filósofo razão

IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA
A geometria é de extrema importância no
cotidiano das pessoas, pois desenvolve o raciocínio
visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente
conseguiriam resolver as diferentes situações de vida
que forem geometrizadas resolvendo ainda questões
de outras áreas de conhecimento humano. A Geometria
torna a leitura interpretativa do mundo mais completa,
a comunicação das idéias se ampliam e a visão de
Matemática torna-se fácil de se entender.
NESSA PONTE, PODEMOS VER UMA
CONTRIBUIÇÃO DA GEOMETRIA PARA
A SOCIEDADE ATUAL.
O QUE É PARALELISMO?
Em geometria, Paralelismo é
uma noção que indica se dois
objetos (retas ou planos) estão na
mesma direção. Assim, duas retas
são paralelas (símbolo: //) se, e
somente se, são coincidentes
(iguais) ou são coplanares e não têm
nenhum ponto em comum, logo,
dadas duas retas coplanares
distintas e uma transversal, se
existem
pares
de
ângulos
congruentes
(ou
ângulos
correspondentes), então essas duas
retas são paralelas.
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS
PARALELAS CORTADAS POR UMA
TRANSVERSAL
Consideremos as retas r e s traçadas em um mesmo plano, sem
pontos comuns, essas retas são consideradas paralelas; uma outra
reta t, que corta as paralelas considerada transversal ou secante, que
é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
Essas retas determinam oito ângulos que possuem propriedades
específicas em congruência e suplemento.
TRANSVERSAL
TRANSVERSAL
TRANSVERSAL NÃOPERPENDICULAR ÀS RETAS PERPENDICULAR ÀS RETAS
Quando a transversal for
perpendicular às duas semi-retas
paralelas retas todos os ângulos
serão retos (de 90°).
Quando a transversal não for
perpendicular às retas paralelas,
haverá quatro ângulos agudos
iguais e quatro ângulos obtusos
iguais.
Ângulos alternos internos: c e e
Ângulos alternos externos: b e h
Ângulos colaterais internos: c e f
Ângulos colaterais externos: b e g
Ângulos correspondentes: d e f a e e
d e f.
a e g.
d e e.
a e h.
c e g d e h.
TIPOS DE ÂNGULOS
POSIÇÃO
Ângulos colaterais internos: estão do mesmo lado da transversal, entre
as paralelas, a soma dos ângulos é 180º(suplementares).
Ângulos colaterais externos: estão do mesmo lado da transversal, fora
das retas paralelas, a soma dos ângulos é 180º (suplementares).
Ângulos alternos internos: estão em lados diferentes da transversal,
entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
(congruentes).
Ângulos alternos externos: estão em lados diferentes da transversal, fora
das paralelas e não apresentam o mesmo vértice (congruentes).
Ângulos correspondentes: apresentam a mesma medida, com
demarcação estabelecida a um mesmo lado da transversal (congruentes).
TEOREMA DAS RETAS PARALELAS
" Se duas retas
coplanares e distintas
r e s, e uma
transversal t,
determinam um par
de ângulos alternos
congruentes, então r é
paralela a s.”
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM
TRIÂNGULO
Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º
Segmentos
proporcionais e os
triângulos semelhantes
na Antiguidade
HISTÓRIA
Tales de Mileto, matemático e filósofo
grego do século VI a.C., certa vez, apresentouse ao Rei do Egito, oferecendo-se para
calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem
escalar o monumento.
O RACIOCÍNIO DE TALES NAS
PIRÂMIDES
Nas proximidades da pirâmide, fincou uma
estaca de madeira no solo.
estaca
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
DE TALES NA PIRÂMIDE
Altura
Altura
da pirâmide
da
(h)
estaca
(2 m)
115 m
base
250 m
sombra
5m
sombra
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
DE TALES NA PIRÂMIDE
Altura
Altura
da pirâmide
da
(h)
estaca
(2 m)
115 m
base
250 m
sombra
h 115  250

2
5
h 365

2
5
h  146 m
5m
sombra
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes, se e somente se:
* Os três ângulos internos são ordenadamente congruentes.
* Os lados homólogos (mesma posição) são proporcionais.
A
A’
c
b
c’
B
a
C
B’
b’
C’
a’
a b c
ABC ~ A' B' C '     k
a ' b' c '
k = razão de semelhança
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TEOREMA FUNDAMENTAL
C
D
A
E
Se uma reta é paralela a um dos
lados de um dos lados de um
triângulo e intercepta os outros
dois lados em pontos distintos,
então o triângulo determinado por
ela é semelhante ao primeiro:
B
CAB ~ CDE
CASOS DE CONGRUÊNCIA
1- LAL dois lados iguais e o ângulo entre eles congruentes.
2- ALA dois ângulos iguais e o lado entre eles congruentes.
3- LLL lados homólogos iguais.
* Os casos AAL e ALL só são válidos se o triângulo
for retângulo.
CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE
TRIÂNGULOS
BASE MÉDIA
A
M
x
N
C
B
BC
MN 
2
b
B
Bb
x
2
TEOREMA DE TALES
Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a
razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das
transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos
correspondentes de outra.
A
B
C
D
AB A' B '

CD C ' D '
A’
B’
C’
D’
As medidas dos segmentos
correspondentes nas transversais
são diretamente
proporcionais.
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em
segmentos proporcionais aos lados adjacentes:
A


c
B
c
b

x
y
b
y
x
D
C
Demonstração:
r//s
Ângulos
r
correspondentes

E
s
A

Ângulos

c
alternos
internos
b

B
y
x
D
C
r//s
r
Logo o triângulo ACE é
isósceles  AC = AE = b
b
A

b

B
y
x
D
s
Pelo Teorema de
Tales temos:

c

E
C
c
b

x
y
TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
AB AC

BD CD
A


B
C
D
Dica para a demonstração:
A


B
C
D
...pelo Teorema de Tales:
AB AC

BD CD
c
b
A

B
C
x
y

D
O
TRIÂNGULO
RETÂNGULO
RELAÇÕES MÉTRICAS E
TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Significado:
Trigonometria
Tri
gono
metria
três
ângulos
medição
É o ramo da matemática que estuda a relação
entre as medidas dos lados e dos ângulos de
um triângulo retângulo.
Aplicação:
É empregada na navegação, na
aviação, na topografia, etc.
É indispensável à engenharia e à
física.
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes
especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em
relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a
hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a
ele) são os catetos.
Letra
Lado
Triângulo
Vértice = Ângulo
Medida
a
Hipotenusa
A = Ângulo reto
A=90°
b
Cateto
B = Ângulo agudo B<90°
c
Cateto
C = Ângulo agudo C<90°
HIPOTENUSA E CATETOS DO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
cateto
hipotenusa
cateto
cateto
hipotenusa
cateto
RELAÇÕES OU RAZÕES
TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
tg x = Cat.Oposto
Cat. Adjacente
sen x = Cat.Oposto
Hipotenusa
cos x = Cateto Adjacente
Hipotenusa
Tabela de razões trigonométricas:
(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)
30º
30º
45º
45º
60º
60º
Sen
Sen
1
2
2
2
Cos
Cos
3
2
3
32
2
2
3
2
1
2
1
3
Tg
Tg
OUTROS SEGMENTOS DO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos.
h: é altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
c
b
h
n
m
a
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos
retângulos, ABH e ACH.
A
h
B
H
C
Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes.
Veja:
A
(I)
 +  = 90º
 
h

B

H
C
(I)
 +  = 90º
(II)
 +  + 90º = 180º
 +  = 90º
 


Comparando (I) e (II), tem-se:
 +  =  +    = .
Portanto,  = .
(I)
 +  = 90º
(III)
 +  + 90º = 180º
 +  = 90º
 

Comparando (I) e (III), tem-se:
 +  =  +    = .
Portanto,  = .

CONCLUSÃO
A

Como  =  e  = , os
triângulos ABC, ABH e
ACH são semelhantes
pelo caso (AA).

h

B

C
H
A
A
A




B
H
B


C H
C
1ª RELAÇÃO MÉTRICA
A
A
b
c
h
h
m
n
B
H
H
h m

n h
h  mn
2
C
2ª RELAÇÃO MÉTRICA
A
A
b
b
c
h
m
B
a
C
H
b m

a b
b  ma
2
C
3ª RELAÇÃO MÉTRICA
A
A
b
c
c
h
n
B
h
H
n
B
n c

c a
c2  n  a
c
a
C
b
c
a
4ª RELAÇÃO MÉTRICA
A
A
b
c
c
h
n
B
h
H
n
c
B
h b

c a
a h  b c
a
C
b
c
a
TEOREMA DE PITÁGORAS
(5ª RELAÇÃO MÉTRICA)
Somando, membro
a membro, as duas
igualdades, tem-se:
c
b
h
b2  m  a
c2  n  a
n
m
a
2ª relação: b² = m . a
3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
b2  c 2  m  a  n  a
b2  c 2  am  n
b2  c 2  a  a
b2  c 2  a2
TEOREMA DE PITÁGORAS
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos catetos.
A
B
a² = b² + c²
b
c
a
C
1ª e 4ª RELAÇÃO MÉTRICA SOB OUTRAS PERSPECTIVAS
m h
tg  
h n
A


c

m
B

B m
h  m.n
2

H
A
c
b
h
n
a=m+n
A

C
A área do triângulo
ABC pode ser
calculada por:

h
a.h
b.c

2
2
b
h
a.h  b.c

H
H
n
C
RESUMO
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
c
b
h
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
m
n
a
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²
TEOREMA DE PITÁGORAS
Pitágoras deu nome a um importante
teorema sobre o triângulo retângulo,
que inaugurou um novo conceito de
demonstração matemática. O
Teorema de Pitágoras é
provavelmente o mais célebre dos
teoremas da Matemática, estabelece
uma relação simples entre o
comprimento dos lados de um
triângulo retângulo.
A figura ao lado mostra
o significado geométrico
do Teorema de Pitágoras.
A área do quadrado
construído sobre a
hipotenusa é igual à
soma das áreas dos
quadrados construídos
sobre os catetos.
Triângulo Retângulo
A área do quadrado maior é a
soma das áreas dos quadrados
menores
Triângulo Retângulo
A área do quadrado
é dada por
c
2
a
b+c
Efetuando a soma das
áreas temos:
a
a
b
b
b.c
2
a 4
 (b  c)
2
2
c
a  2bc  b  2bc  c  a  b  c
2
2
2
2
2
2
Triângulo Retângulo
b2
a2
c2
a
a
b
c
Conclusão:
a 2 = b 2 + c2
Isto é, a área do quadrado maior é a soma das
áreas dos quadrados menores
Triângulo Retângulo
Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero
l
l 2
l
l
d  l l
2
2
d  2.l
2
l
2
2
2
d l 2
l
h
l
2
2
2
l
l
2
2
l     h  l2 
h
2
4
2
3l 2
 h2 
4
l 3
h
2