
18.000 rotações por minuto. Em rad/s, qual é o
valor dessa velocidade?
(A) 300 π.
(B) 600 π.
(C) 9.000 π.
(D)18.000 π.
(E) 36.000 π.
04) (Unicamp – modificada) Em 2009 foramcomemorados
os 40 anos da primeira missão tripulada à Lua, a Missão
Apollo 11, comandada pelo astronauta norte-americano
Neil Armstrong. Além de ser considerado um dos feitos
mais importantes da história recente, esta viagem trouxe
grande desenvolvimento tecnológico.
a) A Lua tem uma face oculta, erroneamente chamada de
lado escuro, que nunca é vista da Terra. O período de
rotação da Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27
dias. Considere que a órbita da Lua em torno da Terra é
circular, com raio igual a r = × 3, 8 108 m. Lembrando que
a Lua sempre apresenta a mesma face para um
observador na Terra, calcule a sua velocidade orbital em
torno da Terra.
05) (Pucmg 2010) “Nada como um dia após o outro”.
Certamente esse dito popular está relacionado de
alguma forma com a rotação da Terra em torno de seu
próprio eixo, realizando uma rotação completa a cada
24 horas.
Pode-se, então, dizer que cada hora corresponde a uma
rotação de:
a) 180º
b) 360º
c) 15º
d) 90º
Operação com vetores
Método dos Polígonos
FR
F2
1N
{
F1
•
•
•
•
•
•
Direção: vertical
Sentido: cima
Módulo:
FR = F1 + F2
FR = 3 + 2
FR = 5 N
Método dos Polígonos
F RF 2
F1
1N
{
•
•
•
•
•
•
Direção: vertical
Sentido: cima
Módulo:
FR = F1 + F2
FR = 3 - 2
FR = 1 N
Método dos polígonos
E o módulo?
•
•
•
•
•
Hip2 = cat12 + cat22
Hip2 = 22 + 72
Hip2 = 4 + 49
Hip2 = 54
Hip = 54  2.27 
2.3.3.3  3 6
•
Método dos polígonos
E o módulo?
•
•
•
•
•
•
Hip2 = cat12 + cat22
Hip2 = 22 + 62
Hip2 = 4 + 36
Hip2 = 40
Hip = 2.2.5  2 5 
Método dos polígonos
Exemplo: Um corpo recebe a ação de apenas duas
forças: F1 = 10 N e F2 = 10 N. Essas forças são
iguais? Justifique.
• Possibilidades:
Exemplo: Uma pessoa anda 120 m para o leste, 80 m
para o sul e, em seguida, 60 m para o oeste. Calcule
a intensidade do vetor deslocamento sofrido nesse
percurso.
Método do Paralelogramo
Quando o ângulo entre os vetores
são indispensáveis.
Método do Paralelogramo
1 - Gráfico

Método do Paralelogramo
2 - Equação

VR  A  B  2  A  B  cos 
2
2
Exemplo 01) Duas forças, F1 e F2 têm intensidade
iguais a 10N cada uma. Calcule a intensidade da
resultante entre F1 e F2 quando o ângulo  entre
elas for:
a) 60°
b) 90°
c) 120°
a) FR  F1²  F2 ²  2.F1.F2.cos 60 
FR  100  100  2.10.10.0,5
FR  100  100  100 FR  300  FR  10 3 N
60
b) FR  F1²  F2 ²  2.F1.F2.cos 90 
FR  100  100  2.10.10.0
FR  100  100
90
FR  200  FR  10 2 N
c) FR  F1²  F2 ²  2.F1.F2.cos 120 
FR  100  100  2.10.10.(-0,5)
FR  100  100 - 100
FR  100  FR  10 N
120
02) Dois vetores deslocamentos possuem
intensidades 12 m e 16 m. Quais são as
possibilidades de intensidades do vetor soma
desses deslocamentos..
Possibilidades:
“Melhor” e “pior” possibilidade
S = 16 + 12
S = 28 m
S = 16 – 12
S=4m
Relembrando a soma vetorial
• Transformar dois vetores (ou mais) em um
(resultante).
• Métodos:
– 1 – Polígono (emenda)
– 2 – Paralelogramo (ângulo)
Casos importantes
120
Decomposição Vetorial
Transformar um vetor em dois
Componentes de um Vetor
F
Fy
1 N
{
Fx
• Se juntarmos as
componetenes,
chegamos ao vetor
F
• Se separarmos o vetor
em 2 partes,
encontramos uma parte
no eixo x e uma parte
no eixo y
Fy
F

1 N
{
Fx
CO
sen 
 CO
hip
 sen .hip
Como encontrar os valores das componentes?
Fy
F

1 N
{
Fx
CA
 cos  .hip
cos  
hip
 CA
Como encontrar os valores das componentes?
Exemplo
Fy
F

Fx
 CO  hip.sen
• Dados:
• F = 100 N
• sen  = 0,5
Fy  F .sen
Fy  100.0,5
• Fy = 50 N
Exemplo
Fy
F

Fx
 CO  hip. cos 
• Dados:
• F = 80 N
• cos  = 0,4
Fy  F . cos 
Fy  80.0,4
• Fy = 32 N
• F x = F . cos 
• Fx = 10 . 2
•
2
• Fx = 5 2 N
• F y = F . sen 
• Fy = 10 . 2
•
2
• Fy = 5 2 N
• F x = F . cos 
• Fx = 30 . 1
•
2
• Fx = 15 N
• F x = F . sen 
• Fx = 30 . 3
•
2
• Fx = 15 3 N
Sendo as componentes ortogonais de um vetor
velocidade são: vx = 12 m/s e vy = 16 m/s, qual é a
intensidade do vetor velocidade?
v2 = 122 + 162
v2 = 144 + 256
v2 = 400
v = 20 m/s
Geralmente, quando surge?
Polígono
Paralelogramo
• Situações comuns: • Situações comuns:
– Vários vetores
– Em quadriculado
– Formando 90°
– Fácil desenho
– Alinhados
• - Quando é
conhecido o ângulo
entre DOIS vetores.
Outras Operações com vetores
Multiplicação por escalar e vetor
oposto
Multiplicação por escalar
u  2.v
w  t
s  3.v
m  2.v
Diferença vetorial
a vw
g  v  2.t
a
g
 2.t
d1
Multiplicação por Escalar
d2
d2  2d1
d3
d3  3d1
u  2.v  t  m
01) (UFC-CE) Analisando a disposição dos
vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura
a seguir, assinale a alternativa que contém a
relação vetorial correta.
a)
b)
c)
d)
e)
CB + CD + DE = BA + EA
BA + EA + CB = DE + CD
EA - DE + CB = BA + CD
EA - CB + DE = BA – CD
BA - DE - CB = EA + CD
VETOR VELOCIDADE
É o vetor que representa a direção e o sentido do
movimento em todos os pontos da trajetória
V
V
V
-Módulo: V 
S Direção:tangente a trajetória
t
Sentido: o mesmo do
movimento
ACELERAÇÃO VETORIAL
ACELERAÇÃO TANGENCIAL:Responsável pela
variação do módulo do vetor velocidade.
Módulo: a  V
T
t
Direção: Tangente a trajetória
Sentido
aT
aT
V
aT
V
Acelerado
V
V
aT
aT
V
V
Retardado
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
É a aceleração que modifica a direção do
vetor velocidade(movimento).
2
V
aC 
R
R
aC
aC
Módulo
:
Direção: Radial
aC
Sentido: Para o
centro
Dinâmica numa trajetória curva

ac
FR
c
 
a t FR

a
t

FR


FR  m.a

V


FR  m.a t
t
A força resultante tangencial é
responsável pela mudança do
módulo do vetor velocidade.(1)


FR  m.a c
c
A força resultante centrípeta
é
responsável
pela
mudança da direção e
sentido do vetor velocidade.
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
(06) (Vunesp) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos
são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas
velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um
circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR
(National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como
sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C,
inclinada de um ângulo (alfa) e com raio R, constantes, como mostra a
figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista. Se a
velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro
A)não possui aceleração vetorial.
B) possui aceleração com módulo variável,
B)direção radial e no sentido para o ponto C.
C) possui aceleração com módulo variável e
C)tangente à trajetória circular.
D) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido
para o ponto C.
E) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.
07) (Unifesp 2007) A trajetória de uma partícula,
representada na figura, é um arco de circunferência
de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de
módulo constante, v = 3,0 m/s.O módulo da
aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em
m/s2, é
a) zero.
b) 1,5.
c) 3,0.
d) 4,5.
e) impossível de ser calculado.
08) (UNESP – 07) Uma técnica secular utilizada para aproveitamento da
água como fonte de energia consiste em fazer uma roda, conhecida
como roda d’água, girar sob ação da água em uma cascata ou em
correntezas de pequenos riachos. O trabalho realizado para girar a roda
é aproveitado em outras formas de energia. A figura mostra um projeto
com o qual uma pessoa poderia, nos dias atuais, aproveitar-se do
recurso hídrico de um riacho, utilizando um pequeno gerador e uma
roda d’água, para obter energia elétrica destinada à realização de
pequenas tarefas em seu sítio. Duas roldanas, uma fixada ao eixo da
roda e a outra ao eixo do gerador, são ligadas por uma correia. O raio da
roldana do gerador é 2,5 cm e o da roldana da roda d’água é R. Para que
o gerador trabalhe com eficiência aceitável, a velocidade angular de sua
roldana deve ser 5 rotações por segundo, conforme instruções no
manual do usuário. Considerando que a velocidade
angular da roda é 1 rotação por segundo, e que
não varia ao acionar o gerador, o valor do raio
R da roldana da roda d’água deve ser
(A) 0,5 cm.
(B) 2,0 cm.
(C) 2,5 cm.
(D) 5,0 cm. (E) 12,5 cm
Extra: Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A
engrenagem A gira no sentido horário com velocidade
angular 30 rad/s. As polias C, B e A possuem raios R, 2R e 3R,
respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e
C e seus sentidos de rotação.
vA = vB
ωA.3R = ωB.2R
30.3 = ωB.2
 ωB = 45 rad/s (sentido anti-horário)
vB = vC 
ωA.3R = ωC.R
30.3 = ωC
 ωC = 90 rad/s (sentido horário)
Exemplos
Enem Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo
(isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma
volta completa), qual é a distância aproximada
percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento
de um círculo de raio R é igual a 2..R, onde  = 3?
Enquanto a coroa dianteira dá uma volta,
a coroa traseira dá três voltas, pois esta é três
vezes menor. Em consequência do acoplamento
existente entre a roda e a coroa traseiras, ambas
darão o mesmo número de voltas. Sendo assim,
temos:
para uma volta da coroa dianteira a roda traseira
dará três voltas, assim:
raio da roda traseira = 40cm
raio da coroa traseira = 5cm
raio da coroa dianteira = 15cm
C = 2..R.3, onde R é o raio da roda traseira
C = 2.3.40.3 = 720cm = 7,2m
Exemplo 03
(FUVEST) Uma cinta funciona solidária com dois
cilindros de raios RA=10cm e RB=50cm. Supondo que
o cilindro maior tenha uma frequência de rotação fB
igual a 60rpm:
a) Qual a frequência de rotação fA do cilindro menor?
b) Qual a velocidade linear da cinta ?
Força
Interação
• Sempre entre dois corpos
• Vetorial:
– Intensidade
– Direção
– sentido.
Pergunta
• Corpo pode possuir força?
• Força se aplica ou se recebe.
• Causa deformação ou alteração no estado de
movimento de um corpo.
Dinamômetro
• Aparelho utilizado para medir força
• Dina = força
• Metro = medição
Padrão com o peso de um corpo
• Massa do corpo: 1kg
• Força que o aparelho
marca:
• 1 kgf
• Força necessária para
equilibrar o peso de
um corpo de 1 kg de
massa próximo à
superfície da Terra.
• Força que o aparelho marca:
• 1 kgf
• Força necessária para equilibrar o peso de um corpo
de 1 kg de massa próximo à superfície da Terra.
• Outra medida: N
• 1 kgf = 10 N