Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos

Ensino Superior
Introdução aos Sistemas de Controle
2.5.3 Equações Diferenciais
como Modelos Matemáticos
Amintas Paiva Afonso
Equações Diferenciais como
Modelos Matemáticos
Amintas Paiva Afonso
Modelos Matemáticos
A construção de um modelo matemático de um sistema
começa com
1) A identificação das variáveis responsáveis pela variação do
sistema. Podemos a princípio optar por não incorporar todas
essas variáveis no modelo. Nesta etapa estamos especificando
o nível de resolução do modelo.
2) Elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou
pressuposições sobre o sistema que estamos tentando
descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer
leis empíricas aplicáveis ao sistema.
Modelos Matemáticos
Como as hipóteses de um sistema envolvem frequentemente uma
taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática
de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações
envolvendo derivadas.
Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação
diferencial ou um sistema de equações diferenciais.
Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente
envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então
o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável
(ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no
passado, presente e futuro.
Modelos Matemáticos
Hipóteses
Expresse as hipóteses
em termos de equações
diferenciais
Se necessário altere as
hipóteses ou aumente a
resolução do modelo
Compare as
predições do
modelo com os
fatos conhecidos
Formulação
Matemática
Resolva as EDs
Exponha as predições
do modelo
(por exemplo, graficamente)
Obtenha as
Soluções
Modelos Matemáticos
Dinâmica Populacional
(crescimento populacional – Thomas Malthus)
É a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um
país cresce em um determinado instante é proporcional à
população do país naquele instante. Em outras palavras,
quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas
existirão no futuro.
dP
α P ou
dt
dP
 kP
dt
k é uma constante de proporcionalidade.
Modelos Matemáticos
Decaimento Radioativo
O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e
neutrons. Muitas dessas combinações são instáveis. Esses núcleos
são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o
altamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás
radônio radioativo, Rn-222. Na modelagem do decaimento
radioativo, supõe-se que a taxa de decaimento do núcleo de uma
substância dA/dt, é proporcional à quantidade (número de núcleos)
A(t) de substâncias remanescentes no instante t.
dA
dA
α A ou
 kA
dt
dt
Modelos Matemáticos
Crescimento de um Capital
O mesmo modelo pode descrever o crescimento de um capital S
quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente.
dS
α S ou
dt
dS
 rS
dt
Este mesmo modelo descreve a determinação da meia-vida
de uma droga, assim como, na descrição de uma reação
química de primeira ordem.
Uma única equação diferencial pode servir como um modelo
matemático para vários fenômenos diferentes.
Modelos Matemáticos
Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento
A taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é
proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a
temperatura do meio que o rodeia (temperatura ambiente).
dT
dT
α T  Tm ou
 k (T  Tm )
dt
dt
T(t): Temperatura de um corpo no instante t,
Tm: Temperatura do meio que o rodeia e ...
dT/dt: Taxa de variação da temperatura do corpo.
Modelos Matemáticos
Disseminação de uma Doença
x(t): número de pessoas que contraíram uma doença contagiosa;
y(t): número de pessoas que ainda não foram expostas;
dx/dt: a taxa segundo a qual a doença se espalha é proporcional
ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de
pessoas.
Se o número de interações for proporcional a x(t) e y(t) – isto é,
proporcional ao produto xy - então
dx
 kxy
dt
Modelos Matemáticos
Disseminação de uma Doença – Exemplo:
Suponha que uma pequena comunidade tenha uma população
fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na
comunidade, pode-se argumentar que x(t) e y(t) estão
relacionados por x + y = n + 1. Usando essa única equação para
eliminar y em dx/dt = kxy, obtemos o modelo
dx
 kx(n  1  x)
dt
Uma condição óbvia que acompanha essa equação é x(0) = 1.
Modelos Matemáticos
Misturas
A mistura de duas soluções salinas com concentrações
diferentes dá origem a uma equação diferencial de primeira
ordem para a quantidade de sal contida na mistura.
Ex: Um tanque de mistura contém 300 galões de salmoura (água
com sal dissolvido). Uma outra salmoura é bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 3 galões por minuto; a
concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por
galão. Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela
será bombeada para fora à mesma taxa em que a segunda
salmoura entrar. Veja a figura.
Modelos Matemáticos
Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras)
no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia
será uma taxa líquida:
dA  taxa de entrada   taxa de saída 


  Re  Rs
de
sal
de
sal
 

dt 
Re  (3 gal/min) . (2 lb/gal)  6 lb/min
 A
 A
Rs  (3 gal/min) . 
lb / gal  
lb / min
 300
 100
dA
A
6
dt
100
Modelos Matemáticos
Drenando um Tanque
Em hidrodinâmica, a lei de Torricelli, estabelece que a velocidade v
do fluxo de água em um buraco com bordas na base de um tanque
cheio até a altura h é igual à velocidade com que um corpo (no
caso, uma gota d’água) adquiriria em queda livre de uma altura h –
isto é,
v  2 gh
Essa expressão origina-se de igualar a energia cinética (½ mv2)
com a energia potencial (mgh) e resolver para v.
Suponha que um tanque cheio com água seja drenado por um
buraco sob a influência de um buraco.
Modelos Matemáticos
Queremos encontrar a altura h de água remanescente no
tanque no instante t.
Aw
Ah
h
Ah  Área do buraco do tanque
v  2 gh  Velocidade de saída da água do tanque
Ah 2 gh  Volume de saída de água do tanque por segundo
V (t )  Volume de saída de água no tanque no instante t
dV
  Ah 2 gh
dt
O sinal de subtração indica
que v está decrescendo.
Modelos Matemáticos
Estamos ignorando a possibilidade de atrito no buraco
que possa causar uma redução na taxa de fluxo.
Aw
Ah
h
Aw  Área constante da superfície superior de água
v  2 gh  Velocidade de saída da água do tanque
Ah 2 gh  Volume de saída de água do tanque por segundo
V (t )  Volume de saída de água no tanque no instante t
V (t )  Aw h
dV
dh
 Aw
dt
dt
Substituindo em
Obtemos a ED desejada para h
dV
  Ah 2 gh
dt
Ah
dh

2 gh
dt
Aw
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Circuito em Série
Considere o circuito em série de malha simples
L
E(t)
Indutor
Indutância L: henrys (h)
Queda de voltagem: L di/dt
i
L
Resistor
Resistência R: ohms ()
Queda de voltagem: iR
i
R
Capacitor
Capacitância C: farads (f)
Queda de voltagem: i/c . q
i
C
R
C
i(t): corrente no circuito depois que a chave é fechada
q(t): carga em um capacitor no instante t
L, R e C: em geral são constantes
E(t): voltagem aplicada em uma malha fechada que,
de acordo com a 2ª lei de Kirchhoff, deve ser igual à
soma das quedas de voltagem na malha.
Modelos Matemáticos
Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no
capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem
indutor
resistor
capacitor
di
d 2q
L L 2
dt
dt
dq
iR  R
dt
1
q
C
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma
equação diferencial de segunda ordem
d 2q
dq 1
L 2  R  q  E (t )
dt C
dt
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Corpos em Queda
Para construir um modelo matemático do movimento de um
corpo em um campo de força, iniciamos com a 2ª lei de Newton.
1ª lei de Newton: o corpo permanecerá em repouso ou
continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser
que esteja agindo sobre ele uma força externa. Em cada caso,
isso equivale a dizer que, quando a soma das forças F = Fk –
isto é, a força líquida resultante – que age sobre o corpo for zero,
a aceleração a do corpo será zero.
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Corpos em Queda
Para construir um modelo matemático do movimento de um
corpo em um campo de força, iniciamos com a 2ª lei de Newton.
2ª lei de Newton: quando a força líquida que age sobre o corpo
for diferente de zero, essa força líquida será proporcional à sua
aceleração a ou, mais precisamente, F = ma, onde m é a massa
do corpo.
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